新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.5椭圆（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.5椭圆（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．“10)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(BA2,\s\up6(—→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1
4．(2024·昆明模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则△ABF1的面积等于( )
A．18 B．10 C．9 D．6
5．(2023·沈阳模拟)魏晋时期数学家刘徽(图(1))为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图(2))，两圆柱公共部分形成的几何体(如图(3))即得一个“牟合方盖”，图(4)是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上)．
由“牟合方盖”产生的过程可知，图(4)中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,4)
6．(2023·陕西省安康中学模拟)已知P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，若C的右焦点F的坐标为(3,0)，点M满足|eq \(FM,\s\up6(→))|＝1，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(FM,\s\up6(→))＝0，若|eq \(PM,\s\up6(→))|的最小值为2eq \r(2)，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,40)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
二、多项选择题
7．(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
8．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有( )
A．△PF1F2的周长为4＋2eq \r(2)
B．当∠PF1F2＝90°时，|PF1|＝2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为eq \f(4\r(3),3)
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
三、填空题
9．已知F1(－2,0)，F2(2,0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，则椭圆C的方程为________________．
10．椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝________.
11．已知一个离心率为eq \f(1,2)，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为F1，F2，在椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，设△PF1F2的内切圆半径为r，则r的值为________．
12．(2023·潍坊模拟)如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动)．若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为________．
四、解答题
13．(2024·西安模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，且满足|AF2|＝eq \f(\r(3),6)c.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别与x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程．
14．在平面直角坐标系中，点B与点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－eq \f(3,4).
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的取值范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线x＝3交于M，N，问是否存在点P使得△PAB与△PMN面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
15．(2023·衡阳联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线l与椭圆C相交于M，N两点，∠MF2N＝90°，且4|F2N|＝3|F2M|，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(5),5)
16．(2024·呼和浩特模拟)已知点P是椭圆eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1上异于顶点的动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且eq \(F1M,\s\up6(—→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，则|eq \(OM,\s\up6(→))|的取值范围是________．
§8.5 椭 圆
1．A 2.D 3.B 4.C 5.A
6．B [如图，
∵|eq \(FM,\s\up6(→))|＝1，
∴|FM|＝1，
又∵eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(FM,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(PM,\s\up6(→))⊥eq \(FM,\s\up6(→))，
即PM⊥FM，
∴|eq \(PM,\s\up6(→))|＝|PM|＝eq \r(|PF|2－|FM|2)＝eq \r(|PF|2－1)，
∴当点P为椭圆的右顶点时，|PF|取最小值，|PF|min＝a－c＝a－3，
此时|eq \(PM,\s\up6(→))|min＝eq \r(a－32－1)＝2eq \r(2)，
解得a＝0(舍)或a＝6，
∴b2＝a2－c2＝36－9＝27，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1.]
7．ACD [根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确；
eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1－e,1＋e)＝eq \f(2,1＋e)－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度慢，根据面积守恒定律，则运行时间长，D正确．]
8．AD [由椭圆的方程可得，a＝2，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(2)，
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2eq \r(2)，故A正确；
当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，令x＝－eq \r(2)，可得y＝±1，
所以|PF1|＝1，故B不正确；
当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2·tan 30°＝2×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3)，故C不正确；
当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，
当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，
此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，
此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故D正确．]
9.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 10.eq \r(3)
11.eq \f(\r(3),3)
解析 因为椭圆的离心率为eq \f(1,2)，长轴长为4，所以a＝2，c＝1，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|＝4，
所以＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)，
即eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)r×(4＋2)，
解得r＝eq \f(\r(3),3).
12．3
解析 连接BD，PB，BH(图略)，
因为四边形ABCD为菱形，则AC为线段BD的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，
所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>2＝|BH|，
故点P的轨迹是以B，H为焦点且长轴长为4的椭圆，
可得2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，
所以|PB|的最大值为a＋c＝3.
13．解 (1)由题意，
令x＝c，可得y2＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(c2,a2)))，
解得y＝±eq \f(b2,a)，可得eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),6)c，
又由c2＝a2－b2，
整理得6a2－6c2＝eq \r(3)ac，
即6－6e2＝eq \r(3)e，
即6e2＋eq \r(3)e－6＝0，解得e＝eq \f(\r(3),2)，
即椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),2).
(2)由椭圆C的方程，可得M(0，b)，N(0，－b)，
设P(x0，y0)，所以b2xeq \\al(2,0)＋a2yeq \\al(2,0)＝a2b2，
则直线MP的方程为y＝eq \f(y0－b,x0)x＋b，
令y＝0，可得xR＝eq \f(bx0,b－y0)，
同理直线NP的方程为y＝eq \f(y0＋b,x0)x－b，令y＝0，可得xQ＝eq \f(bx0,b＋y0)，
因为|OR||OQ|＝eq \f(b2x\\al(2,0),b2－y\\al(2,0))＝a2＝4，
解得a＝2，
又因为e＝eq \f(\r(3),2)，所以c＝eq \r(3)，
则b＝eq \r(a2－c2)＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
14．解 (1)因为点B与点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))
关于原点对称，
所以点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，
设点P的坐标为(x，y)，
由题意得eq \f(y－\f(3,2),x＋1)·eq \f(y＋\f(3,2),x－1)＝－eq \f(3,4)，
化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±1)，
故动点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±1)．
(2)若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，
则eq \f(1,2)|PA|·|PB|·sin∠APB
＝eq \f(1,2)|PM|·|PN|·sin∠MPN，
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以eq \f(|PA|,|PM|)＝eq \f(|PN|,|PB|)，
所以eq \f(|x0＋1|,|3－x0|)＝eq \f(|3－x0|,|x0－1|)，
即(3－x0)2＝|xeq \\al(2,0)－1|，
解得x0＝eq \f(5,3)，
因为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±1)，
所以y0＝±eq \f(\r(33),6)，
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，
此时点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，±\f(\r(33),6))).
15．D [如图所示，设|F1F2|＝2c，
因为4|F2N|＝
3|F2M|，
设|F2N|＝3t，
则|F2M|＝4t，
在Rt△F2MN中，|MN|＝eq \r(|F2N|2＋|F2M|2)＝5t，
由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，
|F1M|＝2a－4t，
|F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t，
解得a＝3t，
所以|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，
|F1M|＝2a－4t＝2t，
在△F1NF2中，可得cs∠NF1F2＝eq \f(c,3t)，
在△F1MF2中，由余弦定理可得
cs∠MF1F2＝eq \f(c2－3t2,2ct)，
因为∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，
所以cs∠NF1F2＋cs∠MF1F2＝0，
即eq \f(c,3t)＋eq \f(c2－3t2,2ct)＝0，解得c＝eq \f(3\r(5)t,5)，
所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5).]
16．(0,4)
解析 如图，延长PF2，F1M相交于点N，连接OM，
因为eq \(F1M,\s\up6(—→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，则eq \(F1M,\s\up6(—→))⊥eq \(MP,\s\up6(→))，即F1M⊥MP，
因为PM为∠F1PF2的平分线，
所以|PN|＝|PF1|，则点M为F1N的中点，
因为O为F1F2的中点，
所以|OM|＝eq \f(1,2)|F2N|＝eq \f(1,2)||PN|－|PF2||＝eq \f(1,2)||PF1|－|PF2||，
设点P(x0，y0)，由已知可得a＝8，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(a2－b2)＝4，
则－8