新高考数学一轮复习讲练测课件第8章§8.6双曲线 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第8章§8.6双曲线 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，绝对值，F1F2＝2c，x≤－a，x≥a，坐标轴，A1A2，1＋∞等内容，欢迎下载使用。

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　 　)
A.－15C.k<－1 D.k≠－1或5
若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
2.双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是
根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
例1　(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为
如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
不妨设点P在双曲线的右支上，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C： ＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝______.
如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，
所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点.根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，
由△OAF是边长为2的等边三角形，
求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上.
方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
命题点2　离心率例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，
对于A，因为00，k－1<0，
(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________.
设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于点D，如图所示，易知F1D∥OA，在双曲线C中，易知|FA|＝b，
又3|FA|＝|AB|，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点，所以△F1BF为等腰三角形，又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c，
即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，
得c＋a＝4(c－a)，
2.“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件.
∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.
4.(2022·南通模拟)方程x2＋(cs θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为A.两条直线 B.圆C.椭圆 D.双曲线
因为θ∈(0，π)，所以cs θ∈(－1,1)，所以当cs θ∈(－1,0)时，方程x2＋(cs θ)y2＝1表示双曲线；当cs θ＝0时，方程x2＋(cs θ)y2＝1表示两条直线x＝±1；
因为|PQ|＝|PF2|，所以由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，所以|QF2|＝4a，
所以|PQ|＝|PF2|＝4a，故△PQF2是等边三角形.在△PF1F2中，
∵|PF2|≥c－a，
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值.
因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18，又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.
(1)求双曲线的标准方程；
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上.
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积.
过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，
如图，设B(m，n)，则C(－m，－n)，易知A(a,0)，F(c,0)，
14.(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E： －y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是
C.△F1PQ周长的最小值为8D.△AOB(O为坐标原点)的面积为定值
由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，所以有|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，