初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程教案设计，共10页。
5.3 实际问题与一元一次方程
课标要求
能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
能解一元一次方程。
能根据具体问题的实际意义，检验一元一次方程的解是否合理。
内容解读
通过5种类型的实际问题，掌握用一元一次方程解决实际问题
设计意图
通过例题教学让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用
资源应用
国家智慧中小学资源平台
学习过程设计
单元目标
及重难点
教学目标：本节课通过以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣。
（1）从和我们的生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣．售审清题意，找出等量关系是解决问题的关键。
（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；
（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；
（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养； 数学建模思想的应用意识，建立方程模型解决问题的一般过程。
教学重点： 体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识，建立方程模型解决问题的一般过程。
教学难点： 培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．根据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题．经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型．体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力。
单元
知识
结构
框架
1．配套问题：找出等量关系
2．工程问题：
(1)工程总量＝效率×时间．
(2)各部分的工程和＝工作总量＝1.
3.销售问题中的两个基本关系式：
(1)利润＝售价－进价；
(2)利润率＝eq \f(利润,商品进价)×100%.
(1)式中等式左边的“利润”若为正，就是盈利；若为负，就是亏损．
(2)式还可以变形为利润率×进价＝售价－进价．
4.．球类比赛中的积分问题
5．分段计费问题
分析
学情
1．认知基础
本节知识需要学生将题目中的数量关系找出来列出方程，并用一元一次方程的解法来解方程，最后还需要验证一下答案；方程是解决实际问题的重要数学工具之一，一定要学会找数量关系，同时解方程也很重要。
2.认知障碍
不同的实际问题，解决思路是不一样的，同时还要考虑到实际问题的存在性，即所求的结果是否符号具体情况，如果不符合，要进行排除；另外就是有一些实际问题是需要进行分类讨论的，根据题意的分析，合理的进行分类，是解决此类问题的重要方法。
课时
安排
约4课时
导学
过程
情景引入1：近来我们市要修一条公路，公路大约长120千米，今天一早，有两个工程队找到了局长，甲工程队说：“包给我们，保证30天完成”；乙工程队说：“包给我们，保证20天就完成”．如果你是局长，会怎么办呢？
情景引入2：
1.现日常生活中的销售实例，学生回忆知识．打折后的商品售价＝商品的原标价×折扣数．
2.展示常用数量关系：①利润＝售价－进价；②利润率＝利润/进价×100%；③利润＝进价×利润率；④售价＝进价＋利润＝进价＋进价×利润率．
情景引入3 ：下面是某次篮球联赛积分表，请同学们认真观察后回答问题.
队名
比赛
场次
胜场
负场
积分
A
16
12
4
28
B
16
12
4
28
C
16
10
6
26
D
16
10
6
26
E
16
8
8
24
F
16
8
8
24
G
16
4
12
20
H
16
0
16
16
(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？并说明理由。
情景引入4 ： 在工业迅猛发展的今天，用电成为了人们生活中非常普及的问题，资费问题成为了我们所关心而且具有实际意义的问题，你知道你的家人的资费情况吗？
导学
过程
5.4.1 产品配套问题与工程问题
（产品配套问题）某车间有工人22名，每人每天平均生产螺栓1200个或螺母2000个．1个螺栓需要配2个螺母你多少人生产螺母，为使每天生产螺栓和螺母刚好配套，应如何安排工人生产？
解析：本题找出等量关系为：生产的螺栓数×2＝生产的螺母数，把相关的代数式代入即可列方程。
解：设分配x人生产螺栓，(22－x)人生产螺母，
依题意1200x×2＝(22－x)×2000，
解得x＝10
∴22－x＝12
答：应分配12人生产螺母，10人生产螺栓。
导学
过程
（工程问题）一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
【解析】首先设乙队还需x天才能完成，由题意可得等量关系：甲队干三天的工作量＋乙队干(x＋3)天的工作量＝1，根据等量关系列出方程，求解即可。
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得
eq \f(1,9)×3＋eq \f(1,24)(3＋x)＝1，
解得x＝13.
答：乙队还需13天才能完成。
导学
过程
5.4.2销售中的盈亏问题
（打折销售问题）某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折(即原价的90%)，并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价．
【解析】实际售价是(900×90%－40)元，设该商品进价为每件x元，根据实际售价(不同表示法)相等列方程求解。
解：设该商品的进价为每件x元，依题意，得900×0.9－40＝10%x＋x，解得x＝700.
答：该商品的进价为700元。
导学
过程
5.4.3球赛积分问题
某次男篮联赛常规赛最终积分榜：
队员
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？并说明理由。
【解析】(1)如果一个队胜x场，根据比赛场次为14次，从而可得出负(14－x)场，再根据积分＝胜场积分＋负场的积分即可求解；
(2)根据等量关系：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分得出方程，解出x的值后结合实际进行判断即可。
解：(1)由钢铁队得分可知，负一场积1分，再根据表中其他队比分可知胜一场积2分，如果一个队胜x场，则负(14－x)场，胜场积分为2x分，负场积分为(14－x)分，总积分为2x＋(14－x)＝(14＋x)分．故总积分与胜、负场数之间的数量关系为：2x＋(14－x)＝14＋x；
(2)设某队胜x场时胜场总积分等于它的负场总积分．根据题意得2x＝14－x，3x＝14，x＝14/3，不是正整数，则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分。
5.4.4分段计费问题
为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次
每户每月用电数(度)
执行电价(元/度)
第一档
小于等于200
0.55
第二档
大于200小于400
0.6
第三档
大于等于400
0.85
例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)。
某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？
【解析】某户居民五、六月份共用电500度，就可以得出每月用电量不可能都在第一档，分情况讨论，当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度，当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为(500－x)度，分别建立方程求出其解即可。
解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度，由题意得
0．55x＋0.6×(500－x)＝290.5，
解得x＝190，
∴6月份用电500－x＝310(度)．
当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为(500－x)度＞200度，由题意得
0．6x＋0.6×(500－x)＝290.5，
方程无解，
∴该情况不符合题意。
答：该户居民五、六月份分别用电190度、310度。
课堂
检测
1.一个两位数，个位数字与十位数字之和为，若交换这个两位数的个位与十位数字，则所得的两位数比原两位数大，则这个两位数是
【分析】根据题意，设这个两位数的个位数为，则十位上的数字为，交换这个两位数的个位与十位数字后的数为，根据等量关系列方程求解即可。
【详解】解：设这个两位数的个位数为，则十位上的数字为，
∴这个两位数是，则交换这个两位数的个位与十位数字后的数为，
∵交换后所得的两位数比原两位数大，
∴，
整理得，，
解得，，
∴这个两位数的个位数字是，十位数字式，
∴这个两位数是，
故答案为：。
2.艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离。
【分析】设静水速度为 km/h，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，利用路程不变即可建立方程求解．
【详解】解：设静水速度为 km/h，
则：
解得：
∴
即：甲乙两码头之间的距离为60km。
3.父亲和儿子在同一公司上班，为了锻炼身体，他们每天从家（父子二人住同一个家）走路去上班，父亲需要18分钟到公司，儿子需要12分钟到公司，如果父亲比儿子早2分钟动身，儿子追上父亲需要的时间为（ ）
A．4分钟B．5分钟C．6分钟D．8分钟
【分析】将这段路的距离看作“单位1”，分别求出父亲和儿子的的速度，根据题中的等量关系列方程，即可求出结果。
【详解】解：把这段路的距离看作单位“1”，设儿子追上父亲需要x分钟，
由题意可得：，
解得，
故儿子追上父亲需要4分钟，
故选：A．
4.某工程队承包了全段全长米的过江隧道任务，甲、乙两个班组分别从东西两端同时掘进，已知甲比乙平均每天多掘进，经过五天施工，两组共掘进米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，照此施工速度，能够比原来少 天完成任务。
【分析】设乙组原来平均每天掘进，则甲组原来平均每天掘进，根据“经过五天施工，两组共掘进米”列出方程，解得，则乙组原来平均每天掘进，甲组原来平均每天掘进，则按照原来进度还需要（天），根据题意可得在剩余的工程中，甲组平均每天掘进，乙组平均每天掘进，照此施工速度，还需：（天），再用现在的天数减去原来的天数即可解答．
【详解】解：设乙组原来平均每天掘进，则甲组原来平均每天掘进，
根据题意得，
，
解得：，
则，
∴乙组原来平均每天掘进，甲组原来平均每天掘进，
则按照原来进度还需要：（天），
∵在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，
∴现在甲组平均每天掘进，乙组平均每天掘进6m，
照此施工速度，还需：（天），
∵（天），
∴照此施工速度，能够比原来少29天完成任务。
故答案为：29．
课后
作业
1.架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时千米，则下列方程正确是（ ）
A．B．
C．D．
2．十年前A的年龄是B的年龄的4倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是（ ）
A．20岁B．24岁C．30岁D．15岁
3．如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按的方向行走，甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（ ）

4.已知某铁路桥长600米，若一列火车通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30秒，整列火车完全在桥上的时间为20秒，则火车的长度为
5．甲队有31人，乙队有26人，现另调24人分配给甲、乙两队，使甲队的人数是乙队人数的2倍，则应分配给甲队 人。
6．69中学的一次知识竞赛中，共设20道选择题，各题的分值相同，每题必答，下表记录了五个参赛者的得分情况．参赛者小明得76分，那么他答对 道题。
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
14
6
64
E
10
10
40
7.新华书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本40元．为了促销，甲说：“凡来我处购书一律九折．”乙说：“如果购书超出100本，则超出的部分打八折．”
(1)若新华书店准备订购150本图书，请分别求出去甲、乙两处需支付的钱数；
(2)若新华书店去甲、乙两处需支付的钱数一样，则新华书店准备订购多少本图书？
板书设 计
5.3 一元一次方程与实际问题
情景引入1
情景引入2
情景引入3
情景引入4
类型解析
课堂检测
小结
课后作业