第3讲 等式性质与不等式性质 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练）

这是一份第3讲 等式性质与不等式性质 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练），共13页。试卷主要包含了下列命题为真命题的是，下列命题是假命题的为等内容，欢迎下载使用。
1．（2025•孝感模拟）已知a  b ，则下列不等式中一定成立的是()
1  1
ab
a2  b2
lna  lnb
2ab  1
2．（2025 春•浙江期中）设a ， b  R ，若1  b  a  0 ，则下列不等式中不正确的
是()
a2  b2
1  1
ab
ab  b2
a  b  1
3．（2024 秋•安徽期末）已知3„ a  b„  2 ，1„ a  b„ 4 ，则3a  b 的取值范围是(
)
A．[3 ， 0]B．[5 ， 3]C．[5 ， 0]D．[2 ， 5]
4．（2025•海淀区模拟）设a ， b  R ，若 1  1  0 ，则()
ab
a  b
| a || b |
a  b  ab
2a  2b
5．（2025•河北模拟）已知a  0 ， b  0 ， 2a  b  1 ，则 1  a 的最小值为()
ab
A．2B． 7
2
C．4D．9
6．（2025•湖南模拟）下列命题为真命题的是()
A．若a  b ， c  d ，则a  c  b  d
C．若a  b ，则 1  1
ab
B．若a  b ， c  0 ，则ac  bc
D．若a  b  c ，则ab  bc
7．（2025•广西模拟）a  eln3 , b  lg
3 , c  1，则a ，b ，c 的大小关系是()
2
2 2
a  b  c
a  c  b
b  a  c
b  c  a
8．（2025 春•渭滨区月考）设a ， b  R ，且a  b  0 ，则()
1  1
b2  ab
a  b D． b  a  2
ab
ab2ab
9．（2025 春•皇姑区期中）已知a ，b ，c  R ，则下列不等式中一定成立的是()
A．若a  b ，则| a || b |
B．若a  b  c  0 ，则 ab
C．若a  b  0 ，则 1  1
ab
a  cb  c
D．若a  b ，则c2 (a  b)  0
10．（2024 秋•龙岗区期末）下列命题是假命题的为()
A．若a  b ，则ac2  bc2B．若a  b ， c  d ，则a  c  b  d
C．若a  b  0 且c  0 ，则 c  c
a2b2
二．多选题（共 4 小题）
D．若a  b  1 ，则 1 
a  1
1
b  1
（多选）11．（2025•临沂二模）已知a  b  c ，则下列不等式正确的是()
11
ab2  cb2
a  b  c
a2  c2  b2
a  ca  b
（多选）12．（2025•聊城二模）已知实数a ， b 满足ab  0 ，则()
a  b  ab
b  a  2
ab
若a  b ，则 1  1
ab
若a  b ， m  0 ，则 a  a  m (b  m  0)
bb  m
（多选）13．（2025•凉州区模拟）已知 1  1  0 ，则下列不等式正确的是()
ab
A． 1 1
B． | a | b  0
C． lna2  lnb2
D． a  1  b  1
a  babab
（多选）14．（2024 秋•雨ft区期末）下列命题为真命题的是()
A．若a  b  0 ，则ac2  bc2B．若a  b  0 ，则a2  b2
C．若a  b  c  0 ，则 11D．若a  b  c  0 ，则 b  b  c

a  cb  c
三．填空题（共 4 小题）
aa  c
 α
,
15．（2024 秋•邵阳期末）已知 ππ π β 2π ，则α 2β的取值范围为．
23 23
16．（2025•深圳开学）已知1  a  b  3 ， 2  a  b  4 ， P  a  3b ，则 P 的取值范围是 ．
17 ．（ 2024 秋 • 信 阳 期 末 ） 若 实 数 a ， b ， c 满 足
b  c  a2  4a  4 ，试确定a ， b ， c 的大小关系是 ．
b  c  3a2  4a  6 ，
18．（2024 春•崂ft区期中）已知4  a  6 ，3  b  4 ，则 a  b 的取值范围是．
b
四．解答题（共 6 小题）
19．（2024 秋•通辽期中）（1）若 x  R ，试比较3x2  6x 与4x2  2x  16 的大小；
（2）已知5  x  4 ， 2  y  3 ．求 x  2 y 的取值范围．
20．（2024 秋•拱墅区期末）已知2  x  y  0 ，1  2x  y  3 ．
分别求 x 与 y 的取值范围；
求8x  y 的取值范围．
21．（2024 秋•单县期中）已知1  a  4 ， 2  b  8 ．试求：
2a  3b 的取值范围．
a  b 的取值范围．
22．（2023 秋•长安区月考）已知1  a  4 ， 2  b  8 ，分别求：
2a  3b 的取值范围；
a  b 的取值范围；
a 的取值范围．
b
23．（2024 秋•府谷县月考）已知实数a ， b 满足1„ a  b„ 8 ， 3„ a  b„ 4 ．
求实数a ， b 的取值范围；
求2a  5b 的取值范围．
24．（2024 秋•禅城区月考）（1）已知12  a  60 ，15  b  36 ．求a  b 和 a 的取值
b
范围．
（2）已知0  a  b  2 ， 1  b  a  1 ，求2a  b 的取值范围．
一．选择题（共 10 小题）
二．多选题（共 4 小题）
一．选择题（共 10 小题）
【答案】 D
【分析】举例说明 ABC 错误；直接证明 D 正确．
【解答】解：对于 A ，当a  1， b  1 时， 1  1 ，故 A 错误；
ab
对于 B ，当a  1， b  1 时， a2  b2 ，故 B 错误；
对于C ，当a  1， b  1 时， lna  lnb 不成立，故C 错误；对于 D ，由a  b ，得a  b  0 ，则2ab  1 ，故 D 正确． 故选： D ．
【答案】 D
【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解．
【解答】解： 1  b  a  0 ，
则a2  b2  (a  b)(a  b)  0 ，即a2  b2 ，故 A 正确；
1  1  b  a  0 ，即 1  1 故 B 正确；
ababab
ab  b2  b(a  b)  0 ，故C 正确；
令b  0.6 ， a  0.5 ，满足1  b  a  0 ，但a  b  1 ，故 D 错误．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
C
B
B
D
B
A
题号
11
12
13
14
答案
AD
BC
AD
BC
故选： D ．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求解．
【解答】解：因为3a  b  2(a  b)  (a  b) ，
又3„ a  b„  2 ，1„ a  b„ 4 ，
所以6„ 2(a  b)„  4 ，
即5„ 2(a  b)  a  b„ 0 ，
所以3a  b 的取值范围是[5 ， 0] ．故选： C ．
【答案】 B
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：若 1  1  0 ，则b  a  0 ， A 错误；
ab
所以| a || b | ， B 正确；
由b  a  0 可得a  b  0 ， ab  0 ，故a  b  ab ， C 错误；
由b  a  0 可得， 2b  2a ， D 错误．故选： B ．
【答案】C
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值．
【解答】解：由2a  b  1 ， a  0 ， b  0 ，得 1  a  2a  b  a  2  b  a  4 ，
ababab
当且仅当a  b 且2a  b  1 ，即a  b  1 时取等号．
3
故选： C ．
【答案】 B
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当a  2 ， b  1 ， c  1， d  0 时， A 显然错误；因为a  b ， c  0 ，由不等式性质可得ac  bc ， B 正确；
当a  1， b  1 时， C 显然错误；当c  0 时， D 显然错误．
故选： B ．
【答案】 B
【分析】结合对数恒等式化简a ，结合对数函数单调性确定b 的范围，即可比较
a ， b ， c 的大小．
ln 11
311 1
2
2
【解答】解： a  e ln3  e 3  ， b  lg
lg ， c  1(, ) ，
故b  c  a ．故选： B ．
【答案】 D
32 2
223 2
【分析】 ABC 选项，可举出反例； D 选项，利用基本不等式进行求解．
【解答】解： A 选项，当a  2 ， b  1 时， 1   1 , 1  1 ，故 1  1 ， A 错误；
a2 bab
B 选项，当a  2 ， b  1 时， b2  1， ab  2 ， b2  ab ， B 错误；
ab
C 选项，当a  2 ， b  1 时， a  b   3 ,
22
， a  b ， C 错误；
2
ab
2
b  a a b
D 选项，当a  b  0 时， b  0, a  0 ，由基本不等式可得 b  a … 2
 2 ，
abab
当且仅当 b  a ，即a  b 时，等号成立，但a  b ，故等号取不到，
ab
故 b  a  2 ， D 正确．
ab
故选： D ．
【答案】 B
【分析】利用特殊值法可判断 AD 错误，利用作差法计算可得 B 正确，再由不等式性质可得C 错误．
【解答】解：对于 A ，当a  1  b  3 时，可知| a || b | 不成立，故 A 错误；
对于B ，因为a  b  c  0 ，可得
a ba(b  c)b(a  c)c(a  b) 0 ；
a  cb  c(a  c)(b  c)(a  c)(b  c)(a  c)(b  c)
所以 ab，故 B 正确；
a  cb  c
对于C ，由a  b  0 ，可得 1  1 ，故C 错误；
ba
对于 D ， a  b ，当c  0 时， c2 (a  b)  0 ，故 D 错误．故选： B ．
【答案】 A
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当c  0 时， A 显然为假命题；若a  b ， c  d ，则a  c  b  d ， B 为真命题；
若a  b  0 且c  0 ，则 1
a2
 1 ， c b2a2
c ， C 为真命题；
b2
若a  b  1 ，则a  1  b  1  0 ，
所以 1 
a  1
1
b  1
， D 为真命题．
故选： A ．
二．多选题（共 4 小题）
【答案】 AD
【分析】对于 A ，可以用作差法判断，对于 BC ，举反例判断即可，对于 D ，分
b  0 ， b  0 ， b  0 三种情况讨论即可判断．
【解答】对于 A ， 11
 (a  b)  (a  c) 
c  b
，因为a  b  c ，
a  ca  b(a  c)(a  b)(a  c)(a  b)
所以c  b  0 ，a  c  0 ，a  b  0 ，即
c  b
 0 ，所以 1
1，故 A 正确；
(a  c)(a  b)
对于 B ，当b  0 时， ab2  cb2  0 ，故 B 错误；
a  ca  b
对于C ，取a  1  b  2  c  3 ，则a  b  c  3 ，故C 错误，对于 D ，若a  0  b  c ，则a2  c2  c2  b2 成立，
若a  b  0  c ，则a2  c2  b2  0 显然成立，若a  b  0  c ，则a2  c2  a2  b2 成立，
综上所述，只要a  b  c ，就一定有a2  c2  b2 ，故 D 正确．故选： AD ．
【答案】 BC
【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为实数a ， b 满足ab  0 ，当a  0 ， b  0 时， A 显然错误；
a  b
b a
b  a  2
ab
 2 ，当且仅当a  b 时取等号， B 正确；
当a  b ， ab  0 时， 1  1  b  a  0 ，即 1  1 ， C 正确；
ababab
若a  2 ，b  1 ， m  2 时，满足a  b ， m  0 ，但 a  2 ， a  m  0 ， D 显然错误．
bb  m
故选： BC ．
【答案】 AD
【分析】由 1  1  0 ，可得0  a  b ．再利用不等式的基本性质逐一判断即可．
ab
【解答】解：由 1  1  0 ，可得0  a  b ．
ab
所以 1 1 ，故 A 正确；
a  bab
因为0  a  b ，
所以| a | b ，即| a | b  0 ，故 B 错误；
由0  a  b ，可得a2  b2 ，所以lna2  lnb2 ，故C 错误；由 1  1  0 ，可得 1   1 ，又a  b ，
abab
所以a  1  b  1 ，故 D 正确．
ab
故选： AD ．
【答案】 BC
【分析】利用不等式的性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得．
【解答】解：对于 A ，取c  0 ， A 显然错误；
对于 B ，若a  b  0 ，则a2  b2  (a  b)(a  b)  0 ，即a2  b2 ， B 正确；对于C ，若a  b  c  0 ，则a  b  0 ， a  c  0 ， b  c  0 ，
所以 11

a  b
0 ，则 11 ， C 正确；

b  ca  c
(a  c)(b  c)
a  cb  c
对于 D ，若a  b  c  0 ，则 b  b  c  b(a  c)  a(b  c)  c(b  a)  0 ，则 b  b  c ，D

错误．
故选： BC ．
三．填空题（共 4 小题）
【答案】 π ， 5π ．
aa  ca(a  c)
a(a  c)
aa  c
()
23
【分析】由已知结合不等式的性质即可求解．
 α
,
【解答】解：因为 ππ π β 2π ，即π 2β 4π，
23 233
所以πα 2β 5π．
23
故答案为： π ， 5π ．
()
23
【答案】{P | 6  P  4}．
【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案．
a  m  n

【解答】解：令a  b  m ，则2，
即 P  2m  n ，
a  b  n


b 

m  n
2
由1  a  b  3 ，即1  m  3 ，可得2  2m  6 ，则6  P  4 ．



2  a  b  4
2  n  4
4  n  2
故答案为：{P | 6  P  4}．
【答案】b… c  a ．
【分析】通过配方得b  c  (a  2)2… 0 ，所以b… c ．将条件中的两个式子相减，整理得c  a2  2 ，由c  a  0 得c  a ．所以b… c  a ．
【解答】解：因为b  c  a2  4a  4  (a  2)2… 0 ，所以b… c ．
由条件有2c  (3a2  4a  6)  (a2  4a  4)  2a2  2 ，即c  a2  2 ，
所以c  a  a2  a  2  (a  1 )2  7  0 ，所以c  a ．
24
故答案为： b… c  a ．
【答案】(2, 3) ．
【分析】首先变形 a  b ，再转化为求 a 的范围．
bb
【解答】解：由题意可知， a  b  a  1 ，
bb
4  a  6 ， 1  1  1 ，则1  a  2 ，所以2  a  1  3 ．
4b3bb
故答案为： (2, 3) ．
四．解答题（共 6 小题）
【答案】（1） 4x2  2x  16… 3x2  6x ；（2） 11  x  2 y  0 ．
【分析】（1）作差后再配方即可；
（2）根据 y 的范围可求出 y 的范围，进而可得出 x  2 y 的范围．
【解答】解：（1）Q 4x2  2x  16  (3x2  6x)  x2  8x  16  (x  4)2… 0 ，
 4x2  2x  16… 3x2  6x ；
（2）由题设， 6  2 y  4 ，而5  x  4 ，
11  x  2 y  0 ．
(, )
【答案】（1）实数 x 的范围为( 1 ，1) ， y 的范围为 1 7 ；（2） (1, 9) ．
33 3
【分析】（1）不等式2  x  y  0 ①，1  2x  y  3 ②，然后利用①  ②，②  ①(2)
分别求出 x ， y 的范围；（2）利用）① 2  ②3 即可求解．
【解答】解：（1）不等式2  x  y  0 ①，1  2x  y  3 ②，
①  ②可得： 1  3x  3 ，解得 1  x  1 ，
3
②  ①(2) 可得：1  3y  7 ，解得 1  y  7 ，
33
(, )
所以实数 x 的范围为( 1 ，1) ， y 的范围为 1 7 ；
33 3
（2）①2  ②3 可得： 1  8x  y  9 ，即8x  y 的范围为(1, 9) ．
【答案】（1） (8, 32) ；
（2） (7, 2) ．
【分析】（1）利用不等式的性质计算即可；
利用不等式性质计算即可．
【解答】解：（1）由1  a  4 ， 2  b  8 可知2  2a  8 ， 6  3b  24 ，
所以8  2a  3b  32 ，
故2a  3b 的范围为(8, 32) ；
（2）由1  a  4 ， 2  b  8 可知8  b  2 ，所以7  a  b  2 ，
故a  b 的范围为(7, 2) ．
【答案】（1） (8, 32) ；
（2） (7, 2) ；
1
(, 2) ． 8
（3）
【分析】根据不等式的性质，即可求所给式子的范围．
【解答】解：（1）由题可知， 2  2a  8 ， 6  3b  24 ，所以8  2a  3b  32 ，则2a  3b 的取值范围为(8, 32) ；
（2）由题可知，1  a  4 ， 8  b  2 ，所以7  a  b  2 ，则a  b 的取值范围为(7, 2) ；
由题可知，1  a  4 ， 1  1  1 ，所以 1  a  2 ，
8b28b
则 a 的取值范围为(1 ， 2) ．
b8
, ]
【答案】（1）[2 ， 6] ，[ 3 5 ；
2 2
（2）[ 3 , 25] ．
2 2
【分析】（1）用已知式子a  b ， a  b 表示a ， b ，利用不等式的性质求解范围即可；
（2）用已知式子a  b ， a  b 表示2a  5b ，利用不等式的性质求解范围即可．
【解答】解：（1）因为1„ a  b„ 8 ， 3„ a  b„ 4 ，所以4„ (a  b)  (a  b)„ 12 ，
所以2„ a„ 6 ，
即实数a 的取值范围为[2 ， 6] ．
因为b  1 [(a  b)  (a  b)]  1 [(a  b)  (b  a)] ，
22
由3„ a  b„ 4 ，所以4„ b  a„  3 ，又1„ a  b„ 8 ，
所以3„ (a  b)  (a  b)„ 5 ，
所以 3  1 [(a  b)  (a  b)]  5 ，
222
即 3  b  5 ，
22
, ]
即实数b 的取值范围为[ 3 5 ．
2 2
（2）设2a  5b  m(a  b)  n(a  b)  (m  n)a  (m  n)b ，
m   3
m  n  5
则m  n  2

，解得2 ，


n  7
2
则2a  5b   3 (a  b)  7 (a  b) ，
22
Q1„ a  b„ 8 ， 3„ a  b„ 4 ．
 12   3 (a  b)   3 ， 21  7 (a  b)  14 ，
2222
 3  2a  5b„ 25 ，
22
即2a  5b 的取值范围为[ 3 , 25] ．
2 2
(, 4)
24．【答案】（1） (24, 45) ， 1；
3
（2） ( 3 ， 5) ．
22
【分析】（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
（2）先求出3a  2b  1 (a  b)  5 (a  b) ，再结合不等式的可加性，即可求解．
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【解答】解：（1）依题意，12  a  60 ，15  b  36 ，
36  b  15
由12  a  60

得24  a  b  45 ．
12  a  60

由 111
 
得 1  a  4 ，
3b
36b15
即a  b 的取值范围是(24, 45) ， a 的取值范围是(1 ， 4) ．
b3
（2）由2a  b  x(a  b)  y(b  a)  (x  y)a  (x  y)b ，
得x  y  2
，解得 x  1 ， y   3 ，

x  y  122
 2a  b  1 (a  b)  3 (b  a) ，
22
Q0  a  b  2 ， 1  b  a  1 ，
0  1 (a  b)  1 ，  3   3 (b  a)  3 ，
2222
两式相加得 3  2a  b  5 ，
22
即2a  b 的取值范围是( 3 ， 5) ．
22