2026年小升初数学专题专题训练（通用版）第6章：平面图形 专题20：圆（复习课件）

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圆的概念及特点圆的周长半圆的周长圆的周长的应用圆的面积圆的面积的应用求最大面积圆环的面积方中圆和圆中方的面积问题弧、圆心角、扇形的认识
1.定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。2.圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。3.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母d表示。
【典型例题】如图，一只蚂蚁从“O”点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到“O”点。下面可以反映蚂蚁与“O”点距离变化的是（ ）。
A．第一段路程随着时间的增加而增加，第二段路程不变，第三段路程随着时间的增加而减小。符合蚂蚁与O点距离变化的描述；B．图中只有两段路程，反映的是蚂蚁从O点出发后，就直接原路返回，所以不符合蚂蚁与O点距离变化的描述。C．图中一开始蚂蚁就处在离O比较远的距离，显然不符合题意；
【变式训练】用圆规在一个长8cm，宽5cm的长方形纸上画一个尽可能大的圆，圆规两脚间的距离应是（ ）。A．8cmB．4cmC．5cmD．2.5cm
长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；圆规两脚之间的距离等于圆的半径。5÷2＝2.5（cm）圆规两脚间的距离应是2.5cm。
【典型例题】如图，圆上A点从3厘米处滚动一周后，到达直尺的（ ）。A．6~7厘米之间 B．8~9厘米之间C．9~10厘米之间
观察图形可得，圆的直径是4－2＝2厘米，圆在直尺上滚动一周，经过的长度是圆的周长，圆的周长C=πd，把数据代入计算，求得圆的周长，再加上起点位置，就是终点的位置。
3.14×（4－2）＋3＝3.14×2＋3＝6.28＋3＝9.28（厘米）
【变式训练】一个圆柱形“武夷岩茶大红袍”茶叶罐的侧面展开后是一个正方形，要给这个茶叶罐的上底面也做个标签，画圆的时候圆规两脚间的距离应该是下面的（ ）点。
画圆时，圆规两脚间的距离是圆的半径；根据圆的周长C＝2πr，用周长除以2除以π算出半径。右图中每份线段是1厘米，找出合适的点即可。18.84÷2÷3.14＝3（厘米）从0到B点正是3厘米。
【典型例题】一个靠墙的半圆形的养鸭场（如右图），靠墙的直径长8米，如果其他部分围成篱笆，篱笆有多长？
【分析】根据题意，围篱笆的部分是半圆的弧长。已知直径的长度，根据半圆的弧长C=πd÷2解答。【详解】3.14×8÷2＝25.12÷2＝12.56（米）答：篱笆的长度为12.56米。
【变式训练】把一个直径是2厘米的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的周长是（ ）厘米。
半圆的周长＝圆周率×直径÷2＋直径。3.14×2÷2＋2＝3.14＋2＝5.14（厘米）
【典型例题】淘气和笑笑练习竞走，淘气沿长为10米，宽为5米的长方形花坛走，笑笑沿直径为9米的圆形花坛走。他们的速度相同，谁先走完一周？
【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，圆的周长＝πd，分别计算出淘气和笑笑走一周的路程。在速度相同的情况下，路程越短，所用时间越少。通过比较两者的路程大小，即可判断谁先走完一周。
【详解】（10+5）×2＝15×2＝30（米）3.14×9＝28.26（米）28.26＜30答：笑笑先走完一周。
【变式训练】广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要的铁条至少是多少厘米？
【分析】本题需运用圆的周长公式C＝2πr，计算出砧板的周长，再加上预留做提手的铁条长度，得到所需铁条的总长度。【详解】2×3.14×12+20＝75.36+20＝95.36（厘米）答：需要的铁条至少是95.36厘米。
1.定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。2.圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3.圆的面积公式：S＝πr 2 。
【典型例题】用一根铁丝围成一个三角形，三角形各边的长度比是4∶5∶7，已知最长边比最短边长了
，则这根铁丝长（ ）
【典型例题】从一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。
从一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个最大圆的直径就是8厘米，根据圆的面积公式：S＝πr 2解答即可。3.14×（8÷2） 2＝3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）
【变式训练】甲、乙两个圆的半径比是3∶1，则它们的面积比是（ ）。A．3∶1 B．9∶1 C．π∶1 D．9π
圆的面积公式S＝πr 2 ，给甲、乙两个圆的半径分别设一个比是3∶1的值，然后计算各自的面积，并作比。根据甲、乙两个圆的半径比是3∶1，假设甲的半径是3，乙的半径是1，则甲的面积＝π×32＝9π，乙的面积＝π×12＝π，所以甲、乙面积比为9π∶π＝9∶1。
【典型例题】一个自动旋转喷灌装置的射程是8米，人民公园的草地上有20个这样的喷灌装置（喷灌面积不重叠），请计算：至少可以喷灌草地多少平方米？
【分析】自动旋转喷灌装置的覆盖面积是一个以喷灌装置为圆心，射程为半径的圆，这个圆的面积就是一个喷灌装置可以喷灌的草地面积。因为喷灌面积不重叠，用一个喷灌装置的喷灌面积乘喷灌装置的数量就是总的喷灌面积。（π取3.14）
【详解】S圆＝πr 2＝3.14×8 2＝3.14×64＝200.96（平方米）200.96×20＝4019.2（平方米）答：至少可以喷灌草地4019.2平方米。
【变式训练】爷爷要给水缸做一个盖子，为了确保密封性且防止盖子掉入水缸内，盖子的直径比水缸的直径大5厘米，爷爷用绳子量了量缸口周长是23.55分米，做一个这样的盖子至少需要多少平方分米的木板？
【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π求出水缸的直径，再根据1分米＝10厘米进行单位换算，用水缸的直径加盖子的直径比水缸的直径大的长度，求出盖子的直径，再用盖子的直径除以2，求出盖子的半径，最后根据圆的面积公式S＝πr 2，代入数求出做一个这样的盖子需要的木板面积。
【详解】23.55÷3.14＝7.5（分米）5厘米＝0.5分米7.5＋0.5＝8（分米）8÷2＝4（分米）3.14×42＝50.24（平方分米）答：做一个这样的盖子至少需要50.24平方分米的木板。
【典型例题】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？
【变式训练】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是（ ）平方厘米。
长方形的宽：32÷8＝4（厘米）半圆的直径：4×2＝8（厘米）则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。半圆的面积：3.14×42÷2＝3.14×16÷2＝25.12（平方厘米）
【典型例题】“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？
【详解】r＝20÷2＝10（厘米）3.14×102=3.14×100=314（平方厘米）
20×10÷2×2＝100×2＝200（平方厘米）314－200＝114（平方厘米）答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。
【变式训练】如图，爸爸买回一张桌面可折叠的大圆桌，直径是 2米，折叠后成了正方形。折叠部分的面积是（ ）平方米。
大圆桌的正方形部分四个顶点都在圆上，则正方形对角线就是圆的直径长2米；从这条对角线上作高即为对角线的一半为1米，此时根据构成三角形面积＝底×高÷2，正方形由两个三角形组成，即三角形的面积乘2得到正方形面积；圆面积减去正方形面积，即为折叠部分的面积。
3.14×（2÷2）2−2×1÷2×2＝3.14×1−2＝3.14−2＝1.14（平方米）折叠部分的面积是1.14平方米。
【典型例题】一个圆形花坛，外面铺了一条小路，花坛半径为4米，小路宽2米。这圈小路的占地面积是多少平方米？
【分析】小路的占地面积即为环形面积，等于外圆面积减去内圆面积。已知花坛半径为内圆半径，小路宽度已知，二者相加可得外圆半径。根据环形面积公式S=π（R2－r2），代入数据计算即可。【详解】外圆半径：4＋2＝6（米）3.14×（6²－4²）＝3.14×20＝62.8（平方米）答：这圈小路的占地面积是62.8平方米。
【变式训练】在殷墟的考古挖掘中，曾出土了多种玉璧，精美别致，尺寸各异。其中有一件玉璧（如图），这块玉璧的面积是（ ）cm2。
看图可知，这块玉璧的形状是圆环。圆环的面积＝π（R²－r²）。3.14×（5²－2²）＝3.14×（25－4）＝3.14×21＝65.94（cm2）
1.弧的定义：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。2.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。3.圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
【典型例题】琴琴妈妈在淘宝上买了一个三层角柜（如图），正好可以摆放在客厅的90°墙角处，这个角柜可以放置物品的面积是多少平方厘米？
【分析】每个扇形的圆心角都是90°，那么每个这样的扇形的面积相当于半径是20厘米的圆面积的四分之一，根据圆的面积公式：S=πr²，求出圆的面积再除以4即可计算出一层的面积，再乘3即可。
【详解】3.14×20²÷4×3＝3.14×400÷4×3＝1256÷4×3＝314×3＝942（平方厘米）答：这个角柜可以放置物品的面积是942平方厘米。
【变式训练】如图是汉代“千秋万岁”瓦当（一种古建筑构件）的简化示意图，该瓦当直径6cm，其中阴影部分为瓦当的扇形纹饰，其半径是（ ）cm，圆心角是（ ） 。（注：汉代瓦当常用四等分界格）
先根据瓦当的直径，用直径除以2求出扇形的半径；再结合题目里“四等分界格”的说明，把整个圆的360°平均分成4份，用除法求出阴影扇形对应的圆心角。半径：6÷2＝3（cm）圆心角：360°÷4＝90°