2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练30解三角形的实际应用 [含答案]

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基础达标练
1.如图,两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东80°D.南偏西80°
2.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为( )
A.6 kmB.2 km
C.3 kmD.2 km
3.(2024·贵州贵阳模拟)如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A点起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行,飞行到中途C点,再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多了(sin 12°≈0.21,sin 18°≈0.31)( )
A.10 kmB.20 km
C.30 kmD.40 km
4.《墨经·经说下》中有这样一段记载:“光之人,煦若射.下者之人也高,高者之人也下.足蔽下光,故成景于上;首蔽上光,故成景于下.在远近有端,与于光,故景库内也.”这对小孔成像有了第一次的描述.如图为一次小孔成像实验,已知物距∶像距=6∶1,OA=OB=12,cs∠A'OB'=2332,则像高为( )
A.1B.32
C.212D.412
5.(2024·河北高三学业考试)如图,一艘船向正北航行,航行速度为每小时30海里,在A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上.1小时后,船航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东75°的方向上,则船航行到B处时与灯塔S的距离为( )
A.152海里B.156海里
C.302海里D.106海里
6.(多选)如图,为了测量障碍物两侧A,B两物体之间的距离,一定能根据以下数据确定AB长度的是( )
A.a,b,γB.α,β,γ
C.a,β,γD.α,β,b
7.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时 海里.
能力提升练
8.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km A处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )
A.14 hB.15 h
C.16 hD.17 h
9.(2024·贵州贵阳诊断)镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法,在如图所示的模型中,已知人眼距离地面高度h=1.5 m,某建筑物高h1=4.5 m,将镜子(平面镜不计厚度)置于平地上,人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置,测量人与镜子间的距离a1=1.2 m,将镜子后移a m,重复前面的操作,测量人与镜子间的距离a2=3.2 m,则a=( )
A.6B.5C.4D.3
10.(多选)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°,距离为126 n mile,测得灯塔C在北偏西30°,距离为83 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,测得灯塔B在南偏东60°,则下列说法正确的是( )
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的西偏南60°
D.D在灯塔B的北偏西30°
11.2022年4月16日,搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场,标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D垂直下落于点C,某时刻地面上点A,B观测点观测到点D的仰角分别为45°,75°,若A,B间距离为10千米(其中向量CA与CB同向),该时刻返回舱距离地面的距离CD约为 千米.(结果保留整数,参考数据:3≈1.732)
12.(13分)为了测出图中草坪边缘A,B两点间的距离,找到草坪边缘的另外两个点C与D(A,B,C,D四点共面),测得AC=1.6 m,CD=2 m,BD=1.8 m,已知cs∠BDC=-74,tan∠ACD=37.
(1)求△ACD的面积;
(2)求A,B两点间的距离.
素养拔高练
13.(15分)(2024·河北沧州模拟)汾阳文峰塔建于明末清初,位于山西省汾阳市城区以东2千米的建昌村,该塔共十三层,雄伟挺拔,高度位于中国砖结构古塔之首.如图,某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C,D,E,现测得∠BCD=30°,∠BDC=70°,∠BED=120°, BE=17.2 m,DE=10.32 m,在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据:取tan 62°=1.88,sin 70°=0.94,144.961 6=12.04.
(1)求BD;
(2)求塔高AB.(结果精确到1 m)
答案：
1.D 由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2.A 如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,
∴ACsin60°=2sin45°,
∴AC=22×32=6(km).
3.B 在△ABC中,由A=12°,B=18°,得C=150°,由正弦定理得500sin150°=BCsin12°=ACsin18°,所以50012≈BC0.21≈AC0.31,所以AC≈310 km,BC≈210 km,所以AC+BC-AB≈20 km.
4.B 由cs∠A'OB'=2332,则cs∠AOB=2332.因为OA=OB=12,所以AB2=OA2+OB2-2OA·OB×2332=81,即AB=9,又因为物距∶像距=6∶1,即A'B'=16×AB=32,即像高为32.
5.A 由题意得,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=30,∠BSA=75°-30°=45°,由正弦定理有ABsin∠BSA=BSsin∠BAS,代入数据得30sin45°=BSsin30°,
解得BS=152(海里).
6.ACD 对于A,由余弦定理可知AB2=a2+b2-2abcs γ,可求得AB的长度,故A正确;对于B,只知三个内角的大小,此时AB的长度不确定,故B错误;对于C,由正弦定理可知asin(π-β-γ)=ABsinγ,则AB=asinγsin(π-β-γ),故C正确;对于D,由正弦定理可知bsinβ=ABsin(π-α-β),则AB=bsin(π-α-β)sinβ,故D正确.故选ACD.
7.10 如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在Rt△ABC中,得AB=5,于是这艘船的速度是50.5=10(海里/时).
8.B t h后热带风暴中心到达点B位置,在△OAB中,OA=600 km,AB=20t km,∠OAB=45°,由余弦定理得OB2=6002+400t2-2×20t×600×22,令OB2≤4502,即4t2-1202t+1 575≤0,解得302-152≤t≤302+152,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302+152−302-152=15(h).
9.A 如图,设建筑物最高点为A,建筑物底部为O,第一次观察时镜面位置为B,第一次观察时人眼睛位置为C,第二次观察时镜面位置为D,
设O到B之间的距离为a0 m,由光线反射性质得∠ABO=∠CBD,
所以tan∠ABO=tan∠CBD,即h1a0=ha1,①
同理可得h1a0+a=ha2,②
由①②可得a0+aa0=a2a1,解得a0=a1·aa2-a1,代入①整理得a=h1(a2-a1)h=4.5×(3.2-1.2)1.5=6.
10.AC 由题意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,所以B=180°-60°-75°=45°,AB=126,AC=83,在△ABD中,由正弦定理得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=126×2232=24(n mile),故A正确;在△ACD中,由余弦定理得CD=AC2+AD2-2AC·ADcs∠CAD,即CD=(83)2+242-2×83×24×32=83(n mile),故B错误;由B项解析知CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D处的西偏南60°,故C正确;由∠ADB=60°,得D在灯塔B的北偏西60°,故D错误.
11.14 在△ABD中,A=45°,∠ABD=180°-75°=105°,∠ADB=30°,由正弦定理得ABsin30°=ADsin105°,AD=20×sin 105°=20×sin(60°+45°)=20×(sin 60°cs 45°+cs 60°sin 45°)=5(6+2),所以CD=AD×22=5(6+2)×22=53+5≈14(千米).
12.解 (1)如图所示,因为tan∠ACD=37,可得sin∠ACD=378,
所以S△ACD=12AC·CD·sin∠ACD=375(m2).
(2)因为tan∠ACD=37,所以cs∠ACD=18,所以AD2=1.62+22-2×1.6×2×18=5.76,则AD=2.4,
因为cs∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=34,所以sin∠ADC=74,
又cs∠BDC=-74,所以∠ADB=π2,
所以AB=AD2+BD2=2.42+1.82=3(m).
13.解 (1)在△BDE中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cs∠BED,
则BD=17.22+10.322-2×17.2×10.32cs120°=579.846 4=2144.961 6=2×12.04=24.08 m.
(2)在△BCD中,由正弦定理得BDsin∠BCD=BCsin∠BDC,则BC=BD·sin∠BDCsin∠BCD=24.08×0.9412=45.27 m,在Rt△ABC中,∠ACB=62°,所以AB=BC·tan∠ACB=45.27×1.88=85.107 6≈85 m,
故塔高AB为85 m.