2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.7离心率的范围问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.7离心率的范围问题(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了7　离心率的范围问题，已知椭圆M，设F1，F2分别为椭圆C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【名师点拨】圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁。
题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
【典例】1.已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是( )
A.33，22B.22，1
C.33，1D.13，12
【答案】A
【解析】由基本不等式及椭圆定义可知
|PF1|·|PF2|≤PF1|＋PF2|22＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴2c≤a≤3c，∴33≤e≤22.
【典例】2.已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为( )
A.23B.1
C.32D.2
【答案】C
【解析】不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，
椭圆的长半轴长为a1，离心率为e1，双曲线的实半轴长为a2，离心率为e2，两曲线的半焦距均为c，
由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
m2＋n2－2mncs 60°＝4c2⇒(a1＋a2)2＋(a1−a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，
则a12＋3a22＝4c2，得1e12＋3e22＝4，
由基本不等式得4＝1e12＋3e22≥23e12e22⇒e1e2≥32，
当且仅当e1＝22，e2＝62时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为32.
【解题技巧】此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的取值范围.
【变式训练】已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(26，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为 .
【答案】1，62
【解析】由右焦点为F(26，0)，点A的坐标为(0，1)，可得|AF|＝24＋1＝5.
因为△APF的周长不小于18，
所以|PA|＋|PF|≥13.
设F2(－26，0)为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取得最小值，最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，
所以5＋2a≥13，即a≥4，
因为c＝26，所以e＝ca＝26a≤62，
又e>1，所以e的取值范围为1，62.
题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
【典例】2.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A.43B.32
C.2D.53
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝2a，
因为|PF1|＝5|PF2|，
所以|PF1|＝5a2，|PF2|＝a2，
因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF2|≥c－a，
即a2≥c－a，所以3a2≥c，
所以1b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是( )
A.0，12B.12，1
C.0，32D.32，1
【答案】C
【解析】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆于另一交点，记为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，
由椭圆过焦点的弦中通径最短，
所以当PA垂直于x轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝2b2a，所以ab≤2b2，即ba≥12，
又00，即11)，
联立方程x2a2＋y2a2−1＝1,y＝x＋3,
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，
即a4－6a2＋5≥0，
得a2≥5或a2≤1(舍去)，解得a≥5，
所以00，b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)
C.(1，2)D.(1，2]
【答案】B
【解析】设直线AF1：y＝k(x＋c)k0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝π3，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.0，12B.12，1
C.0，12D.12，1
【答案】D
【解析】由题意，设椭圆的上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝π3，
则只需∠F1BF2≥π3即可.
当∠F1BF2＝π3时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，故当∠F1BF2≥π3时，a≤2c，即12≤ca.
又00)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.22，1B.22，1
C.12，1D.12，1
【答案】A
【解析】因为以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b1，所以1b>0)的长轴长大于43，当m变化时，直线x－my＋2－2m＝0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是( )
A.0，22B.22，1
C.0，12D.12，1
【答案】B
【解析】因为直线x－my＋2－2m＝0即x＋2＝m(y＋2)，
所以该直线过定点(－2，－2)，
所以点(－2，－2)在C上，则4a2＋4b2＝1，
即4(a2＋b2)＝a2b2，
则4(2a2－c2)＝a2(a2－c2)，
所以a2＝4(2a2−c2)a2−c2＝4(2−e2)1−e2，
因为C的长轴长大于43，
所以a>23，a2>12，所以2−e21−e2>3，
解得12