新高考数学二轮专题重难点突破训练03 抽象函数模型归纳总结（八大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点突破训练03 抽象函数模型归纳总结（八大题型）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮专题重难点突破训练05原函数与导函数混合还原问题十三大题型原卷版docx、新高考数学二轮专题重难点突破训练05原函数与导函数混合还原问题十三大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc168247275" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168247275 \h 2
\l "_Tc168247276" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168247276 \h 3
\l "_Tc168247277" 题型一：一次函数模型 PAGEREF _Tc168247277 \h 3
\l "_Tc168247278" 题型二：二次函数模型 PAGEREF _Tc168247278 \h 5
\l "_Tc168247279" 题型三：幂函数模型 PAGEREF _Tc168247279 \h 7
\l "_Tc168247280" 题型四：指数函数模型 PAGEREF _Tc168247280 \h 8
\l "_Tc168247281" 题型五：对数函数模型 PAGEREF _Tc168247281 \h 10
\l "_Tc168247282" 题型六：正弦函数模型 PAGEREF _Tc168247282 \h 13
\l "_Tc168247283" 题型七：余弦函数模型 PAGEREF _Tc168247283 \h 15
\l "_Tc168247284" 题型八：正切函数模型 PAGEREF _Tc168247284 \h 18
\l "_Tc168247285" 03过关测试 PAGEREF _Tc168247285 \h 20
一次函数
（1）对于正比例函数，与其对应的抽象函数为．
（2）对于一次函数，与其对应的抽象函数为．
二次函数
（3）对于二次函数，与其对应的抽象函数为
幂函数
（4）对于幂函数，与其对应的抽象函数为．
（5）对于幂函数，其抽象函数还可以是．
指数函数
（6）对于指数函数，与其对应的抽象函数为．
（7）对于指数函数，其抽象函数还可以是．
其中
对数函数
（8）对于对数函数，与其对应的抽象函数为．
（9）对于对数函数，其抽象函数还可以是．
（10）对于对数函数，其抽象函数还可以是．
其中
三角函数
（11）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：
（12）对于余弦函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：
（13）对于余弦函数，其抽象函数还可以是
注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：
（14）对于正切函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：
题型一：一次函数模型
【例1】已知且，则不等于
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，
构造函数，则，且，
令，则，
令，，得，
，即，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，，
，则.
，
，合乎题意；
，合乎题意；
故选D.
【变式1-1】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
【答案】C
【解析】对于A，令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
对于C，令，则有，
则，故函数是奇函数，故C错误；
对于D，有，即，
则函数是减函数，故D正确；
对于B，由，令，有，故B正确.
故选：C
【变式1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
【变式1-3】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【解析】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得，
令得，，即，
于是，，则，
从而，有.
故选：D
题型二：二次函数模型
【例2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
则当时，，
则
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
故选：C.
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【变式2-3】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
【答案】C
【解析】由，得，令，得，
令，得，
故，又，
所以，
所以，因为，当时，的最小值为855．
故选：C．
题型三：幂函数模型
【例3】已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
【答案】D
【解析】令，则，
所以，且为定义域内任意值，故为常函数.
令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以不恒成立，不一定成立，A、B错.
故选：D
【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
【答案】A
【解析】令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减.
故选：A.
题型四：指数函数模型
【例4】（多选题）（2024·山西晋中·三模）已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为非奇非偶函数
C．若，则D．对任意恒成立
【答案】ACD
【解析】我们有恒等式：.
对于A，由恒等式可得，而，故，所以，即，故A正确；
对于B，由于满足条件且是偶函数，所以有可能是偶函数，故B错误；
对于C，由恒等式可得，故.
若，则，故C正确；
对于D，由恒等式可得.
而，故和同号（同为正数，或同为负数，或同为0），
从而再由可知，即，故D正确.
故选：ACD.
【变式4-1】已知函数满足，，则的值为（ ）
A．15B．30C．60D．75
【答案】B
【解析】
因此
故选：B
【变式4-2】如果且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
，，，
，，，
，
故选：C．
【变式4-3】已知函数对一切实数满足，且，若，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵函数对一切实数满足，且
∴
∴数列是等比数列，首项为2，公比为2
∴
所以
所以数列的前项和为．
故选：C．
题型五：对数函数模型
【例5】（多选题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
，
依次类推可得。
故选：C
【变式5-2】（2024·四川凉山·三模）已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
①；
②若当时，，则函数在单调递增；
③对，；
④若，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】令有，令有. 所以①正确.
，因为，所以，
所以，又因为，且当时，，
所以. 所以②正确.
当时由①可得③成立；
当时，由②得，所以，
所以……，
累加得，即 ，所以，所以③正确．
令，，由①得，又因为，所以，
由③得，所以，
所以 ，所以④错误．
故选：C
【变式5-3】（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】C
【解析】令，则，故，A选项错误；
令，则，故，B选项错误；
令，则，故为偶函数，C选项正确；
因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
题型六：正弦函数模型
【例6】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
【答案】BD
【解析】令，则.
另令，则，由，所以不成立，
所以，所以函数为奇函数，故A错误；
令，，则，故B正确；
令，，则，
又，所以，故C错；
令得.且，，.
所以；；
所以，又，，
所以；
所以；
所以
所以，故D正确.
故选：BD
【变式6-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
【答案】BC
【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：．
证明过程如下：
．
由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．
因为，故选项B正确．
因为，故选项C正确．
因为，故，故选项D错误．
方法二：对于选项A，因为的定义域为，
令，则，故，则，
令，则，
又不恒为0，故，
所以为奇函数，故A错误．
对于选项B，令，则．
而，所以，故选项B正确．
对于选项C，由选项B可知，，
令，则，所以．
又因为为奇函数，所以，故C正确．
对于选项D，由选项B以及，可得，
所以，同理可得．
因为，故，故D错误．
故选：BC
题型七：余弦函数模型
【例7】（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．
【答案】BC
【解析】A.，
令，则，故A错误；
令，则，又，所以，
令，则，
所以函数关于对称，
令，则，
令，且，则，所以，
又函数的定义域，所以函数为偶函数，故B正确；
令，则，
又，所以，故C正确；
因为，所以，所以函数的一个周期为8，
令，则，所以，
所以，所以，
，
所以
，
所以，故D错误.
故选：BC
【变式7-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数．满足，且，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A项，由，
令，则，故A项正确；
对于B项，令，则，
因，故，
令，则①，
所以函数关于点成中心对称，
令，则，
令，则②，
由①可得：③，由②③可知：，
且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；
对于C项，令，则，
因为，，，代入上式中得，
故得：，故C项正确；
对于D项，由上可知：，则，
故函数的一个周期为4，故，
令，则，
所以，
则，故D项错误．
故选：ABC．
【变式7-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又，令，则，
又由，得，
即的图象关于点成中心对称，则；
，即，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，
故
，
故选：D
【变式7-3】（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．0B．-1C．2D．1
【答案】D
【解析】令，则有，
又，∴.令，.
则有，∴.
令，则有.
∵，∴，∴，
∴
.
故选：D.
题型八：正切函数模型
【例8】定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，则实数与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【解析】 函数 满足，令 得 ；
令 得
在 为奇函数，
又时，有，所以时，有，
设，所以，所以，
则，所以，即，
在是单调减函数，在时，，
又 ，


，即 ，
故选：C.
【变式8-1】（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵函数满足对任意的且都有
∴令，则，
∴
∴
.
故选：D
1．已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵函数对于一切实数均有成立，
∴令得，，又，
∴，
∴令得，，即，
当时，不等式恒成立，
∴当时，恒成立，
令，，则在上单调递增，
∴，
∴要使当时，恒成立，
则在上恒成立，
当时，，不成立，
当时，则有，所以.
故选：D.
2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则＝（ ）
A．0B．2018C．2 017D．1
【答案】B
【解析】，
令，得，
，
令，又，
，
，故选B.
3．满足对任意的实数都有，且，则（ ）
A．2017B．2018C．4034D．4036
【答案】B
【解析】满足对任意的实数都有令得， ，
，故选B.
4．如果函数对任意满足，且，则
A．4032B．2016C．1008D．504
【答案】B
【解析】在中令，则有，所以，所以＝ ，故选B．
考点：1、函数解析式；2、新定义．
5．设函数的定义域为，对任意实数，，只要，就有成立，则函数（ ）
A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
【解析】令,则，
∵,
∴,即,其中,
∵,
∴.
∵,∴.
∵,
∴.
综上,知,
∴函数既是奇函数又是偶函数.
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】D
【解析】当时，不恒成立，故，A错误．
B：解法一 令，得，又，所以，
故，B错误．
解法二 令，得，又，所以，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．
解法二 令，得，又，所以，
所以，结合选项得C错误，D正确．
综上可知，选D．
故选：D.
7．设函数的定义域为，，若，则等于（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】因为，
令，则，即，可得；
令，则，即，可得；
令，可得.
故选：D.
8．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．为偶函数
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为，
令，得，即，所以函数为奇函数，故选项A不正确；
用替换，令，得，即，
又函数为奇函数，所以，所以，故选项B正确；
令，得，
即，即，
所以，所以函数的周期为2，
再由，令，可得，
由函数的周期性可知，，，
所以，故选项C不正确；
由，
令，得，
即①．
由，
令，得，
即，可得②．
由①+②整理后可得，即，故选项D正确.
故选：BD．
9．（多选题）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．
C．的一个周期为3D．
【答案】ABD
【解析】令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，
所以，令，则，
令，则，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，，B选项正确；
令，则，
所以，，
所以，所以，
由此可知：的一个周期为6，C选项错误；
因为，且，
令，，
令，，
且，，
所以，
由可知，，所以
，
因为的一个周期为6，且，
所以，D选项正确.
故选：ABD．
10．（多选题）（2024·江西九江·二模）已知函数的定义域为，，，则下列命题正确的是（ ）
A．为奇函数B．为上减函数
C．若，则为定值D．若，则
【答案】ACD
【解析】因为，，
令，可得，则，
令，可得，则，
令，可得，
令，可得，所以，所以为奇函数，故A正确；
因为、，所以不可能为上减函数，故B错误；
令可得，所以，故C正确；
令可得，因为，
所以，所以，，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
11．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．是奇函数
【答案】AC
【解析】令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；
，则,，B选项错误；
函数，定义域为R，，
为偶函数，C正确，D错误.
故选：AC
12．（多选题）（2024·广西·二模）已知函数的定义域与值域均为，且，则（ ）
A．B．函数的周期为4
C．D．
【答案】ACD
【解析】令得，即①，
令，得②，
联立①②，故A正确；
令，得③，
由①，，，
将它们代入③整理可得，所以由，故D对；
由可知为一元二次函数，设，
则有，
整理得，又由，
所以，经验证满足题设要求，故B错C对，
故选：ACD.
13．（多选题）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．或
C．是上的增函数D．是上的增函数
【答案】AC
【解析】在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
14．（多选题）已知是定义在上的函数，，且，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的最小值是1
D．不等式的解集是
【答案】BCD
【解析】对于A，令，得，解得或2.
因为，所以，则A错误.
对于BC，令，得，则，
从而是偶函数，且，故B，C正确.
对于D，因为是偶函数，在上单调递增，且，
所以不等式等价于，
所以，解得，则正确.
故选：BCD.
15．（多选题）已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误．
故选：ABC．
16．（多选题）（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．是偶函数
【答案】ABD
【解析】令，则，即. A正确.
令，则.
令，则，则.
故. B正确.
是非奇非偶函数. C不正确.
是偶函数. D正确.
故选：ABD.
17．（多选题）（2024·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】令，得，代入，得，
当为正整数时，，
所以，
所以，代入，得，
所以，又当时，也符合题意，
所以.
当不为正整数时，经验证也满足，
故为任意实数时，都有.
所以，故A正确；，故B正确；
所以，，故C不正确；
所以，
令，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
【答案】ABD
【解析】A项：因为，
当时，，令，
则，解得，A正确；
B项：任取：，
则，
因为当时，，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增，B正确；
C项：令，则，
解得或，当，且时，令，
则，
若为奇函数，则，即，
解得，与题意矛盾；
当时不为奇函数．
综上所述，函数不是奇函数，C错误；
D项：当，
则，
，
所以，易得在上单调递增，
所以时，，，
故函数的一个解析式为，D正确．
故选 :ABD
19．（多选题）已知函数，对于任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】令，故A正确；
由已知，①
令满足题干要求，则，故B错误；
由①可知，令，则，
又因为，则，所以，故C正确；
因为，所以，
又由①，令，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
20．（多选题）（2024·高三·辽宁·期中）已知函数的定义域为，，且，当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．当A，B是锐角的内角时，
D．当，且，时，
【答案】AD
【解析】令x＝y＝0，得，故A正确．
令x＝0，则，所以为奇函数，故B错误．
任取，且，则．
因为，
所以，所以．
因为，，所以，，
即在上单调递增．
因为A，B是锐角的内角，所以，所以，
所以．
因为，，所以，故C错误．
因为，且，所以．
令y＝－x，则，
令，则，所以．
因为，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故D正确．
故选：AD
21．（多选题）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．函数是增函数D．函数是奇函数
【答案】ABD
【解析】令，，得，
因为，所以；
令，得，
因为，所以，即选项A正确；
由选项A知的图象过点、，
令，则得，，
所以，
因为，所以选项B正确；
因为是减函数，所以选项C错误；
因为，所以为奇函数，即选项D正确；
故选：ABD．
22．（多选题）定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对，均有，令可得，所以，则，故A正确；
，可令得，所以，
则，故B不正确；
令，可得，
因为当时，，
又，所以，
故，所以，
所以，则，故C不正确；
令，得，则，，
以此类推可得：，
所以，故D正确.
故选：AD.
23．（多选题）已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】,,B选项正确;
,C选项正确;
,,D选项正确;
定义在上的函数满足：对，都有，
设,
,A选项错误.
故选:BCD.
24．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，
令，则，得，
令，则，即，
所以，
所以
所以，所以，即，
是以6为周期的周期函数，
所以，
故答案为：.
25．已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【答案】1,（答案不唯一）
【解析】令，则，
又，
所以，即，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数，则，
也可取，则，满足题意.
故答案为：,（答案不唯一）
26．已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 .
【答案】（不唯一）
【解析】由题意，，
累乘可得，即，
令，则，
所以，
故答案为：（不唯一）
27．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
【答案】
【解析】中，令，得；
令得，故，
则．
故答案为：．
28．（2024·高三·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
【答案】（答案不唯一，符合条件即可）
【解析】因为对，，；
所以在上可能为对数函数，
故满足条件①，又，
所以，
故符合上述条件的函数可能为：，
故答案为：（答案不唯一）.
29．已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为 .
【答案】
【解析】由已知得，，
，
，又，
故答案为：
30．若函数满足，写出一个符合要求的解析式 ．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因为函数满足，
所以x，
故答案为：x,答案不唯一
31．同时满足下列两个条件：①；②的函数可以为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由可知函数为增函数，
再由可知可以为对数函数，故可以填，或者其它底数大于的对数函数．
故答案为：（答案不唯一）