初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数教学设计

22.3　实际问题与二次函数

第1课时　几何图形的面积问题

◇教学目标◇

【知识与技能】

能根据具体几何问题中的数量关系,列出二次函数解析式,并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题,体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型.

【过程与方法】

1.从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系,体会“数形结合”的思想.

2.通过转化建模,让学生学会合作、交流.

【情感、态度与价值观】

体验函数的实际应用,感受数学与生活的密切联系,从实践动手中,产生对数学的兴趣,从而培养学生的创新精神和实践能力.

◇教学重难点◇

【教学重点】

运用二次函数解决几何图形中有关的最值问题.

【教学难点】

函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得.

◇教学过程◇

一、情境导入

问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?

本节课我们学习利用二次函数解决几何问题.

二、合作探究

探究点1　实际问题中的最大面积

典例1　如图,用长20 m的篱笆,一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子,怎么围才能使园子的面积最大?最大面积是多少?

[解析]　设与墙垂直的一边为x m,园子面积为S m2,由题意得S=x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50(0<x<10).

∵a<0,∴当x=5(在0<x<10的范围内)时,园子面积S有最大值为50 m2.

变式训练　如图,有长为30 m的篱笆,围成一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m),围面中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为x m,面积为y m2.

(1)求y与x的函数关系式.

(2)y是否有最大值?如果有,请求出y的最大值.

[解析]　(1)由题意,得y=x(30-3x),即y=-3x2+30x.

(2)由题意,得0<30-3x≤10,即≤x<10.对称轴为x==-=5,又当x>5时,y随x的增大而减小.

∴当x= m时面积最大,最大面积为 m2.

探究点2　动点问题中的最大面积

典例2　如图,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度匀速运动.设运动时间为x s,△PBQ的面积为y cm2.

(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(2)求△PBQ的面积的最大值.

[解析]　(1)∵S△PBQ=PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,

∴y=(18-2x)x,即y=-x2+9x(0<x≤4).

(2)由(1)知y=-x2+9x,

∴y=-,

∵当0<x≤时,y随x的增大而增大,

而0<x≤4,∴当x=4时,y最大值=20,

即△PBQ的最大面积是20 cm2.

【方法指导】当顶点不在自变量的取值范围内时,用二次函数的增减性求最值;当顶点在自变量的取值范围内时,可通过计算顶点的纵坐标以及端点的纵坐标求最值,也可通过画图象求解.

三、板书设计

几何图形的面积问题

1.探究点1的解答过程(由学生阐述,老师板书)

2.探究点1变式2(学生板演过程)

3.小结

4.运用二次函数的知识解决图形面积问题的一般步骤

◇教学反思◇

　　与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型,解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形,找出各部分面积之间的关系,运用面积等计算公式列出方程.对图形进行分割或补全的原则:转化成为规则图形时越简单越直观越好.