新高考数学二轮复习提分训练专题08 导数压轴大题归类（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提分训练专题08 导数压轴大题归类（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了恒等变形，再证明新恒等式法，已知函数．等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc171325299" 题型一： 不等式证明1：无参基础思维型 PAGEREF _Tc171325299 \h 1
\l "_Tc171325300" 题型二： 不等式证明2：有参数型基础证明 PAGEREF _Tc171325300 \h 2
\l "_Tc171325301" 题型三：极值点偏移：和型 PAGEREF _Tc171325301 \h 2
\l "_Tc171325302" 题型四：极值点偏移：积型 PAGEREF _Tc171325302 \h 3
\l "_Tc171325303" 题型五：极值点偏移：含参型 PAGEREF _Tc171325303 \h 3
\l "_Tc171325304" 题型六：极值点偏移：平方型 PAGEREF _Tc171325304 \h 4
\l "_Tc171325305" 题型七：极值点偏移：非对称型 PAGEREF _Tc171325305 \h 5
\l "_Tc171325306" 题型八：比值代换型证明 PAGEREF _Tc171325306 \h 5
\l "_Tc171325307" 题型九：三零点型不等式证明 PAGEREF _Tc171325307 \h 6
\l "_Tc171325308" 题型十：三角函数型不等式证明 PAGEREF _Tc171325308 \h 7
\l "_Tc171325309" 题型十一： 零点与求参 PAGEREF _Tc171325309 \h 7
\l "_Tc171325310" 题型十二：三个零点型求参 PAGEREF _Tc171325310 \h 8
\l "_Tc171325311" 题型十三：恒成立求参：三角函数型 PAGEREF _Tc171325311 \h 8
\l "_Tc171325312" 题型十四：恒成立求参：整数解型 PAGEREF _Tc171325312 \h 9
\l "_Tc171325313" 题型十五：能成立求参：双变量型 PAGEREF _Tc171325313 \h 10
题型一： 不等式证明1：无参基础思维型
证明不等式基础思维：
1.移项到一侧，证明函数的最值大于0（小于0）证明法
2.恒等变形，再证明新恒等式法。
1.（四川省金太阳普通高中高三第三次联考数学）已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当时，证明：.
2.已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若，求证：在上恒成立.
3.（2022·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
题型二： 不等式证明2：有参数型基础证明
有参数型不等式证明：
通过参数范围，确定函数的单调性，然后利用最值放缩证明不等式
1.（2024高三·全国·专题练习）设函数．
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)证明：当时，；
2.（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
3.（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
题型三：极值点偏移：和型
处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
1.（22-23高三·广东深圳·阶段练习）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
2.（22-23高三·陕西安康）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明.
3.（2023·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
题型四：极值点偏移：积型
处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
1.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
2.（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
3.（23-24高三 ·河南·阶段练习）已知函数.
(1)若有唯一极值，求的取值范围；
(2)当时，若，，求证：.
题型五：极值点偏移：含参型
含参型极值点偏移：
1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；
2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
1.（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
2.（22-23高按·四川泸州）已知函数，e为自然对数的底数.
(1)若函数在上有零点，求的取值范围；
(2)当，，且，求证：.
3.（21-22高三·河南郑州·）已知函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)若，且，证明：
题型六：极值点偏移：平方型
对于平方型，可以应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
1.（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上
(1)当顶点在轴上方时，求 以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
(2)已知函数，关于的方程有两个不等实根.
（i）求实数的取值范围;
（ii）证明：.
2.（22-23高三·辽宁·模拟）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
3.（2023·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
题型七：极值点偏移：非对称型
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
2.（22-23高三·福建福州）已知函数（）．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，（），求证：．
3.（21-22高三·浙江·模拟）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的图象与的图象交于，两点，证明：.
题型八：比值代换型证明
应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
构造对数不等式时，比值代换是常见经验思维：
1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式
2.两个极值点（或者零点），可代入得到两个“对称”方程
3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。
1.（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知函数为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数，存在，证明：．
2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明.
3.（21-22高三·重庆·模拟）已知函数有两个不同的零点.
(1)求的最值；
(2)证明：.
题型九：三零点型不等式证明
三个零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化．证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用一个变量表示，第二步构造新函数，证明的最小值，第三步由导数求得极小值点的范围，并对变形，第四步换元，最终转化为关于的多项式不等式，问题易于解决．
（广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期四校联考数学试题）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若且，证明：，；
（3）记方程的三个实根为，，，若，证明：.
2.（浙江省舟山中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若有三个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
3.已知，关于x的方程的不同实数解个数为k.
（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；
（2）若方程的三个不同的根从小到大依次为，求证：.
题型十：三角函数型不等式证明
对于含有三角函数型不等式证明：
1.证明思路和普通不等式一样。
2.充分利用正余弦的有界性
1.（河南省开封市杞县高中2023届高三文科数学第一次摸底试题）已知函数．
(1)求函数在内的单调递减区间；
(2)当时，求证：．
2.（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）已知函数，，其中.
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若，证明：.
3.已知函数的图象在原点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)证明：.
题型十一： 零点与求参
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1.（23-24高三·广东清远·模拟）已知定义在正实数集上的函数，．
(1)设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
2.（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
3.（22-23高三上·福建福州·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
题型十二：三个零点型求参
1.（23-24高三·湖北省直辖县级单位·模拟）若函数，当时，函数有极值.
(1)求函数的极值；
(2)若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围.
2.（23-24高三·云南玉溪·模拟）设，曲线在点处的切线与轴相交于点.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.
3.（2022高三·河南南阳·专题练习）若函数，当时，函数有极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围．
题型十三：恒成立求参：三角函数型
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
2.（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的最值；
(2)当时，，求实数的取值范围．
3.（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，判断当时函数的单调性；
(2)当时，在恒成立，求的最大值.
题型十四：恒成立求参：整数解型
解决不等式恒成立问题，常用方法有：
将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；
（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.
1.（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数，其导函数为.
(1)若在不是单调函数，求实数的取值范围；
(2)若在恒成立，求实数的最小整数值.
2.（2023下·天津滨海新·高二统考期末）已知函数，.
(1)若，求m的值及函数的极值；
(2)讨论函数的单调性：
(3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.
3.（2023下·辽宁朝阳·高二校联考期末）已知函数，
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求整数a的最小值；
(3)求证，
4.（2023下·江苏苏州·高二统考期中）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．
题型十五：能成立求参：双变量型
恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
1.（2023·全国·模拟预测）已知函数，，．
(1)求的极值；
(2)若存在，对任意的，使得不等式成立，求实数的取值范围．（）
2.（2023上·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数，．
(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围．
3.（2023上·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．