初中数学15.4 等腰三角形精品课件ppt

这是一份初中数学15.4 等腰三角形精品课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了为什么不一样，“三线合一”的操作，点击按钮开始播放→，三条对称轴，第1题，第2题，第3题，第4题等内容，欢迎下载使用。
3.培养利用常见的利用等腰三角形的推论来解决问题的能力.
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?
∠ADB = ∠ADC = 90°，∠BAD =∠CAD.
等腰三角形的性质定理2
思考：由前面定理1的证明还能得到什么结论？
猜想：等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角.
1. 如果作 BC 边上的高线 AD，那么 AD 平分 BC 吗？AD 平分 ∠BAC 吗?
证明：作底边 BC 的高 AD，交 BC 于点 D.∵ AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边），∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.∴ BD＝CD，∠BAD ＝∠CAD.
2.如果作∠ABC 的顶角平分线 AD，那么 AD 垂直平分 BC 吗?
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D.∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD＝∠CAD.在△ABD 与△ACD 中， AB＝AC（已知）， ∠BAD＝∠CAD（已证）， AD＝AD（公共边），∴ △ABD≌△ACD（SAS），∴ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
证明后的结论，以后可以直接运用.
定理2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”.
填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.在△ABC 中，AB = AC.
(1) ∵ AD⊥BC， ∴∠____=∠____，_____=_____.
(2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____，∠____ =∠____.
(3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____⊥____，____ =____.
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC.
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.∵ AB＝AC，AD＝AE，∴ BG＝CG，DG＝EG.∴ BG－DG＝CG－EG.∴ BD＝CE.(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，∴ BD＋DF＝CE＋EF.∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC，∴ AF⊥BC.
方法总结：在等腰三角形的有关计算或说明理由的问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
例2 如图，在△ABC中，AB =AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，求证：BE = CE.
证明 ∵ AB = AC，AD 是边 BC 上的中线，(已知)∴ AD 是 BC 边上的高.(三线合一)∴ AD 垂直平分线段 BC .（垂直平分线的定义）∵ 点 E 是 AD 上一点（已知）∴ BE = CE.（垂直平分线的性质）
例3 求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．已知，如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明
证明：在平面内移动 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使点 A 和 A'，点 C 和 C' 重合，点 B 和点 B' 在 AC 两侧，如图.
∵∠BCB' = 90° + 90°= 180°，∴B，C，B' 三点在一条直线上.在△ABB' 中，∵AB = AB'，∴∠B = ∠B'.在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' (已知)， ∠B =∠B' (已证)， AB = A'B' (已知)，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (AAS).
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
问题：等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
等边三角形是特殊的等腰三角形，三线合一对于等边三角形也成立.
2. 在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件中不能说明AD⊥BC的是(　　)A.∠ADB＝∠ADC　　B.∠B＝∠CC.BD＝CD　　D.AD平分∠BAC
3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC中点，连接AD，若∠BAD＝y，∠B＝2x，则y与x之间的函数关系图象是(　　)
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为(　　)A.10　　　　　　　　　　D.13
解得AD＝9.∵直线EF垂直平分线段AB，∴AG＝BG，∴△BDG的周长为BD＋BG＋DG＝3＋AG＋DG.由两点之间线段最短可知，当A，G，D三点共线时，AG＋DG的值最小，最小值为AD的长，∴△BDG周长的最小值为3＋AD＝3＋9＝12.
6. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E是线段AD上一点.BF⊥CE于点F，BF交CD于点G.(1)如图①，求证：
【证明】①∵BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF＝90°.又∵∠ACE＋∠BCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠CBG.
②∵D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°.∴∠CAE＝∠BCG.
(2)如图②，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请在图中找出与BE相等的线段，并证明.
【解】BE＝CM.证明如下：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°，∴∠CMA＝∠BEC.