2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练31 解三角形的实际应用（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练31 解三角形的实际应用（含解析），共12页。
考点一 测量距离问题
1.(2025·河南郑州期末)某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中,构建了如图所示的几何模型,该模型中MA,NB均与平面ABC垂直.现已测得可直接到达的两点间距离AC=20 m,BC=303 m,用测角仪测得∠ACB=150°,且在点C处测得点M,N的仰角分别为45°,30°,则M,N两点之间的距离为( )
A.603 mB.503 m
C.602 mD.502 m
考点二 测量高度问题
2.(2025·广东湛江模拟)在一堂数学实践探究课中,同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示,将小镜子放在操场的水平地面上,人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置,此时测量人和小镜子的距离为a1=1.00 m,之后将小镜子前移a=6.00 m,重复之前的操作,再次测量人与小镜子的距离为a2=0.60 m,已知人的眼睛距离地面的高度为h=1.75 m,则钟楼的高度大约是( )
m m
m m
考点三 测量角度问题
3.(2025·山东泰安模拟)公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60米到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60米到点C处,测得仰角为θ,则sin θ=( )
A.12B.3C.-2D.-13
素能综合练
4.(2026·北京顺义期末)一艘海轮从港口A出发,沿着正东方向航行50 n mile后到达海岛B,然后从海岛B出发,沿着北偏东30°方向航行70 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,那么这艘海轮需要航行的距离大约是( )(参考数据:109≈10.44)
A.62.4 n mileB.85.0 n mile
C.104.4 n mileD.116.0 n mile
5.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
6.(2025·广东东莞期末)如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,在C,D两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30°,45°,并测得∠BDC=120°,CD=30 m,则塔高AB为( )
A.153 mB.15 mC.302 mD.30 m
7.(2026·湖北武汉期末)如图,甲船在A处,乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处,乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶,当甲、乙两船相距最近时,行驶的时间为( )
A.7061小时B.7160小时
C.76小时D.43小时
8.(2025·江苏镇江期中)如图,无人机在离地面高100 m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°,山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为( )
A.1002 mB.150 m
C.1502 mD.1503 m
9.(2026·河北十六校联考)某勘测队在野外作业时,需要测量A,B两地(视作质点)之间的距离,勘测人员选定C地(视作质点),测得A,C两地之间的距离是2千米,同时测得∠BAC=45°,∠ACB=60°,则A,B两地之间的距离是 千米.
参考答案
课时规范练31 解三角形的实际应用
1.D 解析 由题意知∠MCA=45°,∠NCB=30°,所以MA=20 m,NB=30 m.
因为∠ACB=150°,在△ABC中,AB=202+(303)2-2×20×303×cs150°=70 m.在直角梯形MABN中,由勾股定理得MN=702+(30-20)2=502 m.故选D.
2.D 解析 如图,设钟楼的高度为PQ,因为△MKE∽△PQE,可得EQ=PQ·KEMK=a1·PQℎ.
由△NTF∽△PQF,可得FQ=PQ·TFNT=PQ·a2ℎ,故EQ-FQ=a1·PQℎ−PQ·a2ℎ=a,故PQ=aℎa1-a2=6×1.751-0.6= m.故选D.
3.A 解析 如图所示,由题意知DE=AB=BC=60,∠DAE=∠DBE=45°,则AE=BE=AB=60,
故∠EAB=60°,则EC=602+1202-2×60×120×cs60°=603,
故DC=602+(603)2=120,
则sin θ=sin∠DCE=DEDC=12.故选A.
4.C 解析 因为∠ABC=90°+30°=120°,且AB=50 n mile,BC=70 n mile.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cs 120°=2 500+4 900+3 500=10 900,
即AC=10109 n mile,所以AC≈104.4 n mile.故选C.
5.B 解析 灯塔A,B的相对位置如图所示,
由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°,即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.故选B.
6.D 解析 设AB=h,由∠ACB=30°,∠ADB=45°,得BC=3h,BD=h.又∠BDC=120°,CD=30,由余弦定理,得BC2=DC2+DB2-2DB·DBcs∠BDC,即3h2=900+h2-2×30hcs 120°,解得h=30(负值舍去).故选D.
7.A 解析 设行驶时间为t小时,甲、乙两船相距最近,设甲、乙两船距离为d,其中20÷10=2,显然t∈[0,2],则d2=(20-10t)2+(8t)2-2(20-10t)·8tcs 60°=244t2-560t+400.令y=244t2-560t+400,则该函数图象开口向上,对称轴为直线t=--5602×244=7061,故当t=7061小时时,d2取得最小值,即d取得最小值.故选A.
8.B 解析 根据题意,∠MAD=15°,∠CAD=45°,在Rt△ACE中,∠CAE=45°,AE=100,则AC=1002.又∠CAM=∠CAD+∠MAD=45°+15°=60°,∠MCN=60°,所以∠MCA=75°,∠CMA=45°.在△ACM中,ACsin∠CMA=CMsin∠CAM,即1002sin45°=CMsin60°,解得CM=1003.在Rt△MNC中,MN=CMsin∠MCN=1003×32=150.故选B.
9.32−6 解析 因为∠BAC=45°,∠ACB=60°,所以∠ABC=75°.在△ABC中,由正弦定理可得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,则AB=ACsin∠ACBsin∠ABC=2sin60°sin75°=(32−6)千米.