湘教版（2024）九年级数学上册 第1章 图形的相似 章末核心要点分类整合（课件）

这是一份湘教版（2024）九年级数学上册 第1章 图形的相似 章末核心要点分类整合（课件），共78页。
章末核心要点分类整合第一章 图形的相似 3. 相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似；(2)两角分别相等的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(4)三边成比例的两个三角形相似.4. 相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应线段的比等于相似比，周长的比等于相似比；(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.5. 位似图形的性质：若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行(或在同一条直线上).专题一 比例的基本性质链接中考 >> 利用比例的基本性质化简求值是中考常考查的内容，常以选择题、填空题的形式考查. 例1  专题二 平行线分线段成比例链接中考 >> 平行线分线段成比例是三角形相似的基础，也是求线段长的一种方法. 在中考命题时，常以选择题和填空题的形式出现. 例2 答案：C专题三 相似三角形的判定链接中考 >> 图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常见的考点. 三角形相似的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法.[中考·广州] 如图1-2，点E，F 分别在正方形ABCD 的边BC，CD 上，BE=3，EC=6，CF=2. 求证：△ ABE ∽△ ECF.例3 专题四 相似三角形的性质链接中考 >> 在中考中常考查“面积比等于相似比的平方”，往往需要先找出相似三角形，常以选择题、填空题的形式出现. 例4 答案：D专题五 相似三角形的应用链接中考 >> 相似三角形的知识在实际生活中有广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想基础上的，把实际问题转化为数学问题，通过解数学问题达到解决实际问题的目的. 中考时在选择题、填空题和解答题中都有考查.[中考·广西] 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图1-4，木杆EF 长2 m，它的影长FD 是4 m，同一时刻测得OA 是268 m，则金字塔的高度BO 是________m．例5134解：因为BF ∥ ED，所以∠ BAO= ∠ EDF.因为∠ AOB= ∠ DFE=90°，所以△ ABO ∽△ DEF.所以BO ∶ EF=AO ∶ FD，即BO ∶ 2=268 ∶ 4. 所以BO=134 m.专题六 平面直角坐标系中的位似变换链接中考 >> 平面直角坐标系中的位似变换是中考常考查的内容，将点的坐标与对应边的比相结合是解题的关键，常以选择题、填空题的形式出现. 例6 答案：C专题七 从特殊到一般的思想专题解读 >> 利用相似三角形的性质探究面积的规律体现了从特殊到一般的思想. 例7 答案：C专题八 分类讨论思想链接中考 >> 解答有关相似图形的某些问题时，往往需要按某一标准把问题分成若干种情况分别加以研究，逐一解决，从而得到完整的结果. 对于这类问题，审题要仔细，分类要注意两点：一是正确选择分类标准；二是分类科学，既不重复也不遗漏.如图1-7，等边三角形ABC 的边长为3，D 为BC 上一点，CD=2BD，P 是线段AD 上的动点，若点P和△ ABC 中的一个顶点的连线与PD 的夹角为60°，则PD 的长为__________.例8    类型一 巧用“两角相等”证两三角形相似1. 如图，在四边形ABCD 中，AD=CD，∠ DAB=∠ ACB=90°，过点D作DF ⊥ AC，垂足为F，DF 的延长线与AB 相交于点E.求证：△ DCF ∽△ ABC. 证明：因为AD=CD，DF⊥AC，所以∠DAF=∠DCF，∠DFC=90°.因为∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=180°-∠ACB=90°，所以∠DCF=∠DAF=∠ABC.又∠DFC=90°=∠ACB，所以△DCF∽△ABC.类型二 巧用平行线证等积式或比例式题型1 等线段代换法2. 如图，E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O，交AD 于点F.  (2)求证：OB2=OE·OF.   题型3 等比代换法4. [期末·娄底涟源市] 如图，在△ABC 中，点D在边BC 上，AE ∥ BC，BE 与AD，AC分别相交于点F，G，AF2 ＝ FG·FE．(1)求证：△ CAD ∽△ CBG； (2)连接DG，求证：DG·AE ＝ AB·AG. 类型三 巧用相似三角形的性质求面积5. [模拟•苏州] 如图，在△ ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AB，BC 于点D，E. 连接CD，AE 交于点F，且AC=AE.(1)求证：△ ABC ∽△ FCE；证明：因为DE是BC的垂直平分线，所以BD=CD.所以∠DBC=∠DCB.因为AE=AC，所以∠ACB=∠AEC.所以△ABC∽△FCE.(2)若BC=6，DE=2，求△ FCE 的面积. 类型四 巧用补形法构造相似三角形求线段的长6. [中考·山西] 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC，∠ B=90°，AB=8，BC=4，点E 在边AB 上，AE=3，连接CE，且∠ DCE= ∠ BCE．点F在BC 的延长线上，连接DF. 若DF=DC，则线段CF 的长为________． 类型五 相似与函数的巧妙结合7. [中考·湖北] 如图①， 在△ABC 中， ∠C=90°，BC=4cm，AB=n cm．动点P，Q 均以1 cm/s 的速度从点C 同时出发，点P 沿折线C → B → A 向点A 运动，点Q 沿边CA 向点A 运动．当点Q 运动到点A 时，两点都停止运动．△ PCQ 的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s)的关系如图②所示．(1)m=______；( 2)n=______．812类型六 相似与平面几何的巧妙结合8. [黄冈中学自主招生] 如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，将线段BC 绕点B 逆时针旋转得线段BF，∠ FBC 的平分线与边 CD 的交点为 E.(1)如图①， 若点F 在AD 的延长线上，∠ A=40°，求∠ BFE 的度数；解：因为将线段BC绕点B逆时针旋转得线段BF，所以BC=BF.因为BE平分∠FBC，所以∠FBE=∠CBE.因为BE=BE，所以△FBE≌△CBE(SAS)，所以∠C=∠BFE.因为四边形ABCD是菱形，所以∠A=∠C.所以∠BFE=∠A=40°.   解：易知BF=BC，∠FBE=∠CBE，BE=BE，所以△FBE≌△CBE(SAS)，所以∠BFE=∠C.因为四边形ABCD是菱形，所以∠BAD=∠C，AB=BC，所以∠BFE=∠BAD，BF=AB.因为BC=BE，所以BE=BF，所以∠BEF=∠BFE=∠BAD，BE=AB，又∠EBM=∠ABH，所以△BEM≌△BAH(ASA)，所以BM=BH∠M=∠H. 类型七 巧用相似三角形解实际问题9. 情境题 方案策略型 在学习了本章之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度AB，有以下两个方案：方案一：如图①，在距离旗杆底部B 点30 m远的D 处竖立一根高2 m 的标杆CD，小丽在F 处站立，她的眼睛所在位置E、标杆的顶端C 和旗杆顶点A 三点在同一直线上. 已知小丽的眼睛到地面的距离EF=1.5 m，DF=1.5 m，AB ⊥ BF，CD ⊥ BF，EF ⊥ BF，点F，D，B在同一直线上.方案二：如图②，小颖拿着一根长为16 cm 的木棒CD 站在离旗杆30 m 的地方(即点E 到AB的距离为30 m).她把手臂向前伸，木棒竖直，CD ∥ AB，使木棒两端恰好遮住旗杆(即E，C，A 在一条直线上，E，D，B 在一条直线上)时，已知点E 到木棒CD的距离为40 cm.请你选择其中的一个方案求旗杆的高度AB.解：若选择方案一：如图①，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G.由题意得EH⊥CD，EF=DG=BH=1.5 m，FD=EG=1.5 m，EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5(m).所以CG=CD-DG=2-1.5=0.5(m)，∠CGE=∠AHE=90°.又因为∠CEG=∠AEH，所以△CEG∽△AEH.所以CGAH=EGEH，即0.5AH=1.531.5.所以AH=10.5 m.所以AB=AH+BH=10.5+1.5=12(m).因此，旗杆的高度AB为12 m.若选择方案二：如图②，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G，则∠AHE=90°.因为CD∥AB，所以∠CGE=∠AHE=90°，所以EH⊥CD.由题意得CD=16 cm=0.16 m，EG=40 cm=0.4 m，EH=30 m.因为CD∥AB，所以△ECD∽△EAB，所以CDAB=EGEH，即0.16AB=0.430.所以AB=12 m.因此，旗杆的高度AB为12 m．重点题型 常见的相似三角形的模型第一章 图形的相似荣老师告诉你：相似三角形有几种基础模型，掌握好这几种模型，会给解题带来极大的方便. 这几种模型包括：平行线型、相交线型、子母型、旋转型、一线三等角型.模型一 平行线型如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=6，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF//BC，分别交边AB，DC于点E，F.例1(1)求线段EF的长； (2)如果△AOD的面积等于4，求梯形ABCD的面积. 模型二 相交线型如图2，∠B= ∠ C.例2(1)求证：△ABE∽△ACD；证明：在△ABE和△ACD中，因为∠B= ∠C，∠A= ∠A，所以△ABE∽△ACD.(2)若AB=5，AD=2，AE=3，求AC的长度. 模型三 子母型如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高. 求证：例3(1)AC2=AD·AB；   模型四 旋转型如图4，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD= ∠ACE.求证：例4(1)AB·AE= AC·AD； (2)△ ADE ∽△ ABC. 模型五 一线三等角型如图5，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°.例5(1)求证：△ABD∽△DCE.证明：因为△ABC 是等边三角形，所以∠B= ∠C= 60°.因为∠ADC= ∠B+∠BAD= ∠ADE+ ∠CDE，∠ADE=60°= ∠B，所以∠BAD= ∠CDE，所以△ABD∽△DCE.(2)若△ABC的边长为9，BD=3，求 CE 的长.