数学九年级上册（2024）3. 二次根式的除法教案设计

这是一份数学九年级上册（2024）3. 二次根式的除法教案设计，共13页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)
2.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
计算下列各题，观察有什么规律？
(1)eq \f(\r(36),\r(49))＝________；eq \r(,\f(36,49))＝________.
(2)eq \f(\r(9),\r(16))＝________；eq \r(\f(9,16))＝________.
eq \f(\r(36),\r(49))________eq \r(\f(36,49))；eq \f(\r(9),\r(16))________eq \r(\f(9,16)).
二、合作探究
探究点一：二次根式的除法
【类型一】 二次根式的除法运算
计算：
(1)eq \f(\r(0.76),\r(0.19))；(2)－eq \r(1\f(2,3))÷eq \r(\f(5,54))；
(3)eq \f(\r(6a2b),\r(2ab))；(4)eq \r(5)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5\r(1\f(4,5)))).
解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分.
解：(1)eq \f(\r(0.76),\r(0.19))＝eq \r(\f(0.76,0.19))＝eq \r(4)＝2；
(2)－eq \r(1\f(2,3))÷eq \r(\f(5,54))＝－eq \r(1\f(2,3)÷\f(5,54))＝－eq \r(\f(5,3)×\f(54,5))＝－eq \r(18)＝－3eq \r(2)；
(3)eq \f(\r(6a2b),\r(2ab))＝eq \r(\f(6a2b,2ab))＝eq \r(3a)；
(4)eq \r(5)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5\r(1\f(4,5))))＝－eq \r(5)÷5eq \r(\f(9,5))＝－eq \r(,5)×eq \f(1,5)×eq \r(\f(5,9))＝－eq \f(1,5)×eq \f(5,3)＝－eq \f(1,3).
方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.
【类型二】 二次根式的乘除混合运算
计算：
(1)9eq \r(45)÷3eq \r(2\f(1,2))×eq \f(3,2)eq \r(2\f(2,3))；
(2)a2·eq \r(ab)·beq \r(\f(b,a))÷eq \r(\f(9b2,a)).
解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算.
解：(1)原式＝9×eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×eq \r(45×\f(2,5)×\f(8,3))＝18eq \r(3)；
(2)原式＝a2·b·eq \r(,ab·\f(b,a)·\f(a,9b2))＝eq \f(a2b,3)eq \r(a).
方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数.
探究点二：商的算术平方根的性质
【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围
若eq \r(\f(a,2－a))＝eq \f(\r(a),\r(2－a))，则a的取值范围是( )
A.a＜2 B.a≤2
C.0≤a＜2 D.a≥0
解析：根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥0，,2－a＞0，))解得0≤a＜2.故选C.
方法总结：运用商的算术平方根的性质：eq \r(\f(b,a))＝eq \f(\r(b),\r(a))(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.
【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式
化简：
(1)eq \r(1\f(7,9))； (2)eq \r(\f(3c3,4a4b2))(a＞0，b＞0，c＞0).
解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.
解：(1)eq \r(1\f(7,9))＝eq \r(\f(16,9))＝eq \f(\r(16),\r(9))＝eq \f(4,3)；
(2)eq \r(\f(3c3,4a4b2))＝eq \f(\r(3c3),\r(4a4b2))＝eq \f(c,2a2b)eq \r(3c).
方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式.
探究点三：最简二次根式
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由.
(1)eq \r(45)；(2)eq \r(\f(1,3))；(3)eq \f(\r(5),2)；(4)eq \r(0.5)；(5)eq \r(1\f(4,5)).
解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.
解：(1)eq \r(45)＝3eq \r(5)，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；
(2)eq \r(\f(1,3))＝eq \f(\r(3),3)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
(3)eq \f(\r(5),2)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；
(4)eq \r(0.5)＝eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；
(5)eq \r(1\f(4,5))＝eq \r(\f(9,5))＝eq \f(3\r(5),5)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式.
方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
探究点四：二次根式除法的综合运用
座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πeq \r(\f(l,g))，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?
解析：由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数.
解：∵T＝2πeq \r(\f(0.5,9.8))≈1.42，eq \f(60,T)＝eq \f(60,1.42)≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声.
方法总结：解决本题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.
【板书设计】
1.二次根式的除法运算
2.商的算术平方根
3.最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.