初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）21.3 实践与探索第1课时教案

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）21.3 实践与探索第1课时教案，共13页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2.继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题.
3.通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.
【教学过程】
一、情境导入
如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决图形面积问题
【类型一】利用面积构造一元二次方程模型
用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A.x(5＋x)＝6 B.x(5－x)＝6
C.x(10－x)＝6 D.x(10－2x)＝6
解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.
方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程.
现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.
解析：设小正方形的边长为xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程.
解：设小正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍).∴小正方形的边长为15cm.
方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可.
【类型二】整体法构造一元二次方程模型
如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________.
解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.

解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.
方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解.
【类型三】利用一元二次方程解决动点问题
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解.
解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.则根据题意，得eq \f(1,2)·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意，得eq \f(1,2)(6－x)·2x＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.
【板书设计】