第57讲　带电粒子在匀强磁场中运动——2027届高三物理一轮复习讲义

这是一份第57讲　带电粒子在匀强磁场中运动——2027届高三物理一轮复习讲义，共7页。学案主要包含了洛伦兹力，带电粒子在匀强磁场中的运动等内容，欢迎下载使用。
1．洛伦兹力：磁场对 运动电荷 的作用力。
2．洛伦兹力的方向(左手定则)
(1)伸出左手，使拇指与其余四个手指 垂直 ，并且都与手掌在同一个平面内。
(2)让磁感线从掌心进入，并使 四指 指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。
(3) 拇指 所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
如图，①表示 正电荷 运动的方向或 负电荷 运动的反方向，②表示 磁场 的方向，③表示 洛伦兹力 的方向。
3．洛伦兹力的大小：F＝ qvBsin θ ，θ是v与B之间的夹角。
(1)当v∥B时，F＝ 0 。
(2)当v⊥B时，F＝ qvB 。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力F⊥ B ，F⊥ v ，即F垂直于B和v决定的 平面 ，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的 大小 ，或者说，洛伦兹力对带电粒子 不做功 。
2．粒子的运动性质
(1)若v0∥B，则粒子 不受洛伦兹力 ，在磁场中做 匀速直线运动 。
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做 匀速圆周运动 。
3．基本公式
(1)由qvB＝ meq \f(v2,r) ，得r＝ eq \f(mv,qB) 。
(2)由v＝eq \f(2πr,T)，得T＝ eq \f(2πm,qB) 。
(3)f＝eq \f(1,T)＝ eq \f(qB,2πm) 。
(4)ω＝eq \f(2π,T)＝2πf＝ eq \f(qB,m) 。
1．带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。( × )
2．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。( × )
3．根据公式T＝eq \f(2πr,v)，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。( × )
4．由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。( × )
5．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( √ )
考点1 对洛伦兹力的理解
(基础考点·自主探究)
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运动的反方向。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与静电力的比较
【跟踪训练】
(洛伦兹力的特点)真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。直径略小于绝缘管直径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是( )
A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向始终竖直向上
(洛伦兹力与静电力的比较)如图所示，甲、乙是竖直面内两个相同的半圆形光滑轨道，M、N分别为两轨道的最低点，匀强磁场垂直于甲轨道平面，匀强电场平行于乙轨道平面，两个完全相同的带正电小球a、b分别从甲、乙两轨道的右侧最高点由静止释放，在它们第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A．a球下滑的时间比b球下滑的时间长
B．a、b两球的机械能均不守恒
C．a球到M点的速度小于b球到N点的速度
D．a球对M点的压力大于b球对N点的压力
考点2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(能力考点·深度研析)
1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq \f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
方法一 由R＝eq \f(mv,qB)求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝eq \f(1,2)α。
(3)时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝eq \f(θ,2π)T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝eq \f(l,v)
例如：t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(φ,2π)T＝eq \f(2α,2π)T
t＝eq \f(l,v)＝eq \f( eq \\ac(AB,\s\up10(︵)),v)
2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
►考向1 带电粒子在直线边界磁场中的运动
(2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为( )
A．eq \f(mv,qB) B．eq \f(3mv,2qB)
C．(1＋eq \r(2))eq \f(mv,qB) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))eq \f(mv,qB)
►考向2 带电粒子在圆形边界磁场中的运动
(2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能经过O点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为eq \f(7πm,3qB)
D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为eq \f(\r(3)qBR,3m)
无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤：
【跟踪训练】
(带电粒子在三角形边界中的运动)(多选)(2024·河北石家庄市调研)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量为－q、速度大小均为v0＝eq \f(qBL,m)的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的半径为L
B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出
C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为L
D．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
(带电粒子在正方形边界中的运动)(多选)(2024·河北卷)如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是( )
A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出
B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出
C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45°
D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°
带电粒子在磁场中运动的多解问题
►考向1 磁场方向不确定形成多解
(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.eq \f(qB,m) B．eq \f(2qB,m)
C.eq \f(3qB,m) D．eq \f(4qB,m)
►考向2 带电粒子电性不确定形成多解
(多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射出。下列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为eq \f(qBL,4m)
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为eq \f(5qBL,2)
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为eq \f(πm,3qB)
►考向3 临界状态不确定形成多解
(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度veq \f(5Bql,4m)
C．使粒子的速度v>eq \f(Bql,m)
D．使粒子的速度eq \f(Bql,4m)eq \f(mv,qs)，垂直纸面向里
C．B>eq \f(mv,qs)，垂直纸面向外
D．B>eq \f(3mv,qs)，垂直纸面向外
11．(2024·四川内江市第六中学模拟)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷eq \f(q,m)＝eq \f(1,k)，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为( )
A.eq \f(BL,k) B．eq \f(BL,2k)
C.eq \f(2BL,3k) D．eq \f(BL,8k)
能力提升练
12．(多选)如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ＝53°角垂直磁场射入，从磁场右边界上点P(7d，d)离开。已知粒子的质量为m，带电荷量为q，重力不计，取sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。下列说法正确的是( )
A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为eq \f(5qBd,m)
C．粒子从P点射出时的速度方向与x轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
13．(多选)(2025·福州联考)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，现有比荷大小相等的甲、乙两粒子，甲以速度v1从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过t1时间射出磁场，射出磁场时的速度方向与初速度方向间的夹角为60°；乙以速度v2从距离直径AOB为eq \f(R,2)的C点平行于直径AOB方向射入磁场，经过t2时间射出磁场，其轨迹恰好通过磁场的圆心，不计粒子受到的重力，则( )
A．两个粒子带异种电荷
B．t1＝t2
C．v1∶v2＝eq \r(3)∶1
D．两粒子在磁场中轨迹长度之比l1∶l2＝eq \r(3)∶1
14.(2025·河北调研)如图所示，由光滑弹性绝缘壁构成的等边三角形ABC容器的边长为a，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，小孔O是竖直边AB的中点，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从小孔O以速度v水平射入磁场，粒子与器壁多次垂直碰撞后(碰撞时无能量和电荷量损失)仍能从O孔水平射出，已知粒子在磁场中运动的半径小于eq \f(a,2)，则磁场的磁感应强度的最小值Bmin及对应粒子在磁场中运动的时间t分别为( )
A.eq \f(2mv,qa)、eq \f(7πa,6v) B．eq \f(2mv,qa)、eq \f(πa,26v)
C.eq \f(6mv,qa)、eq \f(7πa,6v) D．eq \f(6mv,qa)、eq \f(πa,26v)
15.如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里。有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)磁场区域的圆心O1的坐标；
(3)电子在磁场中运动的时间。洛伦兹力
静电力
产生
条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
方向
F⊥B且F⊥v
正电荷受力与电场强度方向相同，负电荷受力与电场强度方向相反
做功
情况
任何情况下都不做功
可能做正功，可能做负功，也可能不做功
分析
图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解
粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
分析
图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
分析
图例
带电粒子在部分是电场，部分是磁场或相邻两部分磁场方向不同的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解
CD＝l，l＝n·2r，即粒子到D点半径有n个值