2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第七章7.8空间距离及立体几何中的探索性问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第七章7.8空间距离及立体几何中的探索性问题(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了点P到直线l的距离，点P到平面α的距离，两条平行直线之间的距离等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.点P到直线l的距离
如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AP,\s\up6(→))|2－|\(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq \r(a2－（a·u）2).
图1
2.点P到平面α的距离
如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq \(QP,\s\up6(→))的长度.因此PQ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
图2
3.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
4.直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解：
直线a与平面α之间的距离d＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量.
两平行平面α，β之间的距离d＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )
(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.( )
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.( )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)×
【解析】(1)当平面α上三点在平面β的两侧时，α与β相交.
(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离.
(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时，l与平面α相交.
2.空间点A(-1，1，1)，B(-1，2，3)，C(1，2，4)，则点A到直线BC的距离d等于( )
A.255B.5C.215D.1055
【答案】D
【解析】由题意得AB=(0，1，2)，BC=(2，0，1)，
所以cs〈AB，BC〉=AB·BC|AB||BC|=25×5=25，
所以sin∠ABC=1−252=215，
所以点A到直线BC的距离d=|AB|sin∠ABC=5×215=1055.
3.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为( )
A.1B.33C.32D.3
【答案】B
【解析】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2)，M(1，0，0)，N(0，2，1)，
所以ME=(1，1，2)，MN=(-1，2，1)，AC=(-2，2，0)，
设平面EMN的法向量为m=(x，y，z)，
则m·ME=x+y+2z=0,m·MN=−x+2y+z=0,
令x=1，可得m=(1，1，-1)，所以AC·m=0，
即AC⊥m，
又AC⊄平面EMN，所以AC∥平面EMN，
故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离，
又MA=(1，0，0)，所以点A到平面EMN的距离为|MA·m||m|=13=33，
即直线AC与平面EMN之间的距离为33.
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是 .
【答案】233
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
所以D1A1=(2，0，0)，
DA1=(2，0，2)，DB=(2，2，0).
设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)，
则n·DA1=0,n·DB=0,即2x+2z=0,2x+2y=0,
令x=1，则n=(1，-1，-1)，
所以点D1到平面A1BD的距离
d=|D1A1·n||n|=23=233.
【必练核心题型】
题型一 空间距离
命题点1 点线距离
【典例】1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为 .
【答案】135
【解析】如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
则BP=(-3，0，1)，BD=(-3，4，0)，
故点P到直线BD的距离
d=|BP|2−BP·BD|BD|2=10−952=135.
命题点2 点面距离
【典例】2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0