新高考数学二轮复习提分训练专题05 九种函数与抽象函数模型归类（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提分训练专题05 九种函数与抽象函数模型归类（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了有“渐近线”，“拐点”等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13283" 题型一：三大补充函数：对勾函数 PAGEREF _Tc13283 \h 1
\l "_Tc22442" 题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 PAGEREF _Tc22442 \h 2
\l "_Tc27579" 题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） PAGEREF _Tc27579 \h 3
\l "_Tc9414" 题型四：一元三次函数 PAGEREF _Tc9414 \h 3
\l "_Tc32669" 题型五：高斯取整函数 PAGEREF _Tc32669 \h 4
\l "_Tc27683" 题型六：绝对值函数 PAGEREF _Tc27683 \h 5
\l "_Tc17054" 题型七：对数绝对值型 PAGEREF _Tc17054 \h 7
\l "_Tc29041" 题型八：对数无理型 PAGEREF _Tc29041 \h 8
\l "_Tc31455" 题型九：对数反比例型 PAGEREF _Tc31455 \h 8
\l "_Tc22227" 题型十：指数反比例型 PAGEREF _Tc22227 \h 9
\l "_Tc27757" 题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 PAGEREF _Tc27757 \h 10
\l "_Tc14516" 题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 PAGEREF _Tc14516 \h 11
\l "_Tc20559" 题型十三：抽象函数模型：正切型 PAGEREF _Tc20559 \h 11
\l "_Tc26908" 题型十四：抽象函数模型：一元二次型 PAGEREF _Tc26908 \h 12
\l "_Tc16651" 题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 PAGEREF _Tc16651 \h 13
\l "_Tc20144" 题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 PAGEREF _Tc20144 \h 13
题型一：三大补充函数：对勾函数
对勾函数：图像特征
形如称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）
1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 .

2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是 ．

3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .

4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是 .

题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解
形如：。对称中为P，其中
①；
②
③一、三或者二、四象限，通过 计算判断
1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 .

2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为 .

3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是 ．

4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数，若函数在的最大值为2，则实数的值为 .

题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）
双刀函数
（两支各自增），或者 （两支各自减）
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
2.“零点”：解方程（即方程等0处）

1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 .
2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为 .
3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数若，则 ．
春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数，则不等式的解集为 ．
题型四：一元三次函数
一元三次函数：
所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，
设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．
1.．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（ ）
A．B．C．D．

2.已知函数 fx=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f−m，f1，fm+2 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y=fx 的切线可以作
A. 3 条B. 2 条C. 1 条D. 0 条
3.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则以下说法正确的是（ ）
A．
B．当时,有三个零点
C．
D．当有两个极值点时,过的直线必过点
题型五：高斯取整函数
取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数则下列说法正确的个数是（ ）
①函数的定义域为R
②函数的值域为
③函数是增函数
④函数是奇函数
A．1个B．2个C．3个D．4个

2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5

3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ）
A．B．C．D．

4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，

题型六：绝对值函数
绝对值函数：
1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义为与距离最近的整数，令函数，如： .

2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为 .

3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数，有下列结论：
①，等式恒成立；
②，方程有两个不等实根；
③，若，则一定有；
④存在无数多个实数k，使得方程在上有三个不同的实数根．
则其中正确结论序号为 ．

4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为 .

题型七：对数绝对值型
对数绝对值型函数
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ）
A．B．16C．D．17

3.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知，则函数的零点个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2

4.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数，若（其中），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

题型八：对数无理型
对数与无理式复合是奇函数：，如
1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为 ．

2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 .

3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．

4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .

题型九：对数反比例型
1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-3B．-2C．D．

2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则
A．B．或C．D．

3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知是奇函数，则（ ）
A．1B．C．2D．

题型十：指数反比例型
变化
1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最小值D．最大值

2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．

3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ）
A．8B．10C．13D．18

4.（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．2D．3

题型十一：抽象函数模型：过原点直线型
--过原点直线型f（x）=kx
1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数对于任意的，都有成立，则（ 多选 ）
A．
B．是上的偶函数
C．若，则
D．当时，，则在上单调递增

2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（ 多选 ）
A．
B．
C．
D．若，则

3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A．B．是偶函数
C．在上有最小值D．的解集为

4.（2023·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是R上的减函数
C．在上的最小值为D．若，则实数x的取值范围为

题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型
1. （多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（ ）
A．B．函数有对称中心
C．函数为奇函数D．函数为减函数

2. （多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上是减函数
D．若，则不等式的解集为

3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（ ）
A．8B．4C．2D．0

4.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足
，若函数
的最大值和最小值分别为，则 ．

题型十三：抽象函数模型：正切型
1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A．B．C．D．

2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．B．C．D．

3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ 多选 ）
A．
B．为偶函数
C．为周期函数，且4为的周期
D．

4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A．B．C．D．

题型十四：抽象函数模型：一元二次型
1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则

2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是偶函数

3.（23-24高三上·吉林长春·模拟）函数满足：任意，.且.则的最小值是（ ）
A．1775B．1850C．1925D．2000

4.（23-24高三上·河北保定·模拟）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．

题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型
1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（ ）
A．是奇函数
B．若，则
C．若，则为增函数
D．若，则为增函数

2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．设，则

3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数B．是减函数
C．D．是的极小值点

题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型
（2）模型二：双曲余弦函数
特征：
1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·模拟）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．D．

2. （多选）（23-24高三上·河南许昌·模拟）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．为周期函数D．，使得成立

3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．2是函数的一个周期

4. （多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称