专题04 三次函数的图象和性质-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题04三次函数的图象和性质【考点预测】知识点一.基本性质设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：   图像 性质2：三次方程的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．【方法技巧与总结】1.其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；2.是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称.  3.若图象关于直线对称，则图象关于点对称.  4.已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.   【题型归纳目录】题型一：三次函数的零点问题题型二：三次函数的最值、极值问题题型三：三次函数的单调性问题题型四：三次函数的切线问题题型五：三次函数的对称问题题型六：三次函数的综合问题题型七：三次函数恒成立问题【典例例题】题型一：三次函数的零点问题例1．若，则函数在区间上恰好有　　A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点例2．设为实数，函数．（1）求的极值；（2）若恰好有两个零点，求的值．例3．已知函数．（Ⅰ）若，函数在区间上存在极值，求的取值范围；（Ⅱ）若，求证：函数在上恰有一个零点． 例4．已知函数，．（Ⅰ）若函数在，上单调递增，求的最小值；（Ⅱ）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．  例5．已知函数在处有极值．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间，上有且仅有一个零点，求的取值范围．   题型二：三次函数的最值、极值问题例6．已知函数在上是增函数，在上是减函数，且的一个根为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：还有不同于的实根、，且、、成等差数列；（Ⅲ）若函数的极大值小于16，求（1）的取值范围．  例7．已知函数，其中．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求在区间，上的最小值．    例8．已知函数在与时都取得极值．（1）求、的值与函数的单调区间；（2）若，，求的最大值．   例9．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）设，若函数在区间有极值，求的取值范围；（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．    题型三：三次函数的单调性问题例10．已知三次函数在上是增函数，则的取值范围为　　．例11．三次函数在上是减函数，则的取值范围是　　A． B． C． D．例12．已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围为　　A． B． C． D．例13．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为　　A．， B． C． D．题型四：三次函数的切线问题例14．已知函数．求曲线在点，处的切线方程；设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围． 例15．已知函数．（Ⅰ）若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的取值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若时，过点，，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．    例16．已知定义在上的函数，为常数，且是函数的一个极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，，求的单调区间；（Ⅲ）过点，可作曲线的三条切线，求的取值范围．    例17．设函数，其中．曲线在点，处的切线方程为．（1）确定，的值；（2）若过点可作曲线的三条不同切线，求实数的取值范围．   例18．已知函数在处取得极值（1）求函数的解析式；（2）求证：对于区间，上任意两个自变量的值，，都有；（3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的范围． 例19．已知函数（1）求曲线在点，处的切线方程（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）题型五：三次函数的对称问题例20．已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，、，，且恒有为定值，则的值为　　．例21．已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，，，，就恒有的定值为，则的值为　　．例22．已知函数，实数，满足，，则　　A．6 B．8 C．10 D．12例23．已知实数，分别满足，，则的值为　　．例24．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数的对称中心为　　；（2）计算　　．例25．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，是函数的导数，此时，称为原函数的二阶导数．若二阶导数所对应的方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设三次函数请你根据上面探究结果，解答以下问题：①函数的对称中心坐标为　　；②计算　　．题型六：三次函数的综合问题例26．已知函数在，上是增函数，在，上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是　　A．5 B．6 C．1 D．8例27．已知，，且（a）（b）（c），现给出如下结论；①；②；③（1）；④（3）；⑤其中正确结论的序号是 　　．例28．已知，，且（a）（b）（c）．现给出如下结论：①（1）；②（1）；③（3）；④（3）；⑤；⑥．其中正确结论的序号是　　A．①③⑤ B．①④⑥ C．②③⑤ D．②④⑥例29．已知，，且（a）（b）（c），现给出如下结论：①（3）；②（1）；③（1）（3）；④．其中正确结论个数为　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型七：三次函数恒成立问题例30．已知三次函数的导函数且，．（1）求的极值；（2）求证：对任意，，都有．  例31．已知函数，其图象在点，处的切线方程为．（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．     例32．已知函数在处取得极值，其图象在点，（1）处的切线与直线平行．（1）求，的值；（2）若对，都有恒成立，求的取值范围．    例33．已知函数在与时都取得极值．（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．   例34．已知函数是上的奇函数，当时取得极值．（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，，不等式恒成立．   例35．已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．（1）求函数的单调区间和极大值；（2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围；（3）若对任意，，，，都有成立，求实数的取值范围．      例36．设函数，其中为实数．（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对，都成立，求实数的取值范围．   例37．设函数，其中为实数．（1）已知函数在处取得极值，求的值；（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．   例38．设函数在处取得极值．（1）设点，，求证：过点的切线有且只有一条；并求出该切线方程．（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；（3）设曲线在点，，，处的切线都过点，证明：．   例39．已知在上是增函数，在，上是减函数，且方程有三个根，它们分别为，2，．（1）求的值；（2）求证（1）；（3）求的取值范围．    例40．已知函数在，上为增函数，在，上为减函数，且方程的三个根分别为1，，．（1）求实数的取值范围；（2）求的取值范围．      例41．已知函数．（Ⅰ）若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；（Ⅱ）若函数在上是增函数，求的取值范围；（Ⅲ）设，，为方程的三个根，且，，，，，求证：或．      例42．已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在、处取得极值，记点，，，．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．        【过关测试】一、单选题1．（2022·山东泰安·高三期中）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．4．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数在R上单週递增，则（       ）A． B．0 C． D．5．（2022·吉林·模拟预测（理））若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（        ）A． B．C． D．6．（2022·广东·广州市玉岩中学高三期中）函数在区间是增函数，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．7．（2022·四川省峨眉第二中学校高三阶段练习（文））已知函数为单调递增函数，求的范围（       ）A．(-3，2) B． C． D．8．（2022·全国·高三课时练习）若函数在内单调递减，则实数a的取值范围是(       )A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（       ）A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D．若函数，则三、填空题10．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数，，则__________，当，时，函数的极值点的个数为__________．11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．12．（2022·辽宁·辽师大附中高三阶段练习）已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________ .13．（2022·陕西·长安一中高三期末（理））已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________．14．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．15．（2022·四川达州·一模（理））对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则 ____________.四、解答题16．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值.(1)求实数a，b的值；(2)若函数有三个不同的零点，求c的范围.17．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)设 ，若函数 有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证： 是有三个不同零点的必要而不充分条件．   18．（2022·广东·惠来县第一中学高三阶段练习）设(1)当b=1时，求的单调区间；(2)当在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围.   19．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极值．  20．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高三期末）已知函数．(1)若时函数有三个互不相同的零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．    21．（2022·安徽师范大学附属中学高三期中）设函数．(1)求函数的单调区间和极值；(2)求函数在上的最值．     22．（2022·北京八十中高三期中）已知函数，为函数的导函数(1)若为函数的极值点，求实数的值；(2)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数的取值范围；(3)对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值.