2026年小升初数学专题专题训练（通用版）第6章：平面图形 专题21：组合图形、不规则图形、阴影部分的周长和面积（复习课件）

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组合图形、不规则图形、阴影部分的周长和面积
含多边形的组合图形的周长和面积含多边形的阴影部分的周长和面积含圆的组合图形的周长和面积含圆的阴影部分的周长和面积不规则图形的面积
1.常见可平移的组合图形类型：（1）含有“凹”“凸”形状的图形，可通过平移将其转化为长方形或正方形等规则图形。（2）由多个相同图形拼接或有部分重叠的组合图形，平移后可使图形的边或部分更加规整，便于计算。
2.解题思路（1）观察图形：仔细观察组合图形的形状，找出可以通过平移进行转化的部分，确定哪些边可以通过平移重合或构成规则图形的边。（2）平移转化：将不规则的边通过平移，使其成为规则图形的边，例如将 “凹” 字形的边平移后可得到一个长方形的周长，此时只需计算长方形的周长即可，注意平移后不要遗漏或重复计算某些边。
（3）计算边长：根据已知条件，求出规则图形的边长，再根据周长公式计算出周长。
1.定义：组合图形是由两个或两个以上的简单图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等）组合而成的图形。2.解题方法：先通过拆分或割补转化为基本图形，再计算各部分面积，最后通过求和或求差得到组合图形的面积。（1）拆分法：将组合图形拆分为几个规则的基本图形，分别计算面积后求和。
（2）割补法：通过切割、平移、拼接，将组合图形补成一个完整的基本图形，用补成图形的面积减去多余部分的面积。3.解题思路（1）分析图形：观察组合图形的结构，判断哪些部分可以通过平移进行拼接或分割，以转化为熟悉的图形来计算面积。
（2）平移拼接或分割：将图形的某些部分平移，使组合图形转化为一个或几个规则的图形，如将分散的小正方形平移拼接成一个大的长方形或正方形，或者将一个不规则图形通过平移分割成几个三角形、长方形等。（3）计算面积：根据规则图形的面积公式，分别计算出各个部分的面积，然后通过相加或相减的方法求出组合图形的面积。
4.解题关键：利用平移巧算组合图形的周长与面积，关键在于观察图形的特点，合理运用平移的性质，将复杂的组合图形转化为简单的规则图形进行计算。
【典型例题】如图，四边形ABCD是正方形，且边长为6cm，三角形CEF的面积比三角形ADE的面积大6cm2，线段CF的长是（ ）cm。
根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积:6×6＝36（cm2）；已知三角形CEF的面积比三角形ADE的面积大6cm2，三角形CEF的面积、三角形ADE的面积分别加上四边形ABCE的面积，那么三角形ABF的面积比正方形ABCD的面积大6cm2；三角形ABF的面积：36＋6＝42（cm2）。三角形ABF的高AB是6cm，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出BF的长，再减去BC即正方形的边长，求出CF的长：14－6＝8（cm）。
【变式训练1】已知一个五边形的三条边的长和四个角，如图所示，那么，这个五边形的面积是（ ）。
过C点作CD垂直于AE交于点D，则∠DCF＝45°，∠E＝45°，∠EGF＝45°，即△CDE和△GFE都是等腰三角形，则CD＝DE＝5，GF＝FE＝3；这个五边形的面积＝△CDE的面积＋长方形ABCD的面积－△GFE的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算。5×5÷2＋5×2－3×3÷2＝25÷2＋10－9÷2＝18
【变式训练2】中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如下图所示。这块“腰铁”截面的面积是（ ）cm2。
可把“腰铁”截面看作两个完全相同的梯形。梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是35÷2＝17.5cm（因为整个图形的长是35cm，两个梯形对称，所以单个梯形的高是35的一半）。
根据梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2即可得到一个梯形的面积，再乘2即可。（6＋10）×17.5÷2×2＝280÷2＝280（cm2）
【典型例题】如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20cm的圆盘。它在扫地时可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。则在长方形场地内扫地时，它覆盖不到的面积为（ ） 。
将4个角落拼起来如图 ，覆盖不到的面积是图中空白部分的面积，正方形的边长＝圆的直径，覆盖不到的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方。20×20－3.14×（20÷2）2＝400－3.14×102＝400－314＝86（ cm2）
【变式训练1】一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进一周（如图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是 ，它的圆心走过路线的长度是（ ）dm。
从图中可知，扫地机器人的圆心走过路线为两个半圆和长方形的两条长。两个半圆可以组成一个圆，这个圆的半径是（5＋1.5）dm，根据圆的周长公式C＝2πr，求出这个圆的周长，再加上2个18dm即可。2×3.14×（5＋1.5）＋18×2＝6.28×6.5＋36＝76.82（dm）
【变式训练2】一个半圆中有一个三角形（如图），这个三角形的面积是27cm2，这个半圆面积是（ ）cm2。
看图可知，这个三角形是个等腰直角三角形，两直角边可以看作底和高，恰好两直角边都是半圆的半径，因为三角形面积＝底×高÷2，因此这个三角形的面积×2＝半径的平方，根据半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。3.14×（27×2）÷2＝3.14×54÷2＝169.56÷2＝84.78（cm2）
1.阴影部分的周长的构成：由线段、圆弧、曲线等围成，需逐段分析边界，判断是否属于阴影部分的周长。2. 解题思路（1）标注边界：注意区分线段、圆弧、曲线。（2）分类计算：根据已知条件计算长度。（3）求和：将所有边界长度相加，注意单位统一。
【典型例题】用一根铁丝围成一个三角形，三角形各边的长度比是4∶5∶7，已知最长边比最短边长了
，则这根铁丝长（ ）
1、解题方法：（1）直接法：阴影部分为规则图形（如扇形、三角形），直接用公式计算。（2）间接法（割补法）：整体减空白：阴影面积＝总面积－空白部分面积。（3）拼接法：将阴影拆分为多个规则图形，或通过平移、旋转拼成规则图形。
（4）转化法：利用对称性、等积变换（如等底等高的三角形面积相等）简化计算。2、解题思路（1）判断方法：①若阴影为规则图形：直接套公式。②若阴影为不规则图形：优先用“整体减空白”或“分割法”。
（2）关键技巧：①对称性：利用图形对称特点，将分散的阴影拼成一个整体（如圆环、对称扇形）。②重叠区域：多个图形重叠时，阴影可能是重叠部分或非重叠部分，需仔细审题。③辅助线：添加辅助线（如对角线、中线）帮助分割图形。
【典型例题】求下面图形中阴影部分的面积。
【分析】阴影部分为一个上底是8cm，下底是4cm，高是4cm的梯形面积，根据梯形面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可。【详解】（8＋4）×4÷2＝12×4÷2＝24（cm2）阴影部分面积是24cm2。
【变式训练1】如图，D是AC的中点，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
【分析】因为D是AC的中点，所以BD是三角形ABC的中线，阴影部分的面积＝三角形ABC面积的一半，根据三角形的面积＝底×高÷2计算三角形ABC面积，再除以2即可。【详解】3×4÷2＝12÷2＝6（平方厘米）6÷2＝3（平方厘米）
【变式训练2】求下图中阴影部分的面积。
【分析】看图可知，阴影部分的面积＝平行四边形面积－三角形面积，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2。【详解】12×8－12×6÷2＝96－36＝60（m2）阴影部分的面积是60m2。
【典型例题】计算图中的阴影部分面积。（π取3.14）
【分析】由图可知，大三角形和小三角形均为等腰直角三角形，则下方的梯形上底和高都为4。将阴影部分部分的弓形，挪到下方，如详解图所示，则阴影部分的面积为梯形减去等腰直角三角形的面积，再套用梯形和三角形面积公式，即可求得阴影部分的面积。【详解】（4＋8）×4÷2－4×4÷2＝24－8＝16
【变式训练1】计算如图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）
【分析】如图：阴影部分的周长等于半径为4厘米的圆的周长；阴影部分可以转化成一个长为（4＋4）厘米，宽为4厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。【详解】周长：2×3.14×4＝6.28×4＝25.12（厘米）
面积：（4＋4）×4＝8×4＝32（平方厘米）
1.估算方法：方格法将不规则图形放在方格纸上，数出图形所占的方格数。不满一格的，根据具体情况进行估算，一般可以把不满一格的当作半格计算，最后统计出总面积。2.精确计算方法：转化法通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化为规则图形，再进行计算。
【典型例题】图中，每个小正方形的面积是1cm2，阴影部分的面积是（ ）cm2。
【分析】每个小正方形的面积是1cm2 ，可知每个小正方形的边长是1cm，根据三角形的面积公式求出周围3个三角形的面积，再用正方形的面积减去3个三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2、正方形的面积＝边长×边长解答。【详解】4×4－1×4÷2－1×4÷2－3×3÷2=16－2－2－4.5=7.5（cm2）阴影部分的面积是7.5 。
【变式训练1】书法是中国特有的一种传统艺术，练习书法不仅可以训练手、眼、脑的协调能力，还可以培养耐心和专注力。周末，笑笑在练习毛笔字时，不小心将墨水洒在了方格纸上（如图），形成的墨水渍的面积约是多少？（每个小方格的边长表示1厘米）
【分析】可以把不规则图形看成一个近似的长方形，长方形的长近似7厘米，宽近似为4厘米，再用长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解。【详解】7×4＝28（平方厘米）答：形成的墨水渍的面积约是28平方厘米。
【变式训练2】图形A的面积约是（ ）cm2 ；图形B的面积是（ ） cm2；图形C的面积是（ ） cm2。
图形A的面积近似为一个边长为3cm的正方形的面积，根据“正方形面积＝边长×边长”求出。3×3＝9（cm2）；
图形B分成上下两部分，上面是一个底为2cm、高为2cm的三角形，下面是一个底为3cm、高为1cm的平行四边形。三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，据此先分别求出三角形和平行四边形的面积，再相加即可；2×2÷2＋3×1＝2＋3＝5（cm2）
图形C是一个底为6cm、高为3cm的三角形，根据三角形面积公式求出它的面积。6×3÷2＝9（cm2）