数学20.3 二次根式的加减教学设计

这是一份数学20.3 二次根式的加减教学设计，共13页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)
2.熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题.(难点)
3.正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？
二、合作探究
探究点一：同类二次根式
已知最简二次根式eq \r(2a＋b)与eq \r(a＋b,3a－4)能够合并同类项，求a＋b的值.
解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可.
解：∵最简二次根式eq \r(2a＋b)与eq \r(a＋b,3a－4)能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2.
方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解.
探究点二：二次根式的运算
【类型一】 二次根式的加减运算
计算：eq \r(,12)－eq \f(1,\r(,3))－(eq \r(,2))2＋|2－eq \r(,3)|.
解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.
解：原式＝2eq \r(,3)－eq \f(\r(,3),3)－2＋2－eq \r(,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,3)－1))eq \r(,3)＝eq \f(2\r(,3),3).
方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变.
【类型二】 二次根式的四则运算
计算：
(1)eq \f(1,2)eq \r(2\f(2,3))×9eq \r(\f(1,45))÷eq \r(\f(3,5))；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(12)－2\r(\f(1,3))＋\r(48)))÷2eq \r(3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,3))))eq \s\up12(2)；
(3)eq \r(2)－(eq \r(3)＋2)÷eq \r(3).
解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算.
解：(1)原式＝eq \f(1,2)×9×eq \r(\f(8,3)×\f(1,45)×\f(5,3))＝eq \f(1,2)×9×eq \f(2\r(2),9)＝eq \r(2)；
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(3)－\f(2\r(3),3)＋4\r(,3)))÷2eq \r(3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(28\r(3),3)×eq \f(1,2\r(,3))＋eq \f(1,3)＝eq \f(14,3)＋eq \f(1,3)＝5；
(3)原式＝eq \r(2)－(eq \r(3)＋2)÷eq \f(1,\r(3))＝eq \r(2)－eq \f(\r(3)＋2,\r(3))＝eq \r(2)－1－eq \f(2\r(3),3).
方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.
【类型三】 二次根式的化简求值
先化简，再求值：eq \f(a2－b2,a)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2ab－b2,a)))，其中a＝2＋eq \r(3)，b＝2－eq \r(3).
解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出.
解：原式＝eq \f(（a＋b）（a－b）,a)÷eq \f(a2－2ab＋b2,a)＝eq \f(（a＋b）（a－b）,a)·eq \f(a,（a－b）2)＝eq \f(a＋b,a－b).当a＝2＋eq \r(3)，b＝2－eq \r(3)时，原式＝eq \f(2＋\r(3)＋2－\r(3),2＋\r(3)－2＋\r(3))＝eq \f(4,2\r(3))＝eq \f(2\r(3),3).
方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.
【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用
母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(eq \r(2)≈1.414，结果保留整数)?
解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长.
解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(eq \r(800)＋eq \r(450))＝4×(20eq \r(2)＋15eq \r(2))＝140eq \r(2)≈197.96(cm).因为1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带.
方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求.
【板书设计】
1.同类二次根式
2.二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
3.二次根式的四则运算
先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.