第18讲 函数的综合应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

这是一份第18讲 函数的综合应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用），文件包含期末拔高复习专题09分数除法解决问题能力清单+实战演练-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测原卷版北师大版docx、期末拔高复习专题09分数除法解决问题能力清单+实战演练-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测解析版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc232580580 \h 3
考点一：函数与数列的综合 PAGEREF _Tc232580581 \h 3
考点二：函数与不等式的综合 PAGEREF _Tc232580582 \h 5
考点三：函数中的创新题 PAGEREF _Tc232580583 \h 9
考点四：最大值的最小值问题 PAGEREF _Tc232580584 \h 14
考点五：函数特定方程与区间问题 PAGEREF _Tc232580585 \h 15
考点六：函数的图象变换 PAGEREF _Tc232580586 \h 16
考点七：V型函数与平底函数 PAGEREF _Tc232580587 \h 17
四、高考真题 PAGEREF _Tc232580588 \h 18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年高考对函数的综合应用考查频次极高，分值占比大.常以客观题压轴或解答题压轴的形式出现，既有直接考查构造函数、新定义探究，也有与导数、不等式等知识的深度交汇.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：重点考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性的综合运用，以及基于导数工具的极值、最值求解与不等式证明.
· 命题趋势：创新题型（如新定义函数、抽象函数方程）频繁出现，对学生的阅读理解能力和即时学习转化能力要求不断提高.
· 试题特点：综合性强，常将函数与方程、不等式、数列等模块深度融合，注重考查化归与转化、数形结合等核心数学思想.
3. 备考策略
· 夯实函数基础性质，熟练掌握利用导数工具研究函数单调性、极值与最值的标准流程.
· 强化构造函数解题的意识，面对复杂方程或不等式时，能够敏锐地分离变量或提取同构特征.
· 针对新定义与创新题，加强阅读理解训练，学会将陌生概念翻译为熟悉的数学语言（如对称性、单调性等）.
二、知识清单
1. 函数 f(x)=i=1n|x−ai| 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 f(x)=|x|+|x−1|+|x−3|，图（2）函数 g(x)=|x|+|x−1|+|x−2|+|x+1|
· 当 n 为奇数时，函数 f(x)=i=1n|x−ai| 的图象是一个“∨”型，且在“最中间的点”取最小值；
· 当 n 为偶数时，函数 f(x)=i=1n|x−ai| 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 ai(i∈N∗) 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 x=a中 对称，偶数的图象关于直线 x=x左中+x右中2 对称.
2. 若 f(x) 为 [m,n] 上的连续单峰函数，且 f(m)=f(n)，x0 为极值点，则当 k,b 变化时，g(x)=|f(x)−kx−b| 的最大值的最小值为 |f(n)−f(x0)|2，当且仅当 k=0,b=f(n)+f(x0)2 时取得.
三、典题精讲
考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
例1.已知函数f(x)=ex−x−1，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+1=f(an)，则下列有关数列{an}的叙述正确的是（ ）
A. a51 D. S100>26
【答案】A
【解析】由f(x)=ex−x−1=x，解得x=0或x=x0.由零点存在性定理得x=x0∈(1,2).∴当any，∴lgx2y=lnylnx2>1，故CD正确；当x>1时，f(x)0恒成立，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增；当m>0时，令2−mx=0，得x=m2，当x∈(0,m2)时，g'(x)1，即m>2时，x∈(0,1)时，f'(x)>f'（1）=0，x∈(1,m2)，f'(x)0，f'(m2)0，即x0lnx0−2x0+2>0成立，故f(x0)>1.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
例7.（2026·浙江Z20·三诊）已知函数f(x)=x+aex(a∈R).
（1） 当a=1时，求函数f(x)的最值；
（2） 讨论方程f(x)=f(−x)的解的个数；
（3） 若方程f(x)=f(−x)存在两个解x1,x2，且满足x1g（0）=0.即方程f(x)=f(−x)在(0,+∞)无解.根据函数y=f(x)−f(−x)是奇函数可知在(−∞,0)也无解.②当a>1，由g″(x)=4(x−a+1)e2x，可得g'(x)在(0,a−1)单调递减，在[a−1,+∞)单调递增.由g'（0）=2−2a0.∵x1是方程f(x)=x+aex=f(−x)=(−x+a)ex的解，代入可得a=e2x1+1e2x1−1⋅x1.f'(x1)+f'(−x1)=1−x1−aex1+(1+x1−a)ex1=(e2x1+1)(1−a)+(e2x1−1)x1ex1，消a可得f'(x1)+f'(−x1)=e4x1−4e2x1x1−1ex1(e2x1−1).设h(x)=e4x−4e2x⋅x−1(x0，f(x)单调递增，∴f(lnk)=k−klnk−2e.不妨设x1sinπ4=22，cs1>csπ3=12，从而 g（1）>22×32≈1.06>1.又 g（1）≤3345，f（5）>f（4）+f（3）>8，f（6）>f（5）+f（4）>13，f（7）>f（6）+f（5）>21，f（8）>f（7）+f（6）>34，f（9）>f（8）+f（7）>55，f（10）>f（9）+f（8）>89，f（11）>f（10）+f（9）>144，f（12）>f（11）+f（10）>233，f（13）>f（12）+f（11）>377，f（14）>f（13）+f（12）>610，f（15）>f（14）+f（13）>987，f（16）>f（15）+f（14）>1597>1000，则依次下去可知f（20）>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选B.
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则（ ）
A. x=3是f(x)的极小值点
B. 当00，∴g'(x)>0得x0，故y>e0−0−1=0，∴ex>x+1.当x∈(−∞,1)时，k'(x)=ex+e2−x+2a>e2−x+2a>3−x+2a，若xex+2a>x+1+2a，若x>−2a−1，则k'(x)>0.∴k'(x)存在两个零点x1∈(3+2a,1),x2∈(1,−2a−1).当x∈(−∞,x1)时k'(x)>0，当x∈(x1,x2)时k'(x)