2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.6双曲线(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题8.6双曲线(学生版+解析)，共8页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12910" 【题型1 双曲线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc12910 \h 4
\l "_Tc12077" 【题型2 双曲线的标准方程】 PAGEREF _Tc12077 \h 6
\l "_Tc12282" 【题型3 曲线方程与双曲线】 PAGEREF _Tc12282 \h 8
\l "_Tc27431" 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc27431 \h 10
\l "_Tc22737" 【题型5 双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】 PAGEREF _Tc22737 \h 13
\l "_Tc27249" 【题型6 双曲线中的焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc27249 \h 14
\l "_Tc15653" 【题型7 双曲线的渐近线方程】 PAGEREF _Tc15653 \h 17
\l "_Tc10241" 【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 PAGEREF _Tc10241 \h 19
\l "_Tc4469" 【题型9 与双曲线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc4469 \h 21
\l "_Tc7728" 【题型10 双曲线的实际应用】 PAGEREF _Tc7728 \h 23
1、双曲线
知识点1 双曲线的方程及其性质
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
知识点2 双曲线方程的求解方法
1．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.
知识点3 双曲线的焦点三角形
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式，求得面积.
方法二：利用公式，求得面积.
(3)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为.
知识点4 双曲线的离心率或其范围的解题策略
1．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
知识点5 双曲线中的最值问题的解题策略
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【方法技巧与总结】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).
【题型1 双曲线的定义及其应用】
【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）双曲线C：x225−y2144=1上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9B．7C．9或29D．7或19
【答案】C
【解题思路】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离.
【解答过程】对于双曲线C:x225−y2144=1，可得a2=25，则a=5.
设双曲线的左右焦点分别为F1,F2，已知点A到右焦点F2的距离为19，即|AF2|=19.
根据双曲线的定义||AF1|−|AF2||=2a=10，则有|AF1−19|=10.
可得AF1−19=10或AF1−19=−10.
当AF1−19=10时，AF1=10+19=29；
当AF1−19=−10时，AF1=−10+19=9.
所以点A到左焦点的距离为9或29.
故选：C.
【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）双曲线E：x2a2−y216=1a>0，焦距为10，左右焦点分别为F1，F2，M为E上一点满足MF1=7，则MF2=（ ）
A．13B．1或13C．10D．4或10
【答案】A
【解题思路】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案.
【解答过程】由题意知双曲线E：x2a2−y216=1a>0，焦距为10，
故2c=10,c=5，则a2=c2−b2=25−18=9,∴a=3，
由MF1−MF2=2a=6，MF1=7，得MF2=1或MF2=13，
结合MF1=74−1=3>2.
这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为2，所以要舍去|PF2|=2这个值.
因此|PF2|=6，即点P到另一个焦点的距离等于6.
故选：B.
【变式1-3】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：x216−y29=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“PF1=8”是“PF2=16”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【答案】D
【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【解答过程】a=4,b=3,c=42+32=5，
当点P在左支时，PF1的最小值为c−a=1，
当点P在右支时，PF1的最小值为a+c=9，
因为PF1=8，则点P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义PF2−PF1=PF2−8=2a=8，解得PF2=16；
当PF2=16，点P在左支时，PF1=8；在右支时，PF1=24；推不出PF1=8；
故为充分不必要条件，
故选：D.
【题型2 双曲线的标准方程】
【例2】（2025·北京海淀·一模）若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到焦点(−5,0)的距离比到焦点(5,0)的距离大b，则该双曲线的方程为（ ）
A．x24−y2=1B．x22−y2=1C．x2−y22=1D．x2−y24=1
【答案】D
【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知2a=b，c=5，再结合a2+b2=c2，求出a,b，即可求出结果.
【解答过程】由题知c=5，根据题意，由双曲线的定义知2a=b，又a2+b2=c2，
所以5a2=5，得到a2=1,b2=4，所以双曲线的方程为x2−y24=1，
故选：D.
【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线C1与双曲线C2：x24−y2=1的渐近线相同，且过点2,2，则双曲线C1的方程为（ ）
A．y24−x2=1B．y2−x24=1
C．x22−y22=1D．x2−32y2=1
【答案】B
【解题思路】利用待定系数法设C1的方程为x24−y2=λ，λ≠0，代入2,2即可得到答案.
【解答过程】设双曲线C1的方程为x24−y2=λ，λ≠0，
代入点2,2，则224−22=λ=−1，
则方程为x24−y2=−1，即y2−x24=1.
故选：B.
【变式2-2】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线C与椭圆x26+y22=1有公共的焦点，且C的离心率是2，则C的标准方程是（ ）
A．x2−y23=1B．y2−x23=1C．x24−y212=1D．y24−x212=1
【答案】A
【解题思路】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出a，根据a,b,c关系求出b2后即可得解.
【解答过程】椭圆x26+y22=1的焦点为±2,0，
所以双曲线C的焦点为±2,0且焦点在x轴上，即c=2，
因为C的离心率是2，所以e=ca=2，即a=1，
所以b2=c2−a2=3，故双曲线C的标准方程为x2−y23=1.
故选：A.
【变式2-3】（2025·四川雅安·一模）已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A在C上，若F1A=2F2A，∠AF1F2=30°,△AF1F2的面积为63，则C的方程为（ ）
A．x29−y26=1B．x23−y26=1
C．x26−y29=1D．x26−y23=1
【答案】B
【解题思路】先根据双曲线的定义求出F2A,F1A，在△AF1F2中，利用正弦定理求出AF2F1，再根据三角形的面积公式求出a2，利用勾股定理可求得c2，进而可求出答案.
【解答过程】因为F1A=2F2A，所以F1A>F2A，
又因为点A在C上，所以F1A−F2A=2a，
即2F2A−F2A=2a，所以F2A=2a,F1A=4a，
在△AF1F2中，由正弦定理得AF2sin∠AF1F2=AF1sin∠AF2F1，
所以sin∠AF2F1=AF1sin30°AF2=1，
又0°0，解得m>4或m4可推出m>4或m4或m4，
所以“m>4”是“方程x2m−1−y2m−4=1表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-1】（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程x2m+4+y2m−7=1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m4B．−70，
由双曲线的离心率为5，得a2+b2a=5，则b2=4a2，
由喉部（中间最细处）的直径为8cm，得2a=8,a=4，
所以双曲线的方程为x216−y264=1，设点A(xA,yA),B(xB,yB)，
由xA=32,xB=922，得yA=22,yB=−72，所以该塔筒的高为yA−yB=92.
故选：D.

【变式10-2】（2025·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报中心的（ ）处.（假定当时声音传播的速度为340m/s3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离68010mB．东偏南45°方向，距离68010m
C．西偏北45°方向，距离6805mD．东偏南45°方向，距离6805m
【答案】A
【解题思路】以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系；设A、B、C分别是西、东、北观测点，写出A、B、C点的坐标，设P(x,y)为巨响生成点，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．
【解答过程】解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．
设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A−1020,0，B1020,0，C0,1020，
设Px,y为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=−x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，
故PB−PA=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线x2a2−y2b2＝1上，依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2−a2=10202−6802=5×3402，
故双曲线方程为x26802−y25×3402=1，将y=−x代入上式，得x=±6805，∵PB>PA，∴x=−6805，y=6805 ，即P−6805，6805
故PO=68010 .
故巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心68010m处．
故选：A.
【变式10-3】（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−35,AB⊥BD，则E的离心率为( )
A．52B．173C．102D．5
【答案】B
【解题思路】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设BF2=m，用BF2表示BF1,AF1,AB，先在Rt△ABF1中由AB2+BF12=AF12求出m=23a，再在Rt△BF1F2中由BF22+BF12=F1F22即可求解.
【解答过程】由题意可知直线CA，DB都过点F1，如图，
则有AB⊥BF1，cs∠BAF1=35，
设BF2=m，则BF1=2a+m，
所以tan∠BAF1=1−cs2∠BAF1cs∠BAF1=4535=43，故AB=34BF1=342a+m，
所以AF2=32a−14m，
因此AF1=2a+AF2=72a−14m，
在Rt△ABF1，AB2+BF12=AF12，
即9162a+m2+2a+m2=72a−14m2，
整理得3m2+16am−12a2=0即3m−2am+6a=0，解得m=23a，
所以BF1=83a,BF2=23a，
令双曲线半焦距为c，
在Rt△BF1F2中，BF22+BF12=F1F22，即23a2+83a2=2c2，
解得ca=173，
所以E的离心率为173.
故选：B.
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）双曲线x2−4y2=4的离心率为（ ）
A．32B．52C．54D．5
【答案】B
【解题思路】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率．
【解答过程】由x2−4y2=4得，x24−y2=1，所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5，
即a=2,c=5，所以e=ca=52，
故选：B．
2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C:x2−y2m=1的一条渐近线的方程为2x−y=0，则m=（ ）
A．4B．2C．12D．14
【答案】A
【解题思路】根据渐近线的斜率列方程即可得解.
【解答过程】由题知，双曲线焦点在x轴上，且其中一条渐近线方程为y=2x，
所以m1=2，解得m=4.
故选：A.
3．（2025·北京·三模）“k=12”是“直线y=kx−4与双曲线x24−y2=1只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得k的值，从而可进行判断.
【解答过程】∵直线与y=kx−4与双曲线x24−y2=1只有一个公共点，
∴联立方程组y=kx−4x24−y2=1，消去y得，1−4k2x2+32k2x−64k2−4=0，
当1−4k2=0，即k=±12时，直线方程为y=kx−4=±12x−4，
∵双曲线x24−y2=1的渐近线方程为y=±12x，
∴此时直线y=±12x−4与渐近线y=±12x平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当1−4k2≠0，即k≠±12时，Δ=32k22−41−4k2−64k2−4=192k2+16>0，
此时直线与双曲线恒有两个不同的交点；
∴当且仅当k=±12时，直线与y=kx−4与双曲线x24−y2=1只有一个公共点，
∴由k=12能推出直线y=kx−4与双曲线x24−y2=1只有一个公共点，
反之，当直线y=kx−4与双曲线x24−y2=1只有一个公共点时不能推出k=12，
∴“k=12”是“直线y=kx−4与双曲线x24−y2=1只有一个公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2025·北京海淀·二模）已知A−2,0,B2,0．若动点P满足PA−PB=2，则P的轨迹的方程为（ ）
A．x2−y23=1B．x2−y23=1x≤−1
C．y23−x2=1D．x2−y23=1x≥1
【答案】D
【解题思路】由双曲线的定义即可得出答案.
【解答过程】∵A−2,0,B2,0，动点P满足PA−PB=20,b>0，则ba=43a2+b2=25，
解得a=3b=4，故所求实轴长为2a=6.
故选：B.
6．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线C:x23−y2=1的左､右焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为M,N，则△MF1N的周长为（ ）
A．8+25B．8C．4+25D．8+23
【答案】C
【解题思路】设MF2=n,MF1=m，根据圆的性质可知MF1⊥MF2，利用勾股定理结合双曲线的定义可得mn=2,m+n2=20，得m+n=25即可求解.
【解答过程】设MF2=n,MF1=m，由M在以F1F2为直径的圆上可得MF1⊥MF2，
所以MF12+MF22=F1F22，四边形MF1NF2为矩形，则MN=F1F2=2c，
由双曲线C:x23−y2=1，得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4，
所以m2+n2=16，又由双曲线的定义有m−n=2a=23，
所以m2−2mn+n2=12，得mn=2，
所以m+n2=m2+2mn+n2=16+4=20，
即m+n=25，而MN=F1F2=2c=4，
所以m+n+MN=4+25，所以△MF1N的周长为4+25.
故选：C.
7．（2025·天津和平·三模）已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，PF1⋅PF2=4，则C的方程为（ ）
A．y2−x24=1B．y2−x22=1C．4y2−x24=1D．4y2−x22=1
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.
【解答过程】由题意设双曲线方程为y2a2−x2b2=1，
由题意可知a=12，
由于PF1⊥PF2，PF1⋅PF2=4，故PF1⋅PF2=4||PF1|−|PF2||=2a=1PF12+PF22=4c2，解得c=32，
故b=c2−a2=2，
故双曲线方程为4y2−x22=1，
故选：D.
8．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2,A是双曲线C上一点，B为线段AF1的中点.若F1F2=AF2=2BF2，则C的离心率为（ ）
A．3+1B．2C．3+12D．2
【答案】C
【解题思路】根据题意设F1F2=AF2=2BF2=2c，由几何关系得|AF1|=23c，再根据双曲线定义知|AF1|=2c+2a，联立即可求出离心率e=ca.
【解答过程】由题意设F1F2=AF2=2BF2=2c，
因为B为线段AF1的中点，所以AF1⊥BF2，
又|BF2|=c，所以|BF1|=3c，则|AF1|=23c，
根据双曲线定义知|AF1|=|AF2|+2a=2c+2a，所以23c=2c+2a，
解得ca=3+12，故双曲线的离心率为3+12.
故选：C.
二、多选题
9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点P在双曲线x216−y29=1上，F1,F2分别是左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点P到x轴的距离为203B．PF1+PF2=503
C．△PF1F2为钝角三角形D．∠F1PF2=π3
【答案】BC
【解题思路】设点PxP,yP，根据S△PF1F2=12×2cyP=20求得yP判断A；求出点P的坐标，利用两点距离求出PF2，根据双曲线定义求出PF1，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得cs∠PF2F1F1F2=2c=10>PF2=133，
且cs∠PF2F1=PF22+F1F22−PF122PF2⋅F1F20的右焦点，P为右支上一点，则（ ）
A．双曲线C的虚轴长为23
B．OP≥PF（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为y=±33x
D．M为圆E:x+22+y2=1上一点，PM−PF的最小值为1
【答案】ABD
【解题思路】A利用a,b,c之间的关系求出b；B根据右顶点A1,0是OF的中点可判断；C渐近线方程为y=±bax；D将PM转化为PE−1，再结合双曲线的定义即可.
【解答过程】由题意知a=1，c=2，则b=3，虚轴长为2b=23，A项正确；
易知右顶点A1,0是OF的中点，当点P在右支上运动时，有OP≥PF，B项正确；
双曲线C的渐近线方程为y=±3x，C项错误；
易知E−2,0为双曲线的左焦点，则PE−PF=2，
则PM−PF≥PE−1−PF=1，D项正确．
故选：ABD.
11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M=5π6，则（ ）
A．∠A1MA2=π6B．MA1=2MA2
C．C的离心率为13D．当a=2时，四边形NA1MA2的面积为83
【答案】ACD
【解题思路】由平行四边形的性质判断A；由F1M⊥F2M且MO=c结合M在渐近线上可求M的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得c2=13a2，计算后可判断C的正误，或者利用MA2A1A2=b2a=3并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【解答过程】不妨设渐近线为y=bax，M在第一象限，N在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2=π−5π6=π6，
故A正确；
对于B，方法一：因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M且MO=c，
设Mx0,y0，则x02+y02=c2y0x0=ba，故x0=ay0=b，故MA2⊥A1A2，
由A得∠A1MA2=π6，故MA2=MA1×32即MA1=233MA2，故B错误；
方法二：因为tan∠MOA2=ba，因为双曲线中，c2=a2+b2，
则cs∠MOA2=ac，又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N，则OM=c，
则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则OH=c⋅ac=a=OA2，则点H与A2H重合，则MA2⊥x轴，则MA2=c2−a2=b，
方法三：在△OMA2利用余弦定理知，MA22=OM2+OA22−2OMOA2cs∠MOA2，
即MA22=c2+a2−2ac⋅ac=b2，则MA2=b，
则△A1A2M为直角三角形，且∠A1MA2=π6，则2MA2=3MA1，故B错误；
对于C，方法一：因为MO=12MA1+MA2，故4MO2=MA12+2MA1⋅MA2+MA22，
由B可知MA2=b,MA1=233b，
故4c2=b2+43b2+2×b×233b×32=133b2=133c2−a2即c2=13a2，
故离心率e=13，故C正确；
方法二：因为MA2A1A2=b2a=3，则ba=23，则e=ca=1+b2a2=1+(23)2=13，故C正确；
对于D，当a=2时，由C可知e=13，故c=26，
故b=26，故四边形NA1MA2为2S△MA1A2=2×12×26×22=83，
故D正确，
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·上海·三模）双曲线x24−y23=1的焦距为 ．
【答案】27
【解题思路】根据给定的双曲线方程直接求出焦距.
【解答过程】双曲线x24−y23=1的实半轴长a=2，虚半轴长b=3，因此半焦距c=a2+b2=7，
所以所求焦距为27.
故答案为：27.
13．（2025·北京大兴·三模）若双曲线y2m−x2=1（m>0）的一条渐近线方程为y=3x，则m= ．
【答案】3
【解题思路】由焦点落在y轴上的双曲线方程渐近线为y=±abx，即可得y=3x=mx，即可求得m的值.
【解答过程】由双曲线y2m−x2=1（m>0）可知双曲线焦点在y轴上，则y=3x=mx，得m=3.
故答案为：3.
14．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于A，B两点，AB=AF2，cs∠AF2B=23，则双曲线的离心率为 ．
【答案】213
【解题思路】设|AF1|=m，则|AB|=m+2a，|BF1|=2a，|BF2|=4a，在等腰△AF2B中应用诱导公式、二倍角余弦公式可得cs∠F2AB=19，在△AF2B、△AF1F2中应用余弦定理求参数值，并得到双曲线参数的齐次式，即可得.
【解答过程】设|AF1|=m，则|AB|=AF2=m+2a，|BF1|=2a，故|BF2|=4a，

在等腰△AF2B中，cs∠AF2B=23，则cs∠F2AB=cs(π−2∠AF2B)=−cs2∠AF2B =1−2cs2∠AF2B=19，
又cs∠F2AB=|AB|2+|AF2|2−|BF2|22|AB||AF2|=1−8a2(m+2a)2=19，可得a2(m+2a)2=19，
所以m=a，则|AF1|=a，|AF2|=3a，
在△AF1F2中cs∠F2AB=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1||AF2|=10a2−4c26a2=19，可得14a2=6c2，
所以e=ca=73=213.
故答案为：213.
四、解答题
15．（2025·河北保定·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25，离心率为5．
(1)求C的方程；
(2)若A是C的左顶点，直线l:y=3x−3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．
【答案】(1)x2−y24=1；
(2)245.
【解题思路】（1）根据给定条件，求出a,b,c即可.
（2）求出点A到直线l的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积.
【解答过程】（1）依题意，双曲线C的半焦距c=5，由离心率e=ca=5，解得a=1，b2=c2−a2=4，
所以双曲线C的方程为x2−y24=1.
（2）由（1）知双曲线C的左顶点A(−1,0)，点A到直线l:3x−y−3=0的距离d=610，
由y=3x−34x2−y2=4消去y得5x2−18x+13=0，解得x1=1，x2=135，
则PQ=1+32|x1−x2|=8105，所以△APQ的面积S△APQ=12|PQ|⋅d=245.
16．（24-25高二上·河南驻马店·期末）曲线C:x2m+2−y22−m=1
(1)若曲线C表示双曲线，求m的取值范围；
(2)当m=1时，点P在曲线C上，F1−2,0，F22,0，PF1⊥PF2，求点P的横坐标.
【答案】(1)−20，
即m+2m−20,b>0的一个渐近线方程为y=3x，
得ba=3，即b=3a，
因为点2,3在双曲线C上，所以2a2−3b2=1，即2a2−33a2=1，
解得a2=1，b2=3，
所以双曲线C的方程为x2−y23=1.
（2）由（1），得F2,0.
设直线l的方程为y=x+m，Px1,y1，Qx2,y2，
联立x2−y23=1,y=x+m,消去y，得2x2−2mx−m2−3=0，Δ=4m2−8−m2−3=12m2+24>0，
所以x1+x2=m，y1+y2=x1+x2+2m=3m，即Bm2,3m2.
因为AF⊥BF，所以AF⋅BF=0，又AF=2,−1，BF=2−m2,−3m2，
所以2,−1⋅2−m2,−3m2=0，即22−m2+−1−3m2=0，解得m=−8，
所以直线l的方程为y=x−8，即x−y−8=0.
18．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且OP⋅OQ=0（点O为坐标原点），求PQ的取值范围．
【答案】(1)x2−y23=1(x≠±1)
(2)6,+∞
【解题思路】（1）设点M(x,y)，由kMA⋅kMB=3可得轨迹方程；
（2）当直线l斜率不存在，可得PQ=6；当直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m，设Px1,y1，Qx2,y2，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合OP⋅OQ=0，可得3k2+3=2m2，据此可得PQ关于k的表达式，然后可得取值范围.
【解答过程】（1）设点M(x,y)，x≠±1，则kMA=yx+1，kMB=yx−1，
所以yx+1×yx−1=3，化简得x2−y23=1，
所以点M的轨迹方程为x2−y23=1(x≠±1)．
（2）当直线l斜率不存在时，可设Pxp,yp，Qxp,−yp．
则OP=xp,yp，OQ=xp,−yp，
将其代入双曲线方程得xP2−yP23=1，
又OP⋅OQ=xP2−yP2=0，解得yP=±62，此时|PQ|=2yP=6，
当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设Px1,y1，Qx2,y2，
联立y=kx+mx2−y23=1⇒3−k2x2−2kmx−m2−3=0，3−k2≠0，Δ=12m2−k2+3>0.
由韦达定理：x1+x2=2km3−k2，x1x2=−m2−33−k2.
则OP⋅OQ=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m
=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k2−m2−33−k2+km2km3−k2+m2=0，
化简得3k2+3=2m2，此时Δ=6k2+9>0，
所以|PQ|=1+kx1−x2=1+k2⋅x1+x22−4x1x2
=1+k22km3−k22−4−m2−33−k2=1+k212m2−k2+33−k22
=6k4+10k2+9k4−6k2+9=61+16k2k4−6k2+9，
当k=0时，此时|PQ|=6，当k≠0时，此时|PQ|=6⋅1+16k2+9k2−6，
∵3−k2≠0，∴k2+9k2>2k2⋅9k2=6，故16k2+9k2−6>0，
因此|PQ|=6⋅1+16k2+9k2−6>6，综上可得|PQ|∈6,+∞．
19．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知F1，F2分别为双曲线C：3x2−y2=λλ>0的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断DF2AB是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)x2−y23=1
(2)DF2AB是定值1
【解题思路】（1）根据△ABF1面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可；
（2）设直线l的方程为x=ty+2t≠0，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，根据弦长公式求解即可.
【解答过程】（1）双曲线3x2−y2=λ可化为x2λ3−y2λ=1
S△ABF1=12F1F2⋅AB=122×23λ3×2λ3λ3=4λ=12，即λ=3
双曲线C的标准方程为x2−y23=1．
（2）设直线l的方程为x=ty+2t≠0，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立双曲线C与直线l：3x2−y2=3x=ty+2消去x可得：3t2−1y2+12ty+9=0，
Δ=12t2−4×93t2−1>0，则Δ=t2+1>0恒成立，
又直线与双曲线交于右支两点，故y1+y2=−12t3t2−1，y1y2=93t2−1>0，即t2>13，
进而可得x1+x2=−43t2−1，即AB中点M为−23t2−1,−6t3t2−1，
线段AB的中垂线为y+6t3t2−1=−tx+23t2−1，
则D−83t2−1,0，即DF2=2+83t2−1=6t2+63t2−1．
AB=1+t2y1+y22−4y1y2=1+t2−12t3t2−12−4×93t2−1=6t2+63t2−1．
即DF2AB为定值1．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)
(3)了解双曲线的简单应用
2023年新高考I卷：第16题，5分
2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分
2023年北京卷：第12题，5分
2023年天津卷：第9题，5分
2024年新高考I卷：第12题，5分
2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分
2025年全国一卷：第3题，5分
2025年全国二卷：第11题，6分
2025年北京卷：第3题，4分
2025年天津卷：第9题，5分
双曲线的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与简单几何性质等知识，主要以单选题、多选题、填空题的形式出现，难度不大，复习时要加强这方面的训练.
与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程