第4讲 基本不等式及其应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第4讲 基本不等式及其应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共9页。
1. 基本不等式 PAGEREF _Tc232189417 \h 2
2. 几个重要的不等式 PAGEREF _Tc232189418 \h 2
3. 均值定理 PAGEREF _Tc232189419 \h 3
4. 常见求最值模型 PAGEREF _Tc232189420 \h 3
三、方法总结 PAGEREF _Tc232189421 \h 3
考点一：基本不等式的理解与证明 PAGEREF _Tc232189422 \h 3
考点二：基本不等式求最值 PAGEREF _Tc232189423 \h 4
考点三：基本不等式的综合应用 PAGEREF _Tc232189424 \h 5
四、典题精练 PAGEREF _Tc232189425 \h 5
考点一：基本不等式的理解与证明 PAGEREF _Tc232189426 \h 5
考点二：基本不等式求最值 PAGEREF _Tc232189427 \h 7
考点三：基本不等式的综合应用 PAGEREF _Tc232189428 \h 8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，基本不等式均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数变形与放缩工具，自然融入到解析几何、导数等解答题的压轴环节中.
2. 命题角度与特色
核心考点：基本不等式的结构识别、条件验证（一正、二定、三相等）及最值求解.
命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.基本不等式已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求面积、斜率、角度的最值，或导函数的最值）的关键步骤.
试题特点：隐蔽性极强.例如2026年第18题，在求出正切值表达式后，需识别出“对勾函数”结构并自然使用基本不等式；2024年第18题，在求导后需利用基本不等式对二次分式结构进行放缩求出最小值.在2025年第19题的另解中，甚至出现了利用五元基本不等式进行高阶放缩的极端考法.
3. 备考策略
· 强调作为基础工具的重要性，建议在复习解析几何、导数等模块时同步强化基本不等式的应用意识.
· 熟练掌握凑配法、换元法、“1”的代换等代数变形技巧，确保在综合题中能快速构造出使用基本不等式的条件.
· 严格养成检验“等号成立条件”的习惯，避免在解答题关键步骤中因取不到等号而失分.
二、知识清单
1. 基本不等式
如果a>0,b>0，那么ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立.其中，a+b2叫作a,b的算术平均数，ab叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
· 基本不等式1：若a,b∈R，则a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号；
· 基本不等式2：若a,b∈R+，则a+b2≥ab（或a+b≥2ab），当且仅当a=b时取等号.
【易错提醒】基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.连续使用不等式要注意取等条件必须一致，否则无法同时取到最值.
2. 几个重要的不等式
· a2≥0(a∈R),a≥0(a≥0),|a|≥0(a∈R).
· 基本不等式：如果a,b∈R+，则a+b2≥ab（当且仅当“a=b”时取“=”）.
· 特例：a>0,a+1a≥2；ab+ba≥2（a,b同号）.
· 其他变形：
① a2+b2≥(a+b)22（沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式）
② ab≤a2+b22（沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式）
③ ab≤a+b22（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）
④ 重要不等式串：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22（a,b∈R+）即调和平均值 ≤ 几何平均值 ≤ 算数平均值 ≤ 平方平均值（注意等号成立的条件）.
3. 均值定理
已知x,y∈R+.
· 如果x+y=S（定值），则xy≤x+y22=S24（当且仅当“x=y”时取“=”）.即“和为定值，积有最大值”.
· 如果xy=P（定值），则x+y≥2xy=2P（当且仅当“x=y”时取“=”）.即“积为定值，和有最小值”.
4. 常见求最值模型
· 模型一：mx+nx≥2mn（m>0,n>0），当且仅当x=nm时等号成立.
· 模型二：mx+nx−a=m(x−a)+nx−a+ma≥2mn+ma（m>0,n>0），当且仅当x−a=nm时等号成立.
· 模型三：xax2+bx+c=1ax+b+cx≤12ac+b（a>0,c>0），当且仅当x=ca时等号成立.
· 模型四：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅mx+n−mx22=n24m（m>0,n>0,00，则“a+b>2”是“1a+1b0,b>0) B. 2aba+b≤ab(a>0,b>0)
C. a+b2≤a2+b22(a>0,b>0) D. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
考法3：利用基本不等式证明不等式
例3.（2024·河南·阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：
（1）若xyz=2，则1x+1y+1z≤x2+y2+z22；
（2）若2x+y+2z=9，则x2+y2+z2≥9.
考点二：基本不等式求最值
考法4：利用直接法求和与积的最值
例4.（多选）已知x>0，y>0，且x+y−xy+3=0，则下列说法正确的是（ ）
A. 30,y>0，求2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值.
考点三：基本不等式的综合应用
考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值
例8.（2026·铜陵·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若x0,y>0，且x+2y=2，则(xy)max=12
考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合
例9.（2026·常德·一模）已知实数b>0，若对任意的x∈R，x2−ax+2−b≥0恒成立，则ab的最大值为（ ）
A. 469 B. 869 C. 1069 D. 463
考法10：利用基本不等式解决实际问题
例10.（2024·孝感·开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
【图片】
（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米（a>0），侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
年份
题号与题型
分值
考查内容
2026
第18题解答题
约4分
间接考查（在解析几何题中利用基本不等式求正切值最小值）
2025
第19题解答题
约4分
间接考查（在导数综合题中利用多元基本不等式放缩求最值）
2024
第18题解答题
约3分
间接考查（在导数题中利用基本不等式求导函数的最小值）