2026年高考物理一轮复习(通用版)第47讲带电粒子在磁场中的运动(复习讲义)(学生版+解析)

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\l "_Tc212751267" 02体系构建•思维可视 PAGEREF _Tc212751267 \h 3
\l "_Tc212751268" 03核心突破•靶向攻坚 PAGEREF _Tc212751268 \h 5
\l "_Tc212751269" 考点一 洛伦兹力 PAGEREF _Tc212751269 \h 5
\l "_Tc212751270" 知识点1 洛伦兹力的理解 PAGEREF _Tc212751270 \h 5
\l "_Tc212751271" 知识点2 洛伦兹力与电场力的比较 PAGEREF _Tc212751271 \h 5
\l "_Tc212751272" 知识点3 洛伦兹力与安培力的关系 PAGEREF _Tc212751272 \h 6
\l "_Tc212751273" 知识点4 洛伦兹力作用下带电体的运动 PAGEREF _Tc212751273 \h 6
\l "_Tc212751274" 考向1 洛伦兹力的认识、特征及计算 PAGEREF _Tc212751274 \h 6
\l "_Tc212751275" 考向2 洛伦兹力作用下带电体的运动 PAGEREF _Tc212751275 \h 8
\l "_Tc212751276" 考点二 带电粒子在磁场中运动的基本规律 PAGEREF _Tc212751276 \h 10
\l "_Tc212751277" 知识点1 带电粒子在磁场中的运动规律 PAGEREF _Tc212751277 \h 10
\l "_Tc212751278" 知识点2 带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的比较 PAGEREF _Tc212751278 \h 10
\l "_Tc212751279" 考向1 带电粒子在磁场中运动的基本规律 PAGEREF _Tc212751279 \h 11
\l "_Tc212751280" 考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 PAGEREF _Tc212751280 \h 12
\l "_Tc212751281" 知识点1 涉及的数学知识 PAGEREF _Tc212751281 \h 12
\l "_Tc212751282" 知识点2 圆心的确定方法 PAGEREF _Tc212751282 \h 12
\l "_Tc212751283" 知识点3 半径的计算 PAGEREF _Tc212751283 \h 13
\l "_Tc212751284" 知识点4 运动时间的确定 PAGEREF _Tc212751284 \h 13
\l "_Tc212751285" 知识点5 典型模型 PAGEREF _Tc212751285 \h 14
\l "_Tc212751286" 知识点6 带电粒子在匀强磁场中的极值问题及其解法解法 PAGEREF _Tc212751286 \h 15
\l "_Tc212751287" 考向1 平行边界的磁场 PAGEREF _Tc212751287 \h 16
\l "_Tc212751288" 考向2 三角形边界的磁场 PAGEREF _Tc212751288 \h 18
\l "_Tc212751289" 考向3 圆形边界的磁场 PAGEREF _Tc212751289 \h 19
\l "_Tc212751290" 【思维建模】 解答带电粒子在有界匀强磁场中运动的“四步曲” PAGEREF _Tc212751290 \h 21
\l "_Tc212751291" 【思维建模】 临界问题的分析重点 PAGEREF _Tc212751291 \h 21
\l "_Tc212751293" 考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc212751293 \h 21
\l "_Tc212751294" 知识点1 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 PAGEREF _Tc212751294 \h 21
\l "_Tc212751295" 知识点2 典型问题 PAGEREF _Tc212751295 \h 22
\l "_Tc212751296" 考向1 带电粒子的电性不确定形成多解 PAGEREF _Tc212751296 \h 22
\l "_Tc212751297" 考向2 磁场的方向不确定形成多解 PAGEREF _Tc212751297 \h 23
\l "_Tc212751298" 考向3 粒子的临界状态不确定形成多解 PAGEREF _Tc212751298 \h 25
\l "_Tc212751299" 【思维建模】 解处理多解问题的解题技巧 PAGEREF _Tc212751299 \h 26
\l "_Tc212751301" 04真题溯源•考向感知 PAGEREF _Tc212751301 \h 26



考点一 洛伦兹力
1.洛伦兹力的定义：磁场对运动电荷的作用力。
\l "_Tc25045" 知识点1 洛伦兹力的理解
1. 大小
1） v∥B时：；
2）v⊥B时：；
3）v与B的夹角为θ：.
特别提醒：
在磁场中静止的电荷不受洛伦兹力作用
2. 洛伦兹力的方向
1）判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角)
特别提醒：
用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运动的反方向。
3.洛伦兹力的特性
1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
\l "_Tc25045" 知识点2 洛伦兹力与电场力的比较
\l "_Tc25045" 知识点3 洛伦兹力与安培力的关系
1. 洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观表现. 二者是相同性质的力，都是磁场力，洛伦兹力的方向与安培力的方向一样也由左手定则判定.。
2. 安培力可以做功，而洛伦兹力永不做功。
\l "_Tc25045" 知识点4 洛伦兹力作用下带电体的运动
带电体在磁场中做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，带电体与接触面间的弹力随着变化（若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而使加速度发生变化），最后若弹力减小到0，会产生带电体可能与接触面分离的有关问题。
\l "_Tc16322" 考向1 洛伦兹力的认识、特征及计算
例1（2025·广东·模拟预测）（多选）地磁场可以有效抵御宇宙射线的侵入。不考虑磁偏角，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球厚度为d的匀强磁场，方向垂直于该剖面，如图所示。宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是粒子。设粒子的质量为m，电量为e，最大速率为，地球半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，不计大气对粒子运动的影响，下列说法正确的是（ ）
A．赤道上空的磁感应强度方向由南指向北
B．粒子指向地心射入磁场，将向西偏转
C．射线射入磁场后的偏转方向与射线射入磁场后的偏转方向相反
D．要使赤道平面内任意方向射入的粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应大于2R
【答案】ABD
【详解】A．赤道上空的磁感应强度方向由地理南极指向地理北极，选项A正确；
B．根据左手定则可知，粒子指向地心射入磁场，将向西偏转，选项B正确；
C．射线不带电，射入磁场后不偏转，选项C错误；
D．粒子在磁场中的最大半径
则要使赤道平面内任意方向射入的粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应大于2R，选项D正确。
故选ABD。
【变式训练1·变考法】（2025·上海嘉定·二模）在物理学的研究中，应用“气泡室”“云室”等装置可以显示带电粒子的径迹。
1）图为带电粒子在气泡室运动径迹的照片，气泡室处于垂直纸面向里的匀强磁场中。同一条径迹半径越来越小，粒子______。
A．速度大小不断减小
B．速度大小不断增大
C．所受的洛伦兹力始终对粒子做负功
D．所受的洛伦兹力始终对粒子做正功
2）图为一带电粒子在气泡室中穿过一金属箔的轨迹。气泡室处于垂直纸面向里的匀强磁场中，则带电粒子______。
A．运动方向由A到B，粒子带正电
B．运动方向由A到B，粒子带负电
C．运动方向由B到A，粒子带正电
D．运动方向由B到A，粒子带负电
E．运动方向均有可能，电性均有可能
【答案】1）A 2）A
【解析】1）AB．由洛伦兹力提供向心力
解得
因为同一条径迹半径越来越小，故粒子的速度大小不断减小，故A正确，B错误；
CD．由于粒子所受的洛伦兹力与粒子的速度垂直，故洛伦兹力始终对粒子不做功，故CD错误。
故选A。
2）由于带电粒子在气泡室中穿过一金属箔，则速度减小，根据洛伦兹力提供向心力
可得
即带电粒子的半径减小，故粒子的运动方向由A到B，根据左手定则结合带电粒子的轨迹可知该粒子带正电。
故选A。
\l "_Tc16322" 考向2 洛伦兹力作用下带电体的运动
例2（2025·甘肃·二模）（多选）如图所示，在磁感应强度大小，方向水平向里的匀强磁场中，有一根长的竖直光滑绝缘细杆，细杆顶端套有一个质量、电荷量的小环。现让细杆以的速度沿垂直磁场方向水平匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，取。关于小环的运动下列说法正确的是（ ）
A．洛伦兹力对小环做负功B．小环的轨迹是抛物线
C．小环在绝缘杆上运动时间为0.2sD．小环的机械能减少
【答案】BCD
【详解】A．根据题意，洛伦兹力的方向始终与小环的运动速度方向垂直，所以洛伦兹力对小环不做功，故A错误；
B．小环在水平方向随杆匀速运动，在竖直方向受重力以及向上的洛伦兹力，因水平速度v不变，则向上的洛伦兹力不变，可知小球受向下的不变的合力作用向下做匀变速直线运动，满足平抛运动条件，所以小环的轨迹是抛物线，故B正确；
C．小环在竖直方向的加速度
由
解得
故C正确；
D．小环在运动向下运动过程中，同时受到向右的洛伦兹力作用，由牛顿第三定律可知小环受到向左的作用力，细杆对小环向左的作用力做负功，洛伦兹力不做功，重力做正功，机械能不守恒，且小环的机械能减少，故D正确。
故选BCD。
【变式训练2·变角度】（2025·江西南昌·一模）如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B两小孔中，CD虚线为AB连线的中垂线，O为A、B连线的中点，连线上a、b两点关于O点对称。导线中通有大小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度，式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初速度从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点。关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
A．小滑块做匀速直线运动
B．小滑块做匀减速直线运动
C．小滑块做加速度逐渐增大的减速直线运动
D．小滑块做加速度先增大后减小的减速直线运动
【答案】B
【详解】根据右手螺旋定则，结合磁场的合成可知C、D之间的磁场方向沿CD向里，磁场感应强度大小先增大后减小，根据左手定则可知，带正电的小滑块以初速度从a点出发在桌面上沿连线CD运动到b点过程中，带正电的小球不受洛伦兹力，沿CD方向只受到滑动摩擦力作用，方向沿DC向外，滑动摩擦力不变，根据牛顿第二定律可知小滑块的加速度不变，所以小滑块做匀减速直线运动。
故选B。

考点二 带电粒子在磁场中运动的基本规律
知识点1 带电粒子在磁场中的运动规律
在带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下（电子、质子、α粒子等微观粒子的重力通常忽略不计），
1.若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），带电粒子以入射速度v做匀速直线运动.
2.若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速率v做匀速圆周运动.
1）洛伦兹力提供向心力：.
2）轨迹半径：.
3）周期：、，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．
4）运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间.
5）动能：.
知识点2 带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的比较
1.两种偏转的对比
2.两种偏转的解题思路
1）磁偏转：粒子垂直磁感线进入磁场→匀速圆周运动：画轨迹、找半径、定圆心。
2）电偏转：粒子垂直电场线进入电场→类平抛运动：分解法（初速度方向：匀速直线运动；电场方向：匀变速直线运动）
考向1 带电粒子在磁场中运动的基本规律
例3（2025·江西九江·三模）四个带电粒子的电荷量和质量分别为（＋q，m）、（＋q，2m）、（＋3q，3m）、（-q，m），它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
则
根据上式可知（＋q，m）、（＋3q，3m）轨道半径相同，且二者的轨道半径与（-q，m）的相等，运动方向相反，（＋q，2m）的轨道半径最大。
故选A。

考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
解答带电粒子运动问题的“三个关键”——“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定方法
知识点1 涉及的数学知识
1. 几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交．
2. 对称性：圆与直线相交，轨迹(圆弧)关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，轨迹(圆弧)关于两圆心的连线轴对称．(如图)
3.构造三角形，尤其是直角三角形
4. 确定角度
1）有已知角度：利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；
2）没有已知角度：利用边长关系确定．
知识点2 圆心的确定方法
1. 基本思路
1）与速度方向垂直的直线过圆心。
2）弦的垂直平分线过圆心。
3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
2.典型问题
1）若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心
2）若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心．
知识点3 半径的计算
利用平面几何知识求半径
1. 连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，
常用解三角形法，（如图）R＝Lsinθ或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝L2＋d22d
2. 在分析几何关系时，特别要掌握以下两点
1）速度的偏转角φ等于AB所对的圆心角α，且等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即.
2）相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝π.
3）偏转角φ与弦切角θ的关系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ＞180°，φ＝360°－2α
知识点4 运动时间的确定
利用轨迹长度L或对应圆心角θ求时间，粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间：
1. 方法一 利用圆心角θ、周期T求得t=θ2πT。
2. 方法二 利用弧长l、线速度v求得t=lv。
知识点5 典型模型
1. 直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
图甲中粒子在磁场中运动的时间t=T2=πmBq;
图乙中粒子在磁场中运动的时间t=1−θπT=1−θπ2πmBq=2m(π-θ)Bq;
图丙中粒子在磁场中运动的时间t=θπT=2θmBq.
2. 平行边界(往往存在临界条件，如图所示)

图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=θmBq,t2=T2=πmBq;
图乙中粒子在磁场中运动的时间t=θmBq;
图丙中粒子在磁场中运动的时间t=1−θπT=1−θπ2πmBq=2m(π-θ)Bq;
图丁中粒子在磁场中运动的时间t=θπT=2θmBq.
3. 圆形边界(进出磁场具有对称性)
1) 速度指向圆心:沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
2) 速度方向不指向圆心:如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
3) 环形磁场:如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
知识点6 带电粒子在匀强磁场中的极值问题及其解法解法
1. 问题概述：带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
2. 解题方法
1）物理方法：利用临界条件求极值； 利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值；
2）数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值；
3. 几种常见的求极值问题
1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
2）时间极值
①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长，一般为轨迹与直线边界相切。
②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大．当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大．
③最短时间:弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。
如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。
3) 磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。
考向1 平行边界的磁场
例4（2025·北京朝阳·一模）如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求：
(1)电子运动的轨迹半径r；
(2)电子的比荷；
(3)电子穿越磁场的时间t。
【答案】(1)2d
(2)
(3)
【详解】（1）作入射、出射速度的垂线确定轨迹圆心，由几何关系，可得r = 2d
（2）设电子质量为m、电量为e，由洛伦兹力提供向心力得，解得
（3）由洛伦兹力提供向心力，运动的周期，得
由，代入周期得
【变式训练3·变情境】（2025·新疆喀什·模拟预测）（多选）在一正方形区域里有垂直纸面向里的匀强磁场，现有a、b、c三个比荷（）相同的带电粒子（不计重力）依次从P点沿PQ方向射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a从PM边中点O射出，b从M点射出，c从N点射出。则a、b、c三个粒子在磁场中运动的（ ）
A．速率之比为1：2：4
B．周期之比为1：1：2
C．时间之比为2：2：1
D．动量大小之比为1：2：4
【答案】AC
【详解】AD．设正方形的边长为L，根据几何关系可知粒子运动的半径分别为，，
由洛伦兹力提供向心力得
解得
则有
根据动量表达式，因为粒子的质量关系不确定，所以动量的大小关系也不能确定，故A正确，D错误；
BC．根据周期
可知a、b、c三个粒子在磁场中运动的周期相等；又有，
所以时间之比为
故B错误，C正确。
故选AC。
考向2 三角形边界的磁场
例5（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长
B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长
C．从边射出的电子的最大速度为
D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同
【答案】BC
【详解】A．因为电子束从A点以不同的速度沿角平分线射入磁场，电子从AC边射出时速度与边界的夹角均为，电子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角均为，电子在磁场中运动周期是相同的，由
可知，从AC边射出的电子在磁场中的运动时间与轨迹长度无关，故A错误；
B．由于从AC边射出的电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角相等，所以轨迹半径越大轨迹越长，根据洛伦兹力提供向心力，有
可得电子在磁场中运动轨迹半径
即轨迹半径越大，说明电子速度越大，故B正确；
C．电子从AC边的C点射出时，电子轨迹半径最大且为a，由洛伦兹力提供向心力
解得
故C正确；
D．从AC边射出的电子轨迹不同，但所经历的时间相同，从AC边射出的电子偏转角均为60°，动量变化量大小为，因速度不同，动量变化量不同，故D错误。
故选BC。
考向3 圆形边界的磁场
例6（2025·北京西城·三模）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（ ）
A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大
B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长
C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多
D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大
【答案】B
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有，
解得，
由于带电粒子a和b质量相等、所带电荷量大小也相等，则两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，故A错误；
B．令粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角为，则粒子在磁场中运动时间
根据图示可知，a粒子圆周运动轨迹对应圆心角大于b粒子圆周运动轨迹对应圆心角。则穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长，故B正确；
C．洛伦兹力方向始终垂直于粒子运动速度的方向，可知，洛伦兹力始终不做功，故C错误；
D．根据图示可知，a粒子圆周运动的半径小于b粒子圆周运动的半径，结合上述可知，射入圆形磁场区域时a粒子的速率较小，故D错误。
故选B。
【变式训练4·变角度】（2025·广东湛江·模拟预测）（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（ ）
A．粒子带负电荷
B．轨迹半径为
C．轨迹半径为
D．轨迹半径为
【答案】AC
【详解】A．粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确；
BCD．如图所示
设轨迹半径为r，根据几何关系可得
解得，故C正确，BD错误。
故选AC。
【思维建模】 解答带电粒子在有界匀强磁场中运动的“四步曲”
【思维建模】 临界问题的分析重点
临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。
极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。

考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
知识点1 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
1. 找出多解的原因：磁场方向不确定形成多解、临界状态不唯一形成多解、运动的周期性形成多解
2. 画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
知识点2 典型问题
考向1 带电粒子的电性不确定形成多解
例7（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得
根据线速度和周期的关系，可得
联立解得
由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为
故选AD。
考向2 磁场的方向不确定形成多解
例8（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（ ）
A．，垂直纸面向里B．，垂直纸面向里
C．，垂直纸面向外D．，垂直纸面向外
【答案】BD
【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧）
由几何知识知
而
所以
所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
故A错误，B正确；
CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧）
由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。
由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
故C错误，D正确。
故选BD。
考向3 粒子的临界状态不确定形成多解
例9（2025·山西临汾·二模）（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】根据洛伦兹力提供向心力
可得
则在第Ⅰ象限内运动的半径为
在第Ⅳ象限内运动的半径为
设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次，在第Ⅳ象限次，根据几何关系有
解得，
A，当时，n不为整数，故A错误；
B，当时，n=0，不符合取值范围，故B错误；
C，当时，，故C正确；
D，当时，，故D正确。
故选CD。
【思维建模】 解处理多解问题的解题技巧
1）分析题目特点，确定题目多解形成的原因。
2）作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。
3）若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
1．（2025·江西·高考真题）（多选）如图所示，一细金属导体棒在匀强磁场中沿纸面由静止开始向右运动，磁场方向垂直纸面向里。不考虑棒中自由电子的热运动。下列选项正确的是（ ）
A．电子沿棒运动时不受洛伦兹力作用B．棒运动时，P端比Q端电势低
C．棒加速运动时，棒中电场强度变大D．棒保持匀速运动时，电子最终相对棒静止
【答案】CD
【详解】A．由左手定则可知，电子沿棒运动时受到水平方向的洛伦兹力作用，A错误；
B．根据右手定则可知，棒向右运动时，P端比Q端电势高，B错误；
C．PQ两端电势差U=BLv，可知棒中电场强度，则棒加速运动时，棒中电场强度变大，C正确；
D．棒保持匀速运动时，PQ两端电势差保持恒定，电子将集聚在导体棒下端，最终相对棒静止，D正确。
故选CD。
2．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。
考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。
(2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为，粒子2运动的距离为d。求：
a．粒子1与粒子2的速度大小之比；
b．粒子2的动量大小。
【答案】(1)
(2)a．；b．
【详解】（1）粒子速度方向与磁场垂直，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得轨道半径
圆周运动的周期
将R代入得
比例关系为
（2）a．由题意知粒子1做圆周运动，线速度
粒子2做匀速直线运动，速度
所以速度之比
即
b．对粒子1，由洛伦兹力提供向心力有
可得
粒子2的动量
结合前面的分析可得
3．（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（ ）
A．t1 < t2 = t3B．t1 < t2 < t3C．t1 = t2 > t3D．t1 > t2 > t3
【答案】A
【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为
设正方形abcd的边长为l，则，，
则有t1 < t2 = t3
故选A。
考点
要求
考频
2025年
2024年
2023年
洛伦兹力、
带电粒子在磁场中运动的基本规律
简单应用
高频
2025•江西、2025•北京、
2024•浙江、2024•上海
2023•北京、2023•海南、2023•新课标卷、
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
综合应用
高频
2025•全国卷、2025•甘肃、2025•四川、2025•重庆、
2024•广西、2024•河北、
2023•湖南、2023•全国乙卷、
带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
综合应用
中频
/
2024•山东、
2023•全国甲卷、2023•重庆、2023•山东、
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：高考对这部分内容的考查，高考物理对洛伦兹力的考查主要集中在基本概念和方向判断上，常通过左手定则来测试学生对受力方向的理解，洛伦兹力公式与圆周运动公式也是高频考点，题目常通过粒子速度方向与磁场方向的夹角变化（平行、垂直、斜交）设计问题。‌ 是有界磁场命题的重中之重，常以“轨迹与边界相切”为临界条件，轨迹往往是‌圆弧或圆弧的组合‌。题目核心难点在于‌确定圆心、半径、圆心角、运动时间‌。多解问题是高频难点和区分点
3.备考建议：本讲内容备考时候，深刻理解洛伦兹力特点、圆周运动两公式的推导、适用条件和各物理量关系。熟练进行方向判断和基本计算。熟记典型模型（圆界、直界、矩界、角域）的轨迹特点和常用处理方法，专题攻克临界与多解。
4.命题情境：
①生活实践类：洛伦兹力演示仪、阴极射线管、托卡马克装置；
②学习探究类：以电子枪发射电子束为情境，分析电子在磁场中的螺旋运动轨迹。
5.常用方法：数学几何知识、极限法
复习目标：
1.会利用左手定则判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2.学会分析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间。
3.会分析洛伦兹力作用下带电体的运动。
4.会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。
5.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
(说明：运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用)
电荷处在电场中
大小
F=qvB(v⊥B)
F=qE
力方向与场方向的关系
F⊥B(且F⊥v)
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
作用效果
只改变电荷的速度方向,不改变速度大小
既可以改变电荷的速度大小,也可以改变速度的方向
运动形式
比较项目
带电粒子在匀强电场中偏转(v0⊥E)
带电粒子在匀强磁场中偏转(v0⊥B)
受力特点
受到恒定的电场力,电场力做功
受洛伦兹力作用,但洛伦兹力不做功
动能
静电力做的功等于动能变化量
洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变
运动特征
类平抛运动
匀速圆周运动
研究方法
牛顿运动定律、匀变速运动公式、正交分解法
牛顿运动定律、向心力公式、圆的几何知识
表达方式
飞出电场的时间t=xv0
打在极板上的时间t=2ya
偏移量:y=at22
偏转角θ满足:tanα=vyv0
时间t=θ2πT(θ是圆心角,T是周期)
偏转角θ满足:sinθ=lR(l是磁场宽度,R是粒子轨道半径)
运动情景
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
如带正电，其轨迹为a;如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态不唯一或速度大小不确定
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动的往复性
带电粒子在空间运动时，往往具有往复性