2026年小升初数学专题专题训练（通用版）第7章：立体图形 专题22：长方体和正方体（复习课件）

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长方体、正方体有关棱长的应用长方体、正方体的展开图长方体的表面积正方体的表面积长方体的体积正方体的体积长方体、正方体的容积
1.长方体的认识（1）面：长方体有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。相对的面完全相同。（2）棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，相对的棱长度相等。（3）顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。
2.长方体表面积（1）长方体6个面的总面积叫做它的表面积。（2）计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。3.长方体的体积（1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（2）长方体体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。
【典型例题】木工技艺传承人李叔叔现场制作了一个方凳，方法是先制作一个木框架（如图），然后在上面固定一块木块。请你帮他算一算，一个木框架要用多长的木条？（接口处忽略不计）
【分析】把木框架看作一个长方体，长方体的长是35厘米，宽是25厘米，高是50厘米，求需要木条的长度就是求长方体的棱长之和，根据“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”求出需要木条的长度。【详解】（35＋25＋50）×4＝110×4＝440（厘米）答：一个木框架要用440厘米的木条。
【变式训练1】王老师用一根48厘米长的铁丝做一个高6厘米的长方体模型，能做成（ ）种不同的长方体。（长、宽均为整厘米数）A．2B．3C．4
铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，长宽高的和－高＝长＋宽。48÷4＝12（厘米）12－6＝6（厘米）6＝5＋1＝4＋2＝3＋3①长5厘米，宽1厘米，②长4厘米，宽2厘米，③长和宽都是3厘米。能做成3种不同的长方体。
【变式训练2】杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？
【分析】用总长度减去打结部分的长度算出捆扎正方体（不含打结部分）的丝带长度。用捆扎的丝带长度除以丝带经过正方体棱长的数量，算出正方体的棱长。再根据正方体的棱长总和＝棱长×12解决。【详解】76－16＝60（厘米）60÷8＝7.5（厘米）7.5×12＝90（厘米） 答：正方体礼品盒棱长总和是90厘米。
【典型例题】“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（ ）。A．义B．礼C．智D．信
观察展开图，以“仁”为中心，先找它的相邻面，“仁”的右边是义（第一行相邻），仁的下方是礼（第二行相邻），因此义、礼都是相邻面，绝对不是相对面，直接排除A、B 选项。以“仁”为起点，沿展开图的结构画“Z”字：仁→义→礼→智，“仁”的Z字另一端，对应第二行的智，因此仁的相对面是智。
【变式训练】如图，一个底面是正方形的长方体，侧面展开后是一个正方形。这个长方体的侧面积是（ ）平方分米。
据图可知：长方体的高是3.2分米，因为长方体的侧面展开后是一个正方形，所以正方形的边长等于长方体的高3.2分米，再根据正方形的面积＝边长×边长列式计算即可。3.2×3.2＝10.24（平方分米）
【典型例题】在海南自由贸易港建设中，吉祥村创建“美丽乡村”，为了进行垃圾分类，要制作一些长6分米，宽5分米，高10分米的无盖垃圾桶。制作一个垃圾桶至少需要多少平方分米的铁皮？
【分析】垃圾桶是无盖的长方体，因此计算所需铁皮面积时，只需要计算5个面的面积，即1个底面加上4个侧面。无盖的长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入进行计算即可。
【详解】6×5＋（6×10＋5×10）×2＝30＋（60＋50）×2＝30＋110×2＝30＋220＝250（平方分米）答：制作一个垃圾桶至少需要250平方分米的铁皮。
【变式训练1】《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少（ ）平方厘米。
要使包装纸最少，就要让面积最大的两个面重叠在一起，包装成一个长是10厘米，宽是13厘米，高是3×2＝6厘米的长方体。要求包装纸的面积就是求这个长方体的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。（10×13＋10×6＋13×6）×2＝268×2＝536（平方厘米）
【变式训练2】两个完全一样的长方体拼成一个更大的长方体，原长方体的长6分米，宽4分米，高3分米，则拼成的长方体的表面积最大是（ ）平方分米。
要使拼成的长方体表面积最大，那么这两个长方体重合面的面积要最小。先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个长方体的表面积，然后乘2，就是两个长方体的表面积之和，再减去2个最小重合面的面积，即是拼成长方体的最大表面积。（6×4＋6×3＋4×3）×2＝54×2＝108（平方分米）
4×3＜6×3＜6×4表面积最大是：216－4×3×2＝216－24＝192（平方分米）
【典型例题】一根2米长的长方体木料，沿长把它锯成3段，表面积增加了12平方分米，这根木料原来的体积是（ ）立方分米。A．6 B．40 C．60 D．80
把长方体木料沿长锯成3段，需要锯2次，每锯一次增加2个横截面，共增加2×2＝4个横截面。用增加的表面积除以4求出横截面面积（即底面积），最后根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”计算即可。2×2＝4（个）12÷4＝3（平方分米）2米＝20分米3×20＝60（立方分米）
【变式训练1】一种香皂的包装盒如图所示，把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里，这个纸箱里最多能放（ ）盒香皂。A．336 B．352 C．368 D．384
要计算纸箱最多能放多少盒香皂，需要分别计算纸箱的长、宽、高方向各能容纳多少个香皂的长、宽、高，再将三个方向的数量相乘。80÷10＝8（盒）48÷6＝8（盒）30÷5＝6（盒）8×8×6＝384（盒）
【变式训练2】把一个底面直径是4dm，高10dm的圆柱体容器装满水，倒入一个长8dm，宽5dm，高4dm的长方体容器中，水面高（ ）dm。
圆柱体积＝πr2h（π取3.14），长方体高＝体积÷底面积，据此列式先求出圆柱的体积，即水的体积，再将水的体积除以长方体容器的底面积，求出长方体容器里的水面高度。3.14×（4÷2）2×10÷（8×5）＝3.14×4×10÷40＝3.14×（4×10÷40）＝3.14×1＝3.14（dm）
1.正方体的认识正方体是特殊的长方体，它的6个面都是正方形，6个面完全相同，12条棱的长度都相等。2.正方体的表面积（1）正方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。（2）计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。
3.长方体和正方体的体积（1）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。（2）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。
【易错点拨】（1）无盖正方体：表面积= 5a2。（2）正方体涂色问题：3面涂色：8个顶点；2面涂色：棱中间部分；1面涂色：面中间部分；0面涂色：内部。（3）切割小正方体：大正方体体积÷小正方体体积=个数
【典型例题】“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？
【分析】由题意可知，将大正方体竖切1刀分成2个相同的长方体，此时大正方体的表面积增加了2个切面的面积；如果大正方体再横切2刀，此时的表面积又增加了4个切面的面积，由此可知，切开后6个小长方体的表面积总和比原来大正方体的表面积增加了6个切面的面积，先根据S=6a2求出大正方体的表面积，再加上6个切面的面积。
【详解】（1＋2）×2＝3×2＝6（个）
6×6×6＋6×6×6＝216＋216＝432（平方厘米）答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。
【变式训练1】一个正方体的棱长总和是36厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。A．27 B．54 C．36 D．64
正方体的12条棱的长度都相等，所以用棱长总和除以12即可求出它的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2求出表面积即可。36÷12＝3（厘米）3×3×6＝9×6＝54（平方厘米）
【变式训练2】一个横截面是正方形的长方体，其表面积是250平方厘米，它刚好分成两个同样大小的正方体，这两个正方体的表面积都是（ ）平方厘米。
一个长方体刚好能分成两个同样大小的正方体，说明这个长方体是由两个完全相同的正方体拼接而成的。且有两个相对的面是正方形。一个正方体有6个面，两个独立的正方体一共有12个面。当它们拼接成一个长方体时，中间重合了两个面，这两个面在长方体内部，不属于表面积。因此，这个长方体的表面积相当于两个正方体表面积之和减去2个面的面积，也就是相当于10个正方体面的面积。
即可以先根据长方体的表面积求出正方体一个面的面积，再根据正方体表面积公式（一个面的面积×6）求出其中一个正方体的表面积。250÷10＝25（平方厘米）25×6＝150（平方厘米）
【典型例题】泥塑艺术是我国的民间艺术。聪聪在泥塑课上，把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长8厘米、宽2厘米的长方体。捏成的长方体的高是多少厘米？
【分析】解题的关键是抓住“捏成”这一条件，明确彩泥的形状改变但体积不变。首先根据正方体的棱长公式计算出正方体的体积，也就是长方体的体积；然后根据长方体的体积公式“体积＝长×宽×高”，已知体积、长和宽，利用除法求出高。
【详解】4×4×4=16×4=64（立方厘米）64÷(8×2)=64÷16=4（厘米）答：捏成的长方体的高是 厘米。
【变式训练1】一个长方体木块长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。如果用它锯成一个最大的正方体，那么体积要比原来减少百分之几？
【分析】若想把长方体木块锯成一个最大的正方体，那么只能以长方体木块的长、宽、高中最短的长度作为正方体的棱长。然后根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，分别计算出长方体和正方体的体积，求出体积差，最后用体积差除以长方体的体积求出减少的百分比。
【详解】长方体体积：5×4×3＝60（立方厘米）正方体体积：3×3×3＝27（立方厘米）体积差：60－27＝33（立方厘米）33÷60×100%＝0.55×100%＝55%答：体积要比原来减少55%。
【变式训练2】一个正方体的长增加3分米，表面积就比原来增加60平方分米，那么，原来正方体的棱长是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。
当正方体的长增加3分米时，增加的表面积是4个完全相同的长方形的面积和，每个长方形的宽为3分米，长为原正方体的棱长。增加的表面积÷4＝长方形的面积长方形的面积÷宽＝长（正方体的棱长）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
正方体的棱长：60÷4÷3＝15÷3＝5（分米）正方体的体积：5×5×5＝25×5＝125（立方分米）
【典型例题】一个长方体水箱，从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，装满水后倒入一个棱长为6分米的正方体水箱中，水深是（ ）分米。
根据长方体体积公式求出水的体积，再将长方体水箱里的水全部倒入一个正方体水箱，由于水的体积不变，求水深即水的高度，水的高度＝长方体体积÷棱长÷棱长，根据公式解答即可。长方体的体积＝长×宽×高
【变式训练1】木桶理论又称“短板理论”，是一个经典的管理学理论。盛水的木桶是由许多块木板箍成的，盛水量也是由组成木板最短的那块木板决定的。一个底面是正方形的长方体，木桶底面边长为1.7dm。它最长的一块木板的长度为2.1dm，最短的一块木板的长度为1.7dm，（木板厚度忽略不计），这个木桶最多能盛水（ ）立方分米。
根据“短板理论”，最多能盛水的高度就是最短边的长度。再根据长方体的体积公式计算，长方体的公式是：长方体的体积＝长×宽×高。1.7 1.7 1.7＝2.89 1.7＝4.913（立方分米）
【变式训练2】计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？
【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。
【详解】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。答：这个标注不合理。