2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练30　解三角形的实际应用（含答案）

这是一份2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练30　解三角形的实际应用（含答案），共14页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏西5°B.北偏西10°
C.南偏东5°D.北偏西20°
2.(2025·陕西商洛检测)位于P处的雷达接收到在其正东方向相距203海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后,即刻通知位于P处雷达北偏东π3且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援,则甲船至少需要航行的海里数为( )
A.153B.105
C.103D.102
3.(2026·陕西商洛模拟)如图,在倾斜角为15°的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆BC,当太阳光线的仰角是45°时,旗杆在山坡上的影子的长度是10 m,则旗杆BC的高为( )
A.5 mB.6 m
C.52 mD.53 m
4.(多选题)(2025·广东广州模拟)货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为126海里,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为83海里.货轮自A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是( )
A.A处与D处之间的距离是24海里
B.灯塔C与D处之间的距离是83海里
C.灯塔C在D处的西偏南60°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
5.(2026·河南南阳高三期中)某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时,需要测量某河流同侧的A,B两点之间的距离,该班学生在这条河流另一侧的点C处测得点A在点C的北偏东30°方向上,点B在点C的北偏东60°方向上,从点C出发,沿正东方向走2千米,到达点D,在点D处测得点A在点D的北偏西15°方向上,点B在点D的北偏东15°方向上,则A,B两点之间的距离AB= 千米.
6.(13分)(2025·海南海口检测)如图1,椰子树是海南最具代表性的树木之一,树干笔直无分枝,叶片形似巨大的羽毛伞.如图2,D,C两处观测点与树干底部点B在同一水平面内,树干AB垂直于水平面,某同学在地面D处,测得树干顶端A处的仰角为30°,D,C两处相距20米,3sin∠DBC=sin∠DCB,3BC=BD.

图1 图2
(1)求观测点D到树干底部点B的距离BD的长度;
(2)求在树干顶端A处观测到C,D两点的夹角∠DAC的余弦值.
综 合 提升练
7.(2025·湖北荆州模拟)如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α,β,γ,计划沿直线AC开通隧道DE,设AD,EB,BC的长度分别为a,b,c.为了测出隧道DE的长度,还需直接测出( )的值.
A.a和bB.b和c
C.a和cD.a,b,c三者
8.(15分)(2025·福建漳州期中)人类从未停下对自然界探索的脚步,位于某大草原点C处正上空300 m的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以40 m/s的极限速度出击,与此同时机警的羚羊以30 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑800 m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因.
创 新 应用练
9.(多选题)(2025·重庆沙坪坝期中)重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑,是抗战胜利的精神象征,是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为解放碑的最顶端,B为解放碑的基座(B在A的正下方,即AB⊥BC,AB⊥BD),在纪念碑所在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D两点,测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠ADB,∠BDC,若已知m,∠ACB,∠BCD,则下列各测量数据中,能计算出解放碑高度AB的是( )
A.∠ADBB.∠BDC
C.∠ADCD.∠ACD
参考答案
1.B 解析 由题意可知∠ACB=180°-40°-60°=80°,
∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=50°,
从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西60°-50°=10°.故选B.
2.C 解析 如图,由题意可得∠MPB=π2−π3=π6.
在△PBM中,由余弦定理可得MB=PM2+PB2-2PM·PBcsπ6=302+(203)2-2×30×203×csπ6=103(海里),
故甲船至少需要航行的海里数为103.故选C.
3.C 解析 如图,
∠BAD=15°,∠CAD=45°,则∠CAB=30°,∠ACD=45°,AB=10 m,
在△ABC中,由正弦定理得BCsin∠CAB=ABsin∠ACB,即BCsin30°=10sin45°,解得BC=52(m).故选C.
4.ABC 解析 根据题意作出图形.
由货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向,距离为126海里,得∠BAD=75°,AB=126(海里),又在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为83海里,得∠CAD=30°,AC=83(海里),又货轮自A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,得∠ADB=60°,所以在△ABD中,∠B=180°-60°-75°=45°.
在△ABD中,由正弦定理得ADsinB=ABsin∠ADB,所以AD=126×2232=24(海里),故A正确;
在△ACD中,由余弦定理得CD=AC2+AD2-2AC·ADcs∠CAD,
即CD=(83)2+242-2×83×24×32=83(海里),故B正确;
因为CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D处的南偏西30°方向,即灯塔C在D处的西偏南60°,故C正确;
由∠ADB=60°,B在灯塔D的南偏东60°方向,D在灯塔B的北偏西60°方向,故D错误.
故选ABC.
5.2 解析 如图,由题意可得∠ACD=60°,∠CAD=45°,∠BCD=30°,∠CBD=45°,∠ADB=30°,CD=2千米.
在△ACD中,由正弦定理可得CDsin∠CAD=ADsin∠ACD,则AD=CDsin∠ACDsin∠CAD=6(千米).
在△BCD中,由正弦定理可得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD,则BD=CDsin∠BCDsin∠CBD=2(千米).
在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcs∠ADB=2,则AB=2千米.
6.解 (1)在△DBC中,由正弦定理可得DCsin∠DBC=BDsin∠DCB,
因为3sin∠DBC=sin∠DCB,所以BD=3DC.
又D,C两处相距20米,故BD=3DC=203,所以BD的长为203米.
(2)在Rt△ADB中,由在D处测得树干顶端A处的仰角为30°,
可得ABBD=tan 30°=33,则AB=203×33=20.
由(1)知BD=203,由3BC=BD,得BC=BD3=20,
由BD=DAcs 30°,得AD=BDcs30°=20332=40.
在Rt△ABC中,由AB=BC=20,得AC=AB2+BC2=202.
在△DAC中,由余弦定理的推论得cs∠DAC=AD2+AC2-DC22AD·AC=402+(202)2-2022×40×202=528.
故在A处观测到C,D两点的夹角∠DAC的余弦值为528.
7.D 解析 在△PBC中,∠BPC=β-γ,
由正弦定理有PBsinγ=BCsin∠BPC=csin(β-γ),
所以PB=csin(β-γ)·sin γ,
在△PAB中,sin∠APB=sin(π-α-β)=sin(α+β),
由正弦定理有PBsinα=ABsin∠APB=ABsin(α+β),
所以AB=PB·sin(α+β)sinα=csin(β-γ)·sin γ·sin(α+β)sinα=c·sinγ·sin(α+β)sin(β-γ)·sinα,
因为DE=AB-AD-BE=c·sinγ·sin(α+β)sin(β-γ)·sinα-a-b,
所以为了测出隧道DE的长度,还需直接测出a,b,c三者的值.
8.解 (1)由题意作图如下.
则∠APC=45°,∠CBP=60°,∠BAC=45°-15°=30°,AC=PCtan∠APC=300 m,BC=PCtan∠CBP=1003 m.
在△ABC中,由正弦定理ACsin∠ABC=BCsin∠BAC,可得sin∠ABC=32.
因此∠ABC=60°或∠ABC=120°.
当∠ABC=60°时,∠ACB=90°,猎豹与羚羊之间的距离为AB=AC2+BC2=2003(m);
当∠ABC=120°,∠ACB=30°=∠BAC,猎豹与羚羊之间的距离为AB=BC=1003 m.
(2)由题意作图如下.
设捕猎成功所需的最短时间为t,
在△ABQ中,BQ=30t,AQ=40t,AB=2003,∠ABQ=120°,
由余弦定理得1 600t2=900t2+(2003)2-2×30t×2003×-12,
整理得7t2-603t-1 200=0,
设f(t)=7t2-603t-1 200,显然f(0)