2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.9直线与圆锥曲线的位置关系(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.9直线与圆锥曲线的位置关系(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了9　直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长公式，已知点A，B是双曲线C，经过抛物线C等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝
eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或
|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（y1＋y2）2－4y1y2)))，k为直线斜率且k≠0.
3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，y2＝2px为【典例】)，椭圆中k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；双曲线中k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；抛物线中k＝eq \f(p,y0).
【名师点拨】
1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中长为eq \f(2b2,a)，抛物线中长为2p.
2.过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)；同理，双曲线中kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)(以上焦点在x轴上).
3.若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1；同理，双曲线中为eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1(以上焦点在x轴上).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相切、相交.( )
(2)直线y＝x与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1一定相交.( )
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
2.若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A.63B.－63
C.±63D.±33
3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A.2B.4
C.8D.16
4.已知点A，B是双曲线C：x22－y23＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为( )
A.23B.32
C.49D.94
【必练核心题型】
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【典例】1.已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为x29＋y24＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为( )
A.相离B.相交
C.相切D.不能确定
【典例】2.已知双曲线C：x29－y216＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
【变式训练】
变式1.已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
变式2.直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆x24＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A.(1，4]B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，＋∞)D.(4，＋∞)
题型二 弦长问题
【典例】1.经过椭圆x22＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长度为( )
A.47B.827
C.2D.1627
【典例】2.已知F是双曲线C：x2－y23＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|等于( )
A.6B.8
C.132D.274
【拓展训练】
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2−4x1x2
＝1＋k2·−ba2−4ca＝1＋k2·Δa.
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2−4y1y2
＝1＋1k2·−ba2−4ca＝1＋1k2·Δa.
【典例】 已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于( )
A.423B.334
C.43D.42
【变式训练】
变式1.已知双曲线C：y23－x2＝1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则m等于( )
A.3B.－3
C.103D.－103
变式2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点.若|AB|＝12，则C的焦距为 .
题型三 中点弦问题
【典例】1.已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为( )
A.－3B.－16
C.19D.－13
【典例】2.已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.y＝±14xB.y＝±2x
C.y＝±12xD.y＝±4x
【变式训练】
变式1.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.x218＋y29＝1B.x227＋y218＝1
C.x236＋y227＝1D.x245＋y236＝1
变式2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A.(1，－1)B.(2，0)
C.12，−32D.(1，1)
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.直线y＝kx－k与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为( )
A.相交B.相切
C.相离D.不确定
2.已知直线2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则|AB|等于( )
A.5B.5
C.35D.45
3.若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A.−153，153B.0，153
C.−153，0D.−153，−1
4.已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l与双曲线左、右两支交于点M，N.若MP＝2PN，则直线l的方程为( )
A.y＝15x－1
B.y＝15x－1或y＝－15x－1
C.y＝x－1或y＝－x－1
D.y＝x－1
5.(2025·张掖模拟)已知倾斜角为π4的直线l与椭圆C：x24＋y2＝1交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为( )
A.－1B.－12
C.－13D.－14
6.经过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|等于( )
A.43B.46
C.163D.323
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点1，32，3，12均在椭圆C上，则( )
A.椭圆C的离心率为12
B.直线l：kx＋y－k＝0与椭圆C相交
C.椭圆C的短轴长为2
D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为1，12，则直线AB的斜率为－12
8.已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为k3，则( )
A.C的准线方程为y＝－1
B.k1，k3，k2成等差数列
C.若P在C的准线上，则k1k2＝－1
D.若P在C的准线上，则|AF|＋4|BF|的最小值为916
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知双曲线x24－y2＝1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 .
10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率为12，且FA·FB＝0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，焦点为F1，F2，其中一条渐近线的倾斜角为30°，点M在双曲线上，且||MF1|－|MF2||＝23.
(1)求双曲线C的标准方程；(4分)
(2)直线l：y＝x＋m交C于A，B两点，若△AOB的面积为6(O为坐标原点)，求正实数m的值.(9分)
12.(15分)(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为12,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求C的方程;(2分)
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;(4分)
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.(9分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t，0)的弦的端点A，B与点G(m，0)的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB，则m的值为( )
A.a2tB.ta2
C.t2D.at2
14.阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线C与直线l交于A，B两点，要求弓形部分面积，先构造直线l'∥l，l'与抛物线相切于点P，得到一级△PAB；用同样的方法在切点P两旁得到两个二级△DPA，△EPB；再用同样的方法在切点D，E两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一级三角形面积的18，那么求出△PAB的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x－y－1＝0，则抛物线C与直线l围成的弓形面积为( )
A.42B.82
C.1623D.162
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1直线与圆锥曲线的位置关系及其应用
2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷、
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式；能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题。
考点2 曲线方程及曲线轨迹
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷