2026年小升初数学专题专题训练（通用版）第4章：比和比例 专题14：比例、比例尺（复习课件）

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比例的意义和基本性质解比例正比例及其应用反比例及其应用物高与影长问题比例尺应用比例尺画图比例尺的实际应用图形的放大与缩小
1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。2.比例的各部分名称（1）组成比例的四个数，叫做比例的项。（2）两端的两项叫做比例的外项。（3）中间的两项叫做比例的内项。
3.比和比例的联系与区别
1.比例的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。2.用字母表示：如果a∶b＝c∶d（b、d均不为0），那么ad＝bc。
3.判断两个比能否组成比例的方法（1）求出比值，看它们的比值是否相等；（2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。
【典型例题】在比例4∶16＝6∶24中，如果将前一个比的前项加上8，那么后一个比的后项应（ ），比例才成立。A．减去16 B．乘3C．加上8 D．减去8
前一个比的前项加上8后变为4＋8＝12。解：设后一个比的后项变为x。12∶16＝6∶x12x＝16×612x＝96x＝824－8＝16
1.解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。2.解比例的依据：比例的基本性质。3.解比例的方法：可以根据比例的基本性质将原式转化成学过的方程，再解方程；也可以先将原式进行整理计算，再转化成学过的方程来解。
【典型例题】甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙＝2∶7，则甲∶乙∶丙＝（ ）∶（ ）∶（ ）。
设乙为2，丙为7；乙＋丙＝2＋7＝9甲∶（乙＋丙）＝4∶3甲∶9＝4∶3解：3×甲＝9×43×甲＝36甲＝12则甲∶乙∶丙＝12∶2∶7。
解：18x＝3.6×418x＝14.4x＝14.4÷18x＝0.8
（3）关键特征比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。（4）正比例的图象如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。
【典型例题1】如图表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。（1）香蕉的总价和购买的数量成（ ）（填“正”或“反”）比例关系。（2）从图像上看，单价更贵一些的水果是（ ）。（3）买3千克苹果要用（ ）元，20元可以买（ ）千克香蕉。
（1）8∶1＝16∶2＝24∶3＝8（一定），所以香蕉的总价和购买的数量成正比例。（2）8÷1＝8（元）4÷1＝4（元）8元＞4元，从图像上看，单价更贵一些的水果是香蕉。
（3）4×3＝12（元）20÷8＝2.5（千克）买3千克苹果要用12元，20元可以买2.5千克香蕉。
【典型例题2】制作一种饮品，每200克的水中需要加入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答）
【变式训练】某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（ ）。 A．③① B．③② C．①② D．④②
租单程时路程与收费：3千米以内无论远近，都收费8元，图象应是平行于横轴的一条线段；超过3km的部分每千米2.5元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线；所以图象③是正确的。租往返时路程与收费：租往返每千米2元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线，所以图象①是正确的。
1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。2.字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。3.关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。
4.反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。
【典型例题1】图中刻度数与棋子数成反比例，在左侧刻度2放（ ）个棋子才能保证杠杆平衡。A．15 B．12 C．20 D．16
已知刻度数与棋子数成反比例，即左侧刻度数与棋子数的乘积等于右侧刻度数与棋子数的乘积。解：设左侧刻度2放x个棋子。2x＝5×62x＝302x÷2＝30÷2x＝15
【典型例题2】如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。（1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是（ ）关系。（2）大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？
【分析】（1）齿轮转动中，两齿轮在相同时间内的总齿数相等。即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，那么每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。（2）根据每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系，可得出等量关系：小齿轮的齿数×小齿轮每分钟转的圈数＝大齿轮的齿数×大齿轮每分钟转的圈数，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】（2）解：设小齿轮每分钟转x圈。15x＝60×8015x＝4800 x＝4800÷15 x＝320答：小齿轮每分钟转320圈。
【变式训练】一间房子用方砖铺地，用边长为0.3米的方砖铺，需要960块。如果改用面积为0.4平方米的方砖铺，需用方砖多少块？
【分析】房子地面的总面积是一定的，每块方砖的面积与所需方砖的块数成反比例关系。先根据已知条件求出房子地面的总面积，再根据反比例关系（乘积一定）列出方程求解。
【详解】0.3×0.3×960＝0.09×960＝86.4（平方米）解：设需要x块0.4平方米的方砖。0.4x＝86.4 x＝86.4÷0.4 x＝216答：需要216块0.4平方米的方砖。
【典型例题】树高测量：小明身高1.2米，在阳光下的影子长1.5米。同一时间、同一地点，一棵大树的影子长4.5米，这棵大树高多少米？
【分析】同一时间同一地点的物体高度与其影长成正比，即小明身高∶影子长＝大树的身高∶影子长度。【详解】解：设这棵大树高x米。1.2∶1.5＝x∶4.5 1.5x＝1.2×4.5 1.5x＝5.4 x＝3.6答：这棵大树高3.6米。
【变式训练】如果想测量一座寺庙的高度，将一根长1米的木棒竖直立在地上，量得它的影长为0.6米，同时量得寺庙的影长为18.6米，那么寺庙的实际高度是多少米？
【分析】根据同一地点、同一时刻，同一个物体的实际长度与它的影长的比值一定，那么物体的实际长度与影长成正比例关系。【详解】解：设寺庙的实际高度为x米。1∶0.6＝x∶＝1×＝18.6x＝18.6÷0.6x＝31答：寺庙的实际高度是31米。
（2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。3.应用比例尺画图（1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺；（2）根据比例尺求出图上距离；（3）根据图上距离画出相应的平面图；（4）标明平面图的名称和比例尺。
【易错点拨】（1）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的关系，因此不能带计量单位。（2）计算时单位必须统一。（3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。
【典型例题】在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是11.25厘米。如果甲、乙两地的实际距离是900千米，那么这幅地图的比例尺是（ ）。
【分析】图上距离÷实际距离＝比例尺，注意先统一单位。【详解】900千米＝90000000厘米11.25厘米∶90000000厘米＝11.25∶90000000＝1125∶9000000000＝（1125÷1125）∶（9000000000÷1125）＝1∶8000000
【变式训练】这是一个线段比例尺，图上1厘米表示实际（ ）千米，转化成数值比例尺是（ ）。
图中1厘米表示实际距离的200千米。比例尺＝图上距离∶实际距离，注意单位统一。200千米＝20000000厘米比例尺＝1厘米∶20000000厘米＝1∶20000000
【典型例题】博物馆在百花园正西360m处，万达广场在百花园东偏南30°方向600米处，请你在下图中标出博物馆和万达广场的位置。
【变式训练】小梅和小方在庐山含鄱口用无人机拍摄风景。请根据下面信息分别标出他们无人机的位置。
【典型例题1】在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车早上7：20从甲地出发送货到乙地，平均每小时行55千米，如果货车途中没有休息，什么时候到达乙地？
【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙两城之间的实际距离，注意求出的单位是厘米，需要换算成千米。再根据“时间＝路程÷速度”，求出货车行驶的时间。最后用出发时间加上行驶时间，求出货车到达乙地的时间。
【典型例题2】港珠澳大桥是我国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，在比例尺是1∶500000的地图上量得港珠澳大桥全长11厘米。若画在比例尺是1∶1100000的地图上，则港珠澳大桥应画多少厘米？
【分析】根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际的长度，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，把数代入即可求出画在比例尺是1∶1100000的地图上应该画多少厘米。
【变式训练】在比例尺为 的地图上，测得甲、乙两地路线长6厘米，小夏和妹妹从两地同时出发，相向而行。已知小夏平均每分钟走86米，妹妹平均每分钟走64米，两人大约多少分钟后相遇？
【分析】 表示图上1厘米代表实际距离500米，那么图上6厘米代表的实际距离为500×6＝3000米。根据相遇时间＝总路程÷速度和，已知小夏平均每分钟走86米，妹妹平均每分钟走64米，则两人的速度和为86＋64＝150米/分钟。总路程为3000米，用3000除以150即可得出相遇时间。
【详解】图上距离1厘米表示500米。500×6＝3000（米）86＋64＝150（米/分钟）3000÷150＝20（分钟）答：两人大约20分钟后相遇。
1.图形的放大与缩小（1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。（2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。
2.用正、反比例知识解决问题的解题步骤（1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。（2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。（3）解比例。（4）检验并写出答语。
【变式训练】把一个长5cm、宽3cm的长方形按3∶1放大，得到的图形面积是（ ）cm2。
长方形按3∶1放大，则长、宽分别扩大到原来的3倍，求出放大后的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出放大后长方形的面积即可。（5×3）×（3×3）＝15×9＝135（cm2）得到的图形面积是135cm2。