2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 027-能力提升14 离心率的范围问题（教用）

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圆锥曲线中的离心率问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可以使问题求解更简捷.
题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1
（1） （2025·山西模拟）如图，F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形ABF2F1为等腰梯形，且|AF1|=|F1F2|=|BF2|=2c.若∠ABF2b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A在C上运动，点P在圆O：x2+y2=4a2上运动，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. (0,45]B. (0,47]C. [45,1)D. [47,1)
【答案】（1） D
（2） C
【解析】
（1） 连接BF1（图略），因为|F1F2|=|BF2|=2c，所以由双曲线的定义可知|BF1|=2a+2c，又四边形ABF2F1为等腰梯形，且∠ABF22π3，则cs∠F1F2B0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点作圆C1的两条切线，切点分别为A,B，且∠APB=π2，则椭圆C2的离心率的取值范围为 （ ）
A. (0,22]B. [22,1)C. (0,12]D. [12,1)
【答案】（1） D
（2） B
【解析】
（1） ∵ 双曲线C1的渐近线方程为bx±ay=0，且双曲线C1的渐近线与圆C2:(x−2)2+y2=3有公共点，∴ 圆心到渐近线的距离不大于半径，即2ba2+b2≤3，∴b2≤3a2，∴b2=c2−a2≤3a2，∴11，所以双曲线的离心率的取值范围是(1,3+52].
题型三 利用平面几何图形中的不等关系求离心率的范围
例3
（1） （2025·山东泰安模拟）已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，M，N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足OM=OP+ON，∠PON∈(2π3,5π6)，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A. (0,23)B. (0,223)C. (0,32)D. (63,1)
（2） （2025·安徽马鞍山模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为其左支上一点，且2|PF2|=3|PF1|，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A. (0,5)B. [5,+∞)C. (1,5]D. (1,5)
【答案】（1） B
（2） C
【解析】
（1） 由题意知P(−a,0)，由OM=OP+ON知四边形OPMN为平行四边形，则M，N两点关于y轴对称，设M(−a2,t)(t>0)，则N(a2,t)，将点N的坐标代入椭圆C的方程可得t=32b.
设α 为直线ON的倾斜角，因为∠PON∈(2π3,5π6)，所以α∈(π6,π3)，所以tanα=ta2=32ba2=3ba∈(33,3)，所以ba∈(13,1)，所以e=ca=1−(ba)2∈(0,223)，所以椭圆C的离心率的取值范围为(0,223).
（2） 由题知，2|PF2|=3|PF1|，
即|PF2|=32|PF1|.
由|PF2|−|PF1|=2a，可得32|PF1|−|PF1|=2a，所以|PF1|=4a，
则|PF2|=32×4a=6a.
易知|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
所以4a+6a≥2c，即10a≥2c，所以e=ca≤5.又双曲线的离心率e>1，所以1b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且∠PF2F1为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(13,2−1)
【解析】设椭圆的半焦距为c，则F1(−c,0)，F2(c,0)，
因为△PF1F2为等腰三角形，且∠PF2F1为钝角，所以|PF2|=|F1F2|=2c，
设点P的坐标为(x,y)，则F2P=(x−c,y)，F2F1=(−2c,0)，
所以F2P⋅F2F1=−2c(x−c)c，
又−a