2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.5椭圆(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.5椭圆(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了5　椭　圆，椭圆的简单几何性质，若椭圆C，已知P为椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
课标要求 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
2.已知平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为( )
A.x216＋y24＝1B.x216＋y212＝1
C.x29＋y25＝1D.x220＋y216＝1
3.椭圆x25m＋y23m＝1(m>0)的离心率为( )
A.105B.35
C.225D.25
4.若椭圆C：x24＋y23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A.3B.2＋3
C.2D.3＋1
【名师点拨】椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|＋PF2|22＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
【必练核心题型】
题型一 椭圆的定义及其应用
【典例】1.已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
【典例2.(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆x29＋y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为( )
A.15B.152
C.37D.415
【变式训练】
变式1.设F1，F2为椭圆C：x24＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|等于( )
A.1B.2
C.4D.5
变式2.已知F1，F2分别为椭圆C：x216＋y2b2＝1(4>b>0)的左，右焦点，A为椭圆C的上顶点，且△AF1F2为等边三角形；过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，则△ADE的周长为 .
题型二 椭圆的标准方程
【典例】1.过点(－3，2)且与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是( )
A.x2225＋y2100＝1B.x215＋y210＝1
C.y2225＋x2100＝1D.y215＋x210＝1
【典例】2.已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(－3，－2)和B(－23，1)两点，则椭圆C的标准方程为 .
【变式训练】
变式1.(2024·九江模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为π6的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为23，则椭圆C的方程为( )
A.x23＋y2＝1B.x23＋y22＝1
C.x29＋y23＝1D.x29＋y26＝1
变式2.已知椭圆的中心在原点且过点P(3，2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，则该椭圆的方程为 .
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
【典例】1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，B(0，b)，若经过F1的弦AB满足|AB|＝|AF2|，则椭圆C的离心率是( )
A.33B.34
C.63D.64
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
【典例】2.(多选)已知椭圆x216＋y24＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则( )
A.S△PF1F2的最大值为43
B.|PF1|的取值范围是[4－23，4＋23]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.|PB|的最大值为25
【变式训练】
变式1.多选)已知椭圆x29＋y2b2＝1(00)的离心率为32，则该椭圆的半焦距为( )
A.32B.3
C.3或3D.3或32
3.设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m>0，n>0)的两个焦点分别为F1(0，2)与F2(0，－2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形，则m2＋n2等于( )
A.4＋23B.27
C.28D.36
4.已知点P在椭圆C：x29＋y28＝1上，C的左焦点为F，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|的值为( )
A.2B.3
C.4D.8
5.已知P为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，O为坐标原点，|PO|＝32a，且|PF1|·|PF2|＝34a2，则C的离心率为( )
A.74B.14
C.22D.12
6.已知椭圆C：x24＋y23＝1的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为−25，45，则|PA|＋|PF|的最大值为( )
A.215B.5
C.285D.335
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知椭圆C：x216＋y212＝1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率为32
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
8.已知圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且△PF1F2的面积为1，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的长轴长为2
B.椭圆C的短轴长为2
C.椭圆C的离心率为12
D.点P的坐标为33，263
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知椭圆C的焦点F1，F2都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF1F2的周长为6，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆C的标准方程为 .
10.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于P，Q两点，且PF1⊥PQ，|PF2|＝2|QF2|，则椭圆E的离心率为 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(6分)
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程.(7分)
12.(15分)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是4，离心率是12.
(1)求椭圆的标准方程；(6分)
(2)若点P在该椭圆上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积.(9分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.已知点P是椭圆x216＋y27＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为( )
A.2B.73
C.53D.94
14.(2025·信阳模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2和上顶点A的直线l交C于另外一点B，若AF2＝λF2B，且△F1F2B的面积为3a24λ，则实数λ的值为( )
A.3B.53
C.3或7D.53或7
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 椭圆方程及其性质
2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅰ卷
理解椭圆的定义、几何图形、标准方程；掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；握椭圆的简单应用。
考点2 椭圆的离心率及其应用
2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2021·全国乙卷、2021·浙江卷
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2＋y2b2＝1
(a>b>0)
y2a2＋x2b2＝1
(a>b>0)
范围
－a≤x≤a
且－b≤y≤b
－b≤x≤b
且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，
F2(c，0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝ca(0