第17讲 幂指对比较大小 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

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考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
1.（2025·皖北协作体一模）若a=lg26,b=lg49,c=32，则（ ）
A. a>2c B. b4 D. a−blg48=32=c，a=lg26lg216=4，∴C正确，D错误.故选C.
【点拨】利用对数的运算性质将对数化为同底，再与中间量进行比较.
2.（2026·黄骅中学一模）（多选）若a>1，b>1，且a(lnb+2)=(b+1)(lna+1)，则（ ）
A. a>b B. ab D. a21，则y'=1x−1=1−xx1.构造函数f(x)=xt−(x+10)，则a=f（92），b=f（99），且f（98）=98t−108=0.∵f'(x)=txt−1−1，又t>1,x≥92，∴f'(x)>1×920−1=0，∴f(x)在[92,+∞)上单调递增.∵920，且ex=x2+lny，则（ ）
A. y>e2 B. y2>ex+2 C. x20，v'(ln2)=4−4ln2−1=3−4ln2>0，∴v'(x)>0恒成立，∴v(x)在(0,+∞)上单调递增，∴v(x)>v（0）=2−2=0.∴2lny>x+2恒成立，即y2>ex+2.故选B.
【点拨】将等式转化为函数关系，利用导数证明不等式恒成立，进而比较大小.
20.（2026·嘉兴桐乡测试）已知正实数a,b满足a−2lna=2lnb−4b+4，则a+b为（ ）
A. 12 B. 32 C. 52 D. 72
【答案】C
【解析】等式变形为a−2lna=2lnb−4b+4.设f(x)=x−2lnx(x>0)，则f'(x)=1−2x=x−2x.当00，f(x)单调递增.∴f(x)min=f（2）=2−2ln2，即f(a)≥2−2ln2.设g(x)=2lnx−4x+4(x>0)，则g'(x)=2x−4=2(1−2x)x.当0z C. z>y>x D. z>x>y
【答案】D
【解析】令f(t)=3t−3,g(t)=5t−5,ℎ(t)=7t−7，则f(x)=g(y)=ℎ(z).在同一平面直角坐标系中作出这三个函数的图象，它们都过点(1,0).当f(x)=g(y)=ℎ(z)>0时，x>y>z>1；当f(x)=g(y)=ℎ(z)=0时，x=y=z=1；当−3x>y.故选D.
【点拨】构造函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断大小关系.
22.（多选）已知a>0,b>0且ea+lnb>a+b，则下列结论一定正确的是（ ）
A. a>b B. ea>b C. ea+b>2 D. a+lnb>0
【答案】BC
【解析】对于A，取a=1,b=1，满足e1+ln1=e>2=1+1，但a=b，故A不一定成立.对于D，取a=1,b=1e，满足e1+ln1e=e−1>1+1e，但a+lnb=1−1=0，故D不一定成立.对于B，令f(x)=ex−x，则f'(x)=ex−1.当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增.∵ea+lnb>a+b，∴ea−a>b−lnb=elnb−lnb，即f(a)>f(lnb).若lnb≥0，由f(x)在(0,+∞)上单调递增，得a>lnb，∴ea>elnb=b；若lnba+b得ea−b>a−lnb=lnea−lnb.若ea=b，则0>0矛盾.若ea≠b，则ea−blnea−lnb>1.又对任意x1,x2>0且x1≠x2，有x1−x2lnx1−lnx2y B. z>y>x C. y>x>z D. y>z>x
【答案】C
【解析】令x=2−y=−lg2z=t(t>0)，则x=t2,y=−lg2t,z=2−t.在同一平面直角坐标系中作出函数x=t2,y=−lg2t,z=12t的图象.由图象可知，函数y=−lg2t与z=12t的交点在直线y=t上，且交点横坐标t1∈(0,1)；函数x=t2与z=12t的交点横坐标t2∈(0,1)，且t2>t1；函数x=t2与y=−lg2t的交点横坐标t3∈(0,1)，且t3t2时，x>z>y；当t1y；当t3x；当0x.综上可知，x,y,z的大小关系不可能是y>x>z.故选C.
【点拨】引入参数t，将方程转化为三个函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断大小关系.
24.已知a>1，x1,x2,x3为函数f(x)=ax−x2的零点，x10，∴f(t)在(1,+∞)上单调递增.∴f195>f（1）=0，即ln195−2(195−1)195+1>0，化简得ln195−76>0，即y>z.综上所述，y>z>x.故选D.
【点拨】利用指数幂的放缩比较对数与有理数的大小，构造函数利用导数证明对数不等式.
考法9：利用泰勒展开比较大小
30.设a=0.1e0.1,b=19,c=−ln0.9，则（ ）
A. a