新高考数学一轮复习重难专攻（二） 抽象函数的综合性质应用（九类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

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重难点题型1 求抽象函数的定义域
1．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是
6．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
重难点题型2 求抽象函数的特征值及值域
1．（24-25高三上·河南·期中）已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·山西晋中·月考）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·山西·模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010
4．（20-21高二下·上海宝山·期末）若函数的值域是，则函数的值域是 .
重难点题型3 求抽象函数的解析式
1．（2024·广西·二模）（多选题）已知函数的定义域与值域均为，且，则（ ）
A．B．函数的周期为4
C．D．
2．（22-23高三下·湖南·阶段练习）存在函数，对任意都有，则函数不可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 .
4．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）．
重难点题型4 抽象函数的单调性问题
1．（23-24高三下·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增
C．函数在R上单调递增D．函数在上单调递增
2．（2023·江西九江·三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
3．（2022·辽宁·模拟预测）（多选题）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在区间上共有100个零点
4．（24-25高三上·全国·专题练习）定义在R上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ）
A．先单调通减后单调递增B．在R上单调递增
C．在R上单调通减D．单调性不确定
重难点题型5 抽象函数的奇偶性问题
1．（2025·山西·二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．D．
2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2B．图象关于直线对称
C．为偶函数D．为奇函数
3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A．B．C．为奇函数D．为奇函数
4．（2025·湖南湘潭·三模）（多选题）定义域为R的函数满足：①，②的图象过点，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点中心对称D．
5．（2025·山东菏泽·一模）（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．是奇函数C．是增函数D．
6．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ）
A．B．为偶函数
C．为奇函数D．
重难点题型6 抽象函数的周期性问题
1．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023B．C．4048D．
5．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
6．（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．是奇函数
7．（2025·江西宜春·二模）（多选题）已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
8．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则的图象关于直线对称
B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数
C．若是偶函数，则的图象关于直线对称
D．若是奇函数，则
重难点题型7 抽象函数的对称性问题
1．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．
4．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选题）已知函数，则（ ）
A．当时，B．函数与的图象关于对称
C．函数与的图象关于点对称D．在有2个零点
重难点题型8 有关抽象函数的不等式问题
1．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西安康·二模）函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．在上单调递减
重难点题型9 利用抽象函数比较大小
1．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川成都·模拟预测）已知、分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则、、大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数，， ， ，则（ ）
A． B．C．D．
5．（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
序号
题型
重难点题型1
求抽象函数的定义域
重难点题型2
求抽象函数的特征值及值域
重难点题型3
求抽象函数的解析式
重难点题型4
抽象函数的单调性问题
重难点题型5
抽象函数的奇偶性问题
重难点题型6
抽象函数的周期性问题
重难点题型7
抽象函数的对称性问题
重难点题型8
有关抽象函数的不等式问题
重难点题型9
利用抽象函数比较大小
以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值，常用赋值法来解决．
常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取等；（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）．
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论．
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试．
= 1 \* GB3 ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
= 2 \* GB3 ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或．
判断抽象函数奇偶性的关键是得到和的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留和的关系．
【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律．
（1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如，等；
（2）尝试适当的换元字母，构造出和，如可令，可令等；
（3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧．
函数周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）．