2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.6双曲线(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.6双曲线(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了6　双曲线，双曲线的定义，双曲线的标准方程和简单几何性质，焦点三角形的面积，设双曲线C等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
【名师点拨】
1.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，e越大，双曲线的“张口”越大.
2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为eq \f(ab,c).
3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为eq \f(2b2,a)；异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a.
4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
5.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
6.若渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
7.等轴双曲线⇔e＝eq \r(2)⇔渐近线为y＝±x⇔方程x2－y2＝λ(λ≠0).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
2.(选修一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________.
3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.
4.(2020·北京卷)已知双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.
【名师点拨】
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a.
【必练核心题型】
题型一 双曲线的定义及应用
【典例】1.已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.圆
【典例】2.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若|AB|的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为( )
A.8B.12C.16D.24
【变式训练】
变式1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x2－eq \f(y2,8)＝1B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C.x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)D.x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
变式2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
题型二 双曲线的标准方程
【典例】1.已知双曲线的离心率e＝eq \f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq \r(5))，则该双曲线的标准方程为________________.
【典例】经过点P(3，2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________________.
【典例】3.若双曲线经过点(1，eq \r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________________.
【变式训练】
变式1.(2023·天津卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1
变式2.过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________.
题型三 双曲线的几何性质
角度1 渐近线
【典例】1.设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±eq \f(1,2) B.±eq \f(\r(2),2)
C.±1 D.±eq \r(2)
角度2 离心率
【典例】1.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF，则该双曲线的离心率为________.
【变式训练】
变式1.已知双曲线的方程为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1，则( )
A.渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x
B.焦距为8eq \r(5)
C.离心率为eq \f(\r(5),2)
D.焦点到渐近线的距离为8
变式2.若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝eq \r(3)x有交点，则其离心率的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.(1，2]
C.(1，2) D.[2，＋∞)
变式3.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
【拓展训练】
椭圆、双曲线中的二级结论
1.以坐标为基础的焦半径公式
(1)若P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0；
(2)若P(x0，y0)为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，①当点P在双曲线的左支上时，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a；②当点P在双曲线的右支上时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a(左加右减).
2.焦半径的数量关系式
直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2)，同理，双曲线中，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2).
3.几个最值问题
(1)椭圆的焦半径最大为a＋c，最小为a－c(长轴两端点取到).
(2)双曲线的焦半径同侧最小为c－a，异侧最小为c＋a(实轴两端点取到).
(3)椭圆、双曲线中最短焦点弦为通径长为eq \f(2b2,a).
(4)在椭圆中，P为短轴端点时，∠F1PF2最大；P为短轴端点时，∠A1PA2最大.
4.(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ；))
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a,cs θ)＝asec θ；,y＝btan θ.))
【典例】1.椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线x＝eq \f(a2,c)与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.[eq \r(2)，－1，1)D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
【典例】2.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(－eq \r(7)，0)，F2(eq \r(7)，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________.
【典例】3.已知点P(x，y)是椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上的动点，不等式x＋y＋m≤0恒成立，m的取值范围为________.
【变式训练】
变式1.已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上有一个点P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的横坐标为________.
变式2.已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝________，cs ∠F1AB＝________.
变式3.若P(x，y)为曲线C：eq \f(x2,4)＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：4x－3y＋12＝0的距离d的最大值为________，最小值为________.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知双曲线mx2－y2＝1(m>0)的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±2xB.y＝±12x
C.y＝±2xD.y＝±22x
2.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A.4B.3
C.2D.2
3.(2025·张家口模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为π6，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为( )
A.x24－y26＝1B.x212－y24＝1
C.x26－y24＝1D.x26－y23＝1
4.已知双曲线的方程为5mx2－my2＝5(m∈R，m≠0)，则不因m的变化而变化的是( )
A.顶点坐标B.渐近线方程
C.焦距D.离心率
5.已知点P是双曲线x216－y220＝1右支上的一点，点A，B分别是圆(x＋6)2＋y2＝4和圆(x－6)2＋y2＝1上的点.则|PA|－|PB|的最小值为( )
A.3B.5
C.7D.9
6.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF2|＝3|OM|，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.6
C.22D.3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知双曲线C：x24－y2b2＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A.C的虚轴长为22
B.C的离心率为6
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于－22
8.已知A为双曲线C：x216－y29＝1上位于第一象限内的点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有( )
A.若|AB|＝10，则AF⊥BF
B.若AF⊥BF，则△ABF的面积为9
C.|AF||AM|>2
D.|AF|－|AM|的最小值为8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 .
10.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，A，B分别是它的两条渐近线上的点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且OA＋OB＝2OP，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a＝25，经过点A(－5，2)；(6分)
(2)过点P(－2，2)，且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的双曲线方程.(7分)
12.(15分)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；(7分)
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|＋|PF|的最小值.(8分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.(2024·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A.x28－y22＝1B.x28－y24＝1
C.x22－y28＝1D.x24－y28＝1
14.将双曲线x22－y22＝1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比【典例】函数y＝1x的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)，所以我们也称反比【典例】函数y＝1x的图象为双曲线.同样“对勾函数”y＝33x＋3x也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为( )
A.43B.4
C.27D.26
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1双曲线方程及其性质
2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷
2023·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷
2022·天津卷、2021·北京卷、
2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、
2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)；了解双曲线的简单应用。
考点2曲线方程及曲线轨迹
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷
标准方程
x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
e＝ca∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)