新高考数学二轮专题拔高点突破训练01 函数的综合应用（九大题型）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc168734592" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168734592 \h 2
\l "_Tc168734593" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168734593 \h 3
\l "_Tc168734594" 题型一：函数与数列的综合 PAGEREF _Tc168734594 \h 3
\l "_Tc168734595" 题型二：函数与不等式的综合 PAGEREF _Tc168734595 \h 6
\l "_Tc168734596" 题型三：函数中的创新题 PAGEREF _Tc168734596 \h 9
\l "_Tc168734597" 题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） PAGEREF _Tc168734597 \h 12
\l "_Tc168734598" 题型五：倍值函数 PAGEREF _Tc168734598 \h 16
\l "_Tc168734599" 题型六：函数不动点问题 PAGEREF _Tc168734599 \h 20
\l "_Tc168734600" 题型七：函数的旋转问题 PAGEREF _Tc168734600 \h 23
\l "_Tc168734601" 题型八：函数的伸缩变换问题 PAGEREF _Tc168734601 \h 26
\l "_Tc168734602" 题型九：V型函数和平底函数 PAGEREF _Tc168734602 \h 29
\l "_Tc168734603" 03过关测试 PAGEREF _Tc168734603 \h 35
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数

（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
【典例1-1】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数在上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ）
A．B．
C．D．为递减数列
【答案】D
【解析】因为所以，
令，
故函数在上的所有极值点为函数在上的零点，
即方程的正根，也即函数与函数图象交点的横坐标，
作出函数和函数图象如下
对于A，当时，由图可知，不满足，故A错误；
对于B，由图可知，当为奇数时，，当为偶数时，，故B错误；
对于C，由图可知，结合的对称性知，，，
不满足，故C错误；
对于D，在x轴上表示与的距离，
由于函数在上单调递减，函数是以为周期的函数，
结合图象可知越来越小，即数列为递减数列，故D正确.
故选：D
【典例1-2】（2024·新疆·三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．（）D．
【答案】D
【解析】对于A项，由（）得，
所以，，
又因为，所以，
所以，故A项正确；
对于B项，由A项可知，，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
假设当，，成立，则，
令，则，
当，，单调递减，
所以，即，
所以，
所以有，
所以对于任意，，成立，故C项正确；
对于D项，由A项知，不满足，故D项错误.
故选：D.
【变式1-1】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】数列中，，，显然，则，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，
，C错误；
对于D，令，求导得，
因此在上单调递增，，于是当时，，
则有，当时，，
则
，
因此，，则，
显然，所以，D正确.
故选：D
【变式1-2】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数在上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ）
A．B．
C．D．为递减数列
【答案】D
【解析】依题意，，在上的所有极值点，即函数在上的零点，
亦即函数与图象交点横坐标，当时，，
函数在上单调递减，且恒有，作出函数的图象，
观察图象知，，显然不等式不成立，A错误；
显然，B错误；
在数轴上表示的第个零点与的距离，由于在上单调递减，
因此随着的增大，逐渐减小，即为递减数列，D正确；
显然，即有，，C错误.
故选：D
题型二：函数与不等式的综合
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由题可得，当时，，，
当时，，
所以函数为偶函数．
当时，，
此时恒成立，
所以函数在上单调递增，
由为偶函数可得，函数在上单调递减．
又因为，
所以，即，
所以，即或，
解得或，
所以的解集为．
故答案为：
【变式2-1】关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】可化为，
设，定义域为R，且，
故为奇函数，
且恒成立，
故在R上单调递增，
故，解得，
故解集为.
故答案为：
【变式2-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为 ．
【答案】8
【解析】由，得，
得，得，
得，，
所以，
令，则数列即为斐波那契数列，
，则，显然数列为递增数列且，所以数列亦为递增数列，
由，得，，，，
，，
因为，，
所以
使得成立的的最小值为8．
故答案为：.
题型三：函数中的创新题
【典例3-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以关于对称，所以的根应成对出现，
又因为的方程恰有三个不同的实数根且，
所以该方程的一个根是，得，且，
所以，由得，
当，即，即时，，①
则，②
由①②得，解得，所以；
当，即，即时，，③
，④
由③④得，即，
解得，此时，不合题意，舍去，
综上，.
故选：B.
【典例3-2】（2024·山东·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，使，则，
可得，，
若k为奇数，则，所以，
，则，
解得，或，
当时，，，，，
当时，，，，，
若k为偶数，则，所以，
，则，
解得，或，
当时，，，，
当时，，，，，
因此，所有解之和为：，
故选：C.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
【答案】A
【解析】依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角股运算均无法得到1，记，得无最大值，B正确；
对任意正整数，，而，因此，C正确；
对任意正整数，每次除以2，最后得到1的次数为，因此，
由，知是假命题，D正确.
故选：A
【变式3-2】 19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【解析】，
，故．
故选：B．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
【典例4-1】设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数满足，即，解得，
则，令，
则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
∵，且（当且仅当时取等号），
∴若设直线的方程为，直线的方程为，由此可知当，直线位于直线和直线中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故，
所以实数的最大值为.
故选：.
【典例4-2】已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由存在，使得成立，故，
又对任意的实数a，b，，则，
可看作横坐标相同时，函数
与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又，作示意图如图所示：
设，则直线的方程，设与相切，
则，得，有，
得或，由图知，切点，则，
当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时，，故.
故选：B
【变式4-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，所以，
作出的图象如下，
令，即，得，
且，显然，
在上，当时，，
当时，，当时取等号；
当时， ，所以，
此时点到直线的距离都是，
当时，三点中中至少有一个点满足
，所以，综上所述，，
故选：D.
【变式4-2】设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为 ．
【答案】2
【解析】
设
在上单调递增，在上单调递减，
设
画出函数图像：
对任意的实数和，总存在，使得
等价于求最大值里的最小值.
根据图像知：当时，最大值的最小值为2
故实数的最大值为2
答案为2
【变式4-3】设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】设的最大值为，
令，则在上，当时，即时，单调递增，
此时，
当时，，
当时，，
从而当时，时，取最小值，，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在时，，当时，，
在，时，，当时，，
对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，
，
故的最大值为，
故答案为：.
题型五：倍值函数
【典例5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．
①； ②；
③； ④．
【答案】①③．
【解析】①函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则有，解得，所以函数存在“倍值区间”，故正确；
②函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，
当时，，，此时无解；
当时，设，，
令，解得，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，所以时，，
所以此时无解，
综上所述，无解，故函数不存在“倍值区间”，
③当时，；
当时，，由于对勾函数在上单调递减，
由复合函数可得函数在区间上单调递增，
若函数在区间存在“倍值区间”，则有，解得，
所以函数存在“倍值区间”，故正确；
④若函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
故没有“倍值区间”；
故答案为：①③．
【典例5-2】函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为 .
【答案】②③
【解析】对于①，函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“倍值区间”；
对于②，函数 为减函数，若存在“倍值区间”，则有得：，，,例如：，.所以函数存在“倍值区间”；
对于③，若函数存在“倍值区间”，则有，解得.所以函数函数存在“倍值区间”；
对于④，当时，.当时，，从而可得函数在区间上单调递增.若函数存在“倍值区间”，且，则有，无解.所以函数不存在“倍值区间”.
故答案为：②③.
【变式5-1】函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】若，则函数为R上增函数，为上的增函数，
所以函数为其定义域上的增函数，
若，则函数为R上减函数，为上的减函数，
所以函数为其定义域上的增函数，
综上，函数为其定义域上的增函数，
若函数是“优美函数”，则，
即，即是方程的两个不同的正根，
则，解得，即的取值范围是，
故答案为：
【变式5-2】（2024·山东济宁·三模）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，因在其定义域内是单调递增函数，则也是单调递增函数；
当时，在其定义域内是单调递减函数，则是单调递增函数；
所以函数是增函数，有，即，
故是方程的两个实数根，即方程有两个不同的实数根，
也即函数与直线有两个不同的交点.令，则，
所以问题转化为函数与有两个不同的交点，最大值为，
又时，，所以当时，即时，两函数恰有两个交点.
故答案为：.
题型六：函数不动点问题
【典例6-1】（2024·高三·上海·开学考试）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】由曲线上存在点，使得，即，
下面证明，因为在定义域上严格递增，
假设，则，
不满足，同理，不满足，
所以，那么函数，
即函数在有解，所以，
即，，令，
则，
，，单调递增，
又，所以，所以a的取值范围是．
故答案为：
【典例6-2】设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知可得，且，
由已知存在，使得，则，
所以，存在，使得，可得，
因为函数在上单调递增，则，则.
易知函数在上单调递增.
若，则，不合乎题意；
若，则，不合乎题意；
若，则，合乎题意.
故存在，使得，可得，则，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-1】设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为在曲线上，，∴.
由于在定义域内是增函数，
所以若，则，与矛盾，
若，则，与矛盾，所以，
则问题转化为在内有解，即方程在内有解，
得方程在内有解，令，
则，∴时，，
即在上单调递增，所以.
故答案为：
【变式6-2】设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 .
【答案】,
【解析】，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
即函数的取值范围为,，
若上存在点,使得成立，则,.
又在定义域上单调递增.
假设，则，不满足；
假设，也不满足；
综上可得：，,.
函数有解，等价为，在,上有解，即平方得，则，
设，则，
由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，
即当时，函数取得极小值，即，
当时，，
则.则，
故实数的取值范围为,.
故答案为：,.
【变式6-3】已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 .
【答案】
【解析】利用运动是相对的，
函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），
可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，
即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为，
故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转，
则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转，
故的最大值为，
故答案为：
题型七：函数的旋转问题
【典例7-1】设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】画出函数的图像，如图，在轴正半轴上取一点，则，
由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，旋转所得的图像与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线不是一个函数的图像，
故的最大值是
故答案为：.
【典例7-2】（2024·高三·山东青岛·开学考试）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故选：B.
【变式7-1】设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．3C．-3D．0
【答案】A
【解析】
对于A项，若，则构造如图1的函数图象，
使得点，根据定义可得图象上不存在关于轴对称的点，
符合函数的定义，所以的取值可能是.故A正确；
对于B项，若，构造如图2的函数图象，
使得点，根据定义可推得点，
所以有，不符合函数的定义，故B错误；
对于C项，若，构造如图3的函数图象，
使得点，根据定义可推得点，
所以有，不符合函数的定义，故C错误；
对于D项，若，构造如图4的函数图象，
使得点，根据定义可推得则点，所以.
又，所以，不符合函数的定义，故D错误.
故选：A.
【变式7-2】（2024·浙江绍兴·三模）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为
当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.
所以的最大值为.
故选：B.
题型八：函数的伸缩变换问题
【典例8-1】定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[−,0]当x∈[1,2)时，f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,−]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为−1，
又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[−2,0)时，f(x)的最小值为，
当x∈[−4,−2)时，f(x)的最小值为，
若x∈[−4,−2]时，恒成立，
∴恒成立．
即t2−4t+3⩽0，
即(t−3)(t−1)⩽0，
即1⩽t⩽3，
即t∈[1,3]，
本题选择D选项.
【典例8-2】定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是，
所以当时，的取值范围是,
因为函数满足，所以，
又当时,,
故的取值范围是，
所以时，，
故，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
【变式8-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可知，，， ，
所以当，对应就是的值域的倍，
由分段函数可以得，在，值域为；，值域为
可知当时，的值域为，
故对应值域为
对于恒成立，
可得，解得，，
故选：A．
【变式8-2】（2024·山西·二模）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，
此时有，
当时，，此时函数单调递增，
故，故函数在时的最小值为，
又，因此当时，函数，
从而，
故选：C.
【变式8-3】（2024·江西·一模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
当时，，，
，又，所以至少小于7，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
故选：B.
题型九：V型函数和平底函数
【典例9-1】（2024·上海青浦·二模）等差数列，满足
，则（ ）
A．n的最大值是50B．n的最小值是50
C．n的最大值是51D．n的最小值是51
【答案】A
【解析】不妨设，，由对称性可得：.可得，.解得.可得，可得，解出即可得出.不妨设，，由对称性可得：.则，.
，，
∴
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，∴.
∴n的最大值为50.
故选：A.
【典例9-2】已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
【变式9-1】等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
【答案】A
【解析】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
【变式9-2】已知等差数列满足，，则的最大值为（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】A
【解析】由题意，等差数列满足
，
可得等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，
则，且，即，
由，则，即，
即有，
则
，
可得，解得，
即有的最大值为，的最大值为.
故选：A.
【变式9-3】设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
【答案】A
【解析】因为
所以
令
则 （）
①当时，，不满足（），舍去．
②当时，由（）得为平底型，故为偶数 ．
的大致图像为：
则
所以，故A正确．
由
当 时
当 时
故不存在，满足，C错


由于 所以，故D错
③当时，令
由于 的图像与的图像关于轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知为平底型，故为偶数，故B错
令
所以 ，故A正确
由②知，不存在，满足，故C错
由②知，，故D错
综上所述，A正确,BCD错误
故选A.
1．已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
【解析】法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
2．已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，
解得或，
由零点存在性定理得，
当时，，数列单调递减，
，
，
同理，，
迭代下去，可得，数列单调递减，
故选项和选项都错误；
又，
，故错误；
对于，，
而，
，故A正确．
故选：A．
3．已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，把代入递推可得：，
令，，则，在单调递增，
，即当时，恒有成立，
，，，故选项错误；
又，选项错误；
，，
令，，则，函数在，上递减，，
，故选项正确；
又由可得，，（当且仅当时取“ “，可得，
，故选项错误，
故选．
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点B．是单调函数
C．是奇函数D．是周期函数
【答案】D
【解析】对于A，因为或均为有理数，
所以，故没有零点，A错误，
对于B，因为，所以，
故不是单调函数，B错误，
对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以，
故是偶函数，C错误，
对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数，
所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，
故选：D.
5．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记函数，首先证明其凹凸性：
，
在上为“凹函数”.
由琴生不等式，得，
即.
所以，
即当时，取最小值，所以.
故选：B.
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，.若，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
由题意，解得，所以.
故选：C.
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，，则，，
所以，当且仅当时取等号，
即，当且仅当时取等号，
所以
，（）
所以当时，取得最小值，
故选：D．
8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在上单调递增，则
所以是方程在上的两个不等实根，
令，则，
所以在上有两个不等实根，
令，对称轴，
则，即，解得．
故选：B．
9．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（且）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】对于选项A，存在区间，在上是单调增函数，在上的值域是，故A正确；
对于选项B，假设存在区间，函数在区间上为增函数，
由在上的值域是，可得，
解得 ，这与矛盾，故假设错误，所以选项B正确；
对于选项C，由函数，
可得，
取区间，在此区间上，所以函数在区间上为增函数．
因为，，所以函数在区间上的值域为，所以选项C正确；
对于选项D，不妨设，因为内层函数为增函数，外层函数也为增函数，
所以，函数在其定义域内为增函数，
假设函数存在“和谐区间”，则由得，
所以、是方程的两个根，
即、是方程的两个根．
令，可得，，
设关于的二次方程的两根分别为、，则，则、，
即关于的二次方程有两个正根，故函数存在“和谐区间”，D错.
故选：D.
10．（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足：
①在区间上是单调函数；
②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”
已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若函数有“和谐区间”，则在上单调递增，
且在定义域内有两个不等的实数根，
，即，
又在区间单调递减，
在区间单调递增，且，所以，
又因为与直线在有两个交点，
，所以，得，
所以正整数的最小值为，，
即，，
此时，实数的取值范围是.
故选：B.
11．（2024·广西柳州·模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意， 存在，使成立，
即存在，使成立，
所以，即，
所以
所以存在，使与有交点，
对，，求导得，
设，则，
令，即；令，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
又，
，
要使与有交点，则，
所以的取值范围是.
故选：A.
12．（2024·安徽阜阳·二模）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为 ,所以 在 上有解
因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由得 在 上有解，即 ,因为 ，选C.
13．（2024·河南郑州·一模）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵曲线上存在点
∴
函数（）在上是增函数，根据单调性可证
即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A.
14．设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由可知，
当时，＝为增函数，
∴时，．
∴ 不存在使成立，故A，B错；
当时，＝，
当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．
法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，
，而由可知，
于是，问题转化为在上有解．
由，得，分离变量，得，
因为，，
所以，函数在上是增函数，于是有，
即，应选D．
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，即，
所以由题意存在使得成立，
即在区间上有解，也即方程有解，
所以问题转化为方程有解，
令，
则，
故函数单调递增，又，
所以，.
故选：D．
16．设是函数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
∵的图象绕原点逆时针旋转后原图重合，
∴旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
对于B项，当时，即，，
将点绕坐标原点逆时针旋转得到圆上的点仍在函数图像上，
如图所示，
从函数角度看，此点的横坐标为，即，这与函数的定义相矛盾，故B项错误；
对于A项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故A项成立；
对于C项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故C项成立；
对于D项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故D项成立.
故选：B.
17．定义域为R的函数满足，当时，,若时,对任意的都有成立，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，
时，
当时，
时，
时，，即对恒成立
即：对恒成立
令，，则
当时，，则在上单调递增
，解得：
本题正确选项：
18．（多选题）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABCD
【解析】
如上图所示，分别是绕着原点逆时针方向旋转，，，，所得到的的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
19．（多选题）（2024·山东日照·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，，则（ ）
A．
B．若对任意，都有，则的取值范围是
C．若方程恰有三个实数根，则的取值范围是
D．函数在区间上的最大值为，若存在，使得成立，则
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为，满足，即，且当时，，
当时，，即，
当时，，即，
依次，当时，即
作出函数图象
对于A，代入，故正确；
对于B，对任意，都有，
，
，解得
，对任意，
都有，则的取值范围是，正确；
对于C，当时，的图像有3个交点，故错误；
对于D.
最大值
存在，使得成立，的最大值，
，则增，减，，
即，正确.
故选：ABD
20．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以图象关于点对称，
又，
所以在上单调递增，
等价于，
即恒成立，
所以，即恒成立，
令，可得，
而，当且仅当时取等号，
所以，即实数的最小值为.
故答案为：.
21．已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ．
【答案】2
【解析】，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，,与函数，,图象上点的纵向距离，
则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当函数的图象刚好为时此时，取得最小值为2.
故答案为：2
22．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，记的最大值为，则当取得最小值时，的值为 ．
【答案】
【解析】由题意，得函数的对称中心为，
因为是奇函数，图象关于原点对称，所以其最大值和最小值互为相反数，
所以不小于的最大值；
要使取得最小值，则，
令，，，
当时，则，为增函数，由于是奇函数，所以；
当时，令得；
若，即时，时，，为减函数，；
若，即时，时，，为增函数，时，，为减函数，结合的对称性可知
，
因为，所以;
若，即时，结合以上分析可知；
若，即时，时，，为增函数，时，，为减函数，时，，为增函数，结合的对称性可知，
因为，所以；
综上可知的最小值为4，此时，，所以．
故答案为：.
23．函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时，
【答案】2
【解析】解法一：因为函数是二次函数，
所以（a，）在区间[0，c]（）上的最大值是在[0，c]的端点取到或者在处取得．
若在取得，则；若在取得，则；
若在取得，则；
进一步，若，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；
若，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；
由此推断，即有，，
于是有．
解法二：设，，则．
首先作出在时的图象，显然经过（0，0）和的直线为，该曲线在[0，c]上单调递增；
其次在图象上找出一条和平行的切线，
不妨设切点为，于是求导得到数量关系．
结合点斜式知该切线方程为．
因此，即得．此时，
即，那么，．从而有．
24．（2024·全国·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据已知，
当时，，
则当时，在处取到最小值，
当时，在处取到最小值，
所以在时在处取到最小值，
又因为，
可知当时，
在时取到最小值，
且，
则．
为使，恒成立，
需，
当时，
可整理为，
解得；
当时，
可整理为，
解得．
故答案为.
25．（2024·上海长宁·一模）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素．
【答案】1
【解析】令f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|，
将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题
不妨令a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，
由于f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝，
g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝，
考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．
当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾
不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3，
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．
26． 为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是 .
【答案】
【解析】易得中有正有负,则数列中的项一定满足或,且项数为偶数.
不妨设,设公差为,则此时,且.
又
.故.
故有
.
因为,故.因为
故,
故答案为：
27．等差数列满足，则的最大值为 ．
【答案】50
【解析】若对任意，恒成立，则，
可得，
，
显然两者不相等，不合题意；
同理可得对任意，恒成立也不合题意；
所以等差数列一部分为正，一部分为负，
即存在，使得或，
若，可得，
且
，
当且仅当时，等号成立，
即，解得；
且
，
当且仅当时，等号成立
即，解得，
综上所述：，即满足条件的必为偶数，
结合等号成立条件可知：且，
设等差数列的公差为，则，，，
即，，，
可得，
则
，
可得，解得，
且，即有的最大值为，的最大值为；
同理可得：当，的最大值也为.
故答案为：50.
28．若等差数列满足，则n的最大值为 ．
【答案】50
【解析】由题意知：等差数列满足
，
故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，此时，，
则，且，即，故，.
又，则，故，即有，
则
，
可得，解得，又，
即有的最大值为，的最大值为.
故答案为：50