2026年小升初数学专题专题训练（通用版）第7章：立体图形 专题24 ：组合体、不规则物体的表面积和体积（复习课件）

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组合体、不规则物体的表面积和体积
组合体的表面积组合体的体积“排水法”求不规则物体的体积“转化法”求不规则物体的体积
1.组合体的表面积（1）概念：组合体的表面积是指组合体各个面的面积之和。在计算时，需要注意有些面可能会重合，重合的面在计算总面积时只能计算一次。（2）计算方法：通常采用“分面计算，然后求和”的方法。先将组合体分解成几个基本的立体图形，分别计算出每个基本立体图形的表面积，然后减去重合部分的面积。
（3）拼接：两个立体拼在一起，重合面会消失，每重合1处，减少2个重合面面积。（4）挖去：在立体上挖去小正方体。①角上挖：表面积不变。②棱上挖：表面积增加2个面。③面上挖：表面积增加4个面。
2.组合体的体积（1）概念：组合体的体积是指组合体所占空间的大小。（2）计算方法： ①“分割法”：将组合体分割成几个规则的、易求体积的基本立体图形，分别计算它们的体积，然后将这些体积相加。
②“添补法”：对于一些不规则的组合体，可以通过添加一部分使其成为一个规则的立体图形，然后用这个规则立体图形的体积减去添加部分的体积，得到组合体的体积。
【典型例题】如图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的6个面的正中心各挖去一个边长1厘米的正方形的孔和对面打通，做成一个零件，它的表面积是（ ）。
这个零件的表面积＝棱长3厘米的正方体的表面积＋正方体内部6个长、宽、高分别为1厘米、1厘米、（3－1）÷2厘米的长方体的侧面积的和，再减去6个正方体面上的边长为1厘米的6个面的面积。（3－1）×2＝2÷2＝1（厘米）
3×3×6＋1×1×4×6－1×1×6＝54＋24－6＝72（平方厘米）
【变式训练1】小浩周末在家制作了一个小摆件，你能计算一下它的表面积吗？（单位：cm）
【分析】观察图形可知，圆柱体与长方体有重合面，把圆柱体的上底面向下平移补给长方体的上面，这样求表面积时，圆柱只求侧面积，长方体求表面积，然后相加；根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【详解】圆柱的侧面积：3.14×4×7＝87.92（cm2）长方体的表面积：（10×5＋10×2＋5×2）×2＝80×2＝160（cm2）一共：87.92＋160＝247.92（cm2）
【变式训练2】王叔叔要制作一个模型，他拿来一个棱长是4dm的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为2dm的圆孔，一直穿透到对面（如图）。为了防止生锈，王叔叔要把这个模型与空气接触的表面都喷上油漆。需喷油漆的面积是多少平方分米？
【分析】需喷油漆的面积＝正方体的表面积－圆柱两个底面的面积＋圆柱的侧面积。【详解】4×4×6－2×3.14×(2÷2) 2+3.14×2×4＝96－6.28+25.12＝114.84（dm2）答：需喷油漆的面积是114.84 dm2。
【典型例题】求下面图形的体积。（单位：dm）
【分析】这个图形的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3。【详解】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3＝216－3.14×32×6÷3＝216－3.14×9×6÷3＝216－56.52＝159.48(dm3 )
【变式训练1】求下图立体图形的体积。
【分析】该立体图形为斜切的不规则圆柱，可通过拼接法，将两个完全相同的该图形拼成一个底面直径20厘米、高为35＋45＝80厘米的完整圆柱。先根据圆柱体积公式算出完整圆柱的体积，再÷2即可得到该立体图形的体积，圆柱体积公式为V＝πr2h。
【详解】圆柱底面半径：20÷2＝10（厘米）拼接后完整圆柱的高：35＋45＝80（厘米）完整圆柱的体积：3.14×102×80＝314×80＝25120（立方厘米）该立体图形的体积：25120÷2＝12560（立方厘米）
【变式训练2】求下面组合图形的体积。（单位：cm）
1.不规则物体的表面积计算方法：一般采用 “近似转化” 的方法。可以将不规则物体的表面近似看作由若干个规则的平面图形组成，然后分别计算这些平面图形的面积，再求和。
2.不规则物体的体积计算方法：（1）“排水法”：将不规则物体放入一个装满水的容器中，溢出的水的体积就是该不规则物体的体积。具体操作时，先测量出容器的容积以及放入物体后剩余水的体积，用容器的容积减去剩余水的体积，就得到了不规则物体的体积。
（2）割补法：对于一些形状比较特殊的不规则物体，也可以通过将其分割或拼接成规则物体来计算体积。（3）“转化法”①根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度②根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度③瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积
【典型例题】一个底面积为300平方厘米圆柱形的容器，容器中装有一些水，水面离容器口2厘米。一个高为10厘米的圆锥形的铁块浸没在水中后，容器中的水刚好到达容器口，没有溢出。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π值取3）
【详解】因为圆锥形铁块浸没在水中，所以水面上升的体积等于圆锥形铁块的体积。300×2×3÷10＝600×3÷10＝1800÷10＝180（平方厘米 ）答：这个圆锥形铁块的底面积是180平方厘米。
【变式训练1】科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？
【分析】容器注满水，溢出水的体积等于铁棒浸没在水中的体积。正方体容器棱长25厘米，即水深25厘米。铁棒长50厘米，大于水深，所以浸没部分的高度为25厘米。根据长方体体积公式：体积＝底面积×高求出浸没体积，再将立方厘米换算为毫升。
【详解】12×25＝300（立方厘米）300立方厘米＝300毫升答：会溢出300毫升水。
【变式训练2】如图，在一个装满水的容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了600mL的水，则每个圆锥形零件的体积是（ ）cm3。
等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件就相当于（3＋2）个圆锥形零件。溢出了600mL的水可以看作，5个圆锥形零件的体积是600 cm3，进而根据除法计算得到每个圆锥形零件的体积是多少。
600mL＝600 cm3600 （3＋2）＝600 5＝120（cm3）
【典型例题】一个容积是 的瓶子里装满消毒液，李老师从瓶子里倒出一些配制消毒水，把瓶盖拧紧，正着放时如图①所示，倒着放时如图②所示，此时空白部分是圆柱形，李老师倒出（ ） 的消毒液。
正着放时瓶子，上面空白部分的容积等于倒着放时上面空白部分的容积，750mL＝750cm3，所以整个瓶子的容积等于高为11＋（17－13）＝15（cm）的圆柱形瓶子的容积，根据圆柱的容积公式：V＝Sh，据此求出圆柱的底面积，再用底面积乘（17－13）即可求出倒出多少消毒液。750÷15×（17－13）＝50×4＝200（cm3）＝200mL
【变式训练1】一个饮料瓶内饮料的高度是6厘米，将这瓶饮料的瓶盖拧紧倒置（如图），空余部分的高度是10厘米。已知这个饮料瓶的容积是672毫升，则瓶内的饮料有多少升？
【分析】饮料瓶的容积等于正放时饮料的体积加上倒置时空余部分的体积，且这两部分的底面积相同，因此可将饮料瓶的总容积看作底面积相同、高6＋10＝16（厘米）的圆柱的体积；已知饮料瓶的容积是672毫升，根据“1毫升＝1立方厘米，圆柱的体积＝底面积×高”，先进行单位转化，求出饮料瓶的底面积，进而用底面积乘饮料的高求出饮料的体积，最后根据1000毫升＝1升进行单位转化即可。
【详解】672毫升＝672立方厘米672÷（6＋10）＝672÷16＝42（平方厘米）42×6＝252（立方厘米）252立方厘米＝0.252升答：瓶内的饮料有0.252升。
【变式训练2】一个内半径是4cm的瓶子里装满了水，丽丽喝了一部分，剩下的水的高度是4cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，如图，无水部分高10cm，那么丽丽喝了（ ）mL的水。A．50.24 B．200.96 C．251.2 D．502.4
丽丽喝掉的饮料的体积等于一个底面半径是4cm高是10cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝πr2h代入数据求出水的体积，再根据1cm3＝1mL把单位换算成mL即可。3.14×42×10＝3.14×16×10＝502.4（cm3）＝502.4mL