2024年小升初数学典型例题系列-专题11：比和比例·正反比例与比例尺篇专项训练--(原卷版+解析版)

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一、填空题。
1．（比例尺的关系）光明小学操场长240米，宽150米，在平面图上，用24厘米的线段表示操场的长，该平面图的比例尺是( )，平面图上的宽应该画( )厘米。
【答案】 15
【分析】比例尺图上距离∶实际距离，已知图上距离是24厘米，实际距离是240米，据此可求出该图的比例尺；再根据图上距离实际距离比例尺，可求出多少厘米即可。
【详解】240米厘米
24厘米∶24000厘米
150米厘米
（厘米）
该图的比例尺是；宽应该画15厘米。
2．（比例关系的判断），a和b成( )比例，( )∶( )。
【答案】 正 9 a
【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例；再根据比例的基本性质，内项积等于外项积，据此把乘积式化为比例式即可。
【详解】因为，所以a÷b＝，则a和b成正比例；
因为，所以9∶a。
【点睛】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。
3．（比例关系的判断）已知6x＝4y，x和y成( )比例，x∶y＝( )∶( )。
【答案】 正 2 3
【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断出x和y的关系即可。
【详解】因为6x＝4y
所以x∶y
＝4∶6
＝（4÷2）∶（6÷2）
＝2∶3
＝
x和y的比值一定，因此x、y成正比例，x∶y＝2∶3。
【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识。
4．（比例关系的判断）如图是用荞麦做作原料缝制的圆柱形状的枕头。

(1)当圆柱枕的长度不变时，所需要的荞麦总量和底面积成( )比例关系。
(2)如果缝制一个圆柱枕所用的荞麦总量保持不变，圆柱枕的长度和底面积成( )比例关系。
【答案】(1)正
(2)反
【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。
【详解】（1）所需要的荞麦总量÷圆柱枕的底面积＝圆柱枕的长（一定），商一定，那么所需要的荞麦总量和底面积成正比例关系。
（2）圆柱枕的长×底面积＝需要的荞麦总量（一定），积一定，那么圆柱枕的长度和底面积成反比例关系。
【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。
5．（比例尺的关系）一幅地图的比例尺是1∶3000000，那么图上1厘米表示实际距离是( )千米。A、B两地实际距离是96千米，在这幅地图上量的距离是( )。
【答案】 30 3.2厘米
【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知，比例尺1∶3000000表示图上1厘米相当于实际距离3000000厘米，然后根据进率“1千米＝100000厘米”换算成“千米”即可。
已知A、B两地实际距离是96千米，先把96千米换算成9600000厘米；然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，即可求出在这幅地图上A、B两地的图上距离。
【详解】3000000厘米＝30千米
一幅地图的比例尺是1∶3000000，那么图上1厘米表示实际距离是30千米。
96千米＝9600000厘米
9600000×＝3.2（厘米）
A、B两地实际距离是96千米，在这幅地图上量的距离是3.2厘米。
6．（比例关系）如果与成正比例关系，下表中的“？”处应该是( )；如果与成反比例关系，表中的“？”处应该是( )。
【答案】 150 216
【分析】如果与成正比例关系，则x与y的比值一定，据此列出比例式，解比例即可；如果与成反比例关系，则x与y的乘积一定，据此列出反比例算式，求出x的值即可。
【详解】
解：
解：
如果与成正比例关系，表中的“？”处应该是150；如果与成反比例关系，表中的“？”处应该是216。
7．（比例关系）平遥牛肉是山西特产。下图表示的是半自动封口机封装牛肉的数量和封袋时间的关系。
(1)从图中可知封袋的数量和封袋的时间成( )比例；点M的含义是( )分钟封了( )袋牛肉。
(2)山西平遥牛肉集团是国家级农业产业化重点龙头企业，2022年完成销售收入7.1亿元，2023年山西平遥牛肉集团力争销售收入比上年增加二成，“二成”改写成百分数是( )，那么2023年山西平遥牛肉集团销售收入预计是( )亿元。
【答案】(1) 正 8 160
(2) 20% 8.52
【分析】（1）成正比例的两个量表示的各点在同一条直线上，即正比例图象的特征是一条直线，由此判断半自动封口机封装牛肉的数量和封袋时间成正比例；先明确横轴、纵轴表示的意义，即可解答点M的含义。
（2）根据成数的意义，可知“二成”表示20%，把2022年销售收入看作单位“1”，2023年销售收入比2022年增加二成，即2023年销售收入是2022年销售收入的（），求2023年的销售收入，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算即可。
【详解】（1）从图中可知封袋的数量和封袋的时间成正比例；点M的含义是8分钟封了160袋牛肉。
（2）7.1×（1＋20%）
＝7.1×1.2
＝8.52（亿元）
“二成”改写成百分数是20%，那么2023年山西平遥牛肉集团销售收入预计是8.52亿元。
8．（比例尺作图）从下图中看出笑笑家在淘气家的( )偏( )( )°的方向，已知两家距离5千米，那么此图的比例尺是( )。

【答案】 北 西 55° 1∶100000
【分析】观察图可知，此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，以笑笑家为观测点，淘气家在笑笑家的南偏东55°的方向上，距离笑笑家有5千米，一个事物在另一个事物的某个方向一定度数的位置，那么另一个事物在这个事物相对的方向相同度数的位置，以淘气家为观测点，则笑笑家在淘气家的北偏西55°的方向上；已知三角形的两条直角边分别是3厘米、4厘米，利用三角形的面积公式，求出直角三角形的面积，再用三角形的面积乘2后，除以斜边上的高2.4厘米，求出斜边长为5厘米，即笑笑家和淘气家的图上距离是5厘米；再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据即可求出此图的比例尺。
【详解】根据分析得，笑笑家在淘气家的北偏西55°的方向上。
3×4÷2＝6（平方厘米）
6×2÷2.4＝5（厘米）
5厘米∶5千米
＝5厘米∶500000厘米
＝1∶100000
即此图的比例尺是1∶100000。
【点睛】此题主要考查根据方向和距离确定位置、三角形的面积的计算方法以及掌握比例尺的意义。
9．（图形的放大与缩小）把一个底是9厘米、高是6厘米的平行四边形各边缩小到原来的。缩小后底是( )厘米，高是( )厘米，面积是( )平方厘米。缩小后平行四边形与原来平行四边形面积的比是( )。
【答案】 3 2 6 1∶9
【分析】先求出缩小后平行四边形的底和高，根据平行四边形面积＝底×高，分别求出前后平行四边形的面积，根据比的意义，写出缩小后的平行四边形与原来平行四边形面积的比，化简即可。
【详解】9×＝3（厘米）
6×＝2（厘米）
3×2＝6（平方厘米）
（3×2）∶（9×6）
＝6∶54
＝（6÷6）∶（54÷6）
＝1∶9
把一个底是9厘米、高是6厘米的平行四边形各边缩小到原来的。缩小后底是3厘米，高是2厘米，面积是6平方厘米。缩小后平行四边形与原来平行四边形面积的比是1∶9。
10．（图形的放大与缩小）观察下图获取信息。

信息一：图B是图A按( )缩小的图形。
信息二：图A的面积是图B面积的( )。
信息三：图B与图A的周长比是( )。
【答案】 1∶2 4倍 1∶2
【分析】（1）图A的一条直角边是4，对应到图B是2，用2比4，求出图B是图A按什么比例缩小的；
（2）三角形面积＝底×高÷2，据此分别求出A和B的面积，用图A的面积除以图B的，求出图A的面积是图B面积的几倍；
（3）三角形的周长是三边之和，那么周长比和边长比是相等的，据此解题。
【详解】2∶4＝1∶2
所以，图B是图A按1∶2缩小的图形。
8×4÷2＝16，4×2÷2＝4，16÷4＝4
所以，图A的面积是图B面积的4倍。
2∶4＝1∶2
所以，图B与图A的周长比是1∶2。
【点睛】本题考查了比、三角形的周长和面积，掌握比的意义和化简是解题的关键。
二、选择题。
11．（比例关系的判断）如果、都不为，那么和( )关系。
A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．无确定
【答案】A
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】如果、都不为，，是比值一定，那么和成正比例关系。
故答案为：
12．（比例关系的判断）下列说法中，两个量成反比例关系的有( )个。
①甲数的相当于乙数的，甲数和乙数。 ②比的前项一定，比的后项和比值。
③圆柱的体积一定，它的底面半径和高。 ④已知x、y是大于零的自然数，若，则x和y的关系。
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
①根据分数乘法的意义，可知甲数×＝乙数×；再根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，可知甲数∶乙数＝∶，求比值用比的前项除以后项即可；据此可知甲数和乙数的比值一定，则它们成正比例；
②根据比各部分的关系，可知比的后项×比值＝比的前项（一定），比的后项和比值的乘积一定，则它们成反比例；
③圆柱的体积公式：S＝πr2h，体积一定，底面半径的平方和高的乘积一定，则它们成反比例，但是底面半径和高不成比例；
④根据比和分数的关系，可知x∶2＝3∶y，再根据比例的基本性质，可知xy＝2×3，x和y的乘积一定，则它们成反比例。
【详解】①甲数的相当于乙数的，甲数和乙数成正比例；
②比的前项一定，比的后项和比值成反比例；
③圆柱的体积一定，它的底面半径和高不成比例；
④已知x、y是大于零的自然数，若，则x和y成反比例。
两个量成反比例关系的有2个，也就是②④。
故答案为：B
【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。
13．（比例尺的关系）甲、乙两地相距20千米，画在设计图纸上的长度是5厘米，图纸的比例尺是( )。
A．1∶400000B．400000∶1C．1∶4D．4∶1
【答案】A
【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，可直接求得这幅图的比例尺。
【详解】20千米＝2000000厘米
5∶2000000＝1∶400000
所以，图纸的比例尺是1∶400000。
故答案为：A
14．（图形的放大与缩小）聪聪和明明分别将学校的花坛画了下来（如下图）。如果聪聪是按1∶a画的，那么明明是按( )画的。

A．a∶1B．1∶2aC．2a∶1D．1∶a
【答案】B
【分析】已知聪聪画的比例尺和花坛的图上长度，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出这个花坛的实际长度；
又已知明明画的花坛的图上长度，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可求出明明画的比例尺。
【详解】实际长度：
10÷
＝10×a
＝10a（cm）
明明画的比例尺：
5∶10a
＝（5÷5）∶（10a÷5）
＝1∶2a
明明是按1∶2a画的。
故答案为：B
【点睛】本题考查比例尺的意义及应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。
15．（图形的放大与缩小）一个正方形按5∶1的比例放大后，现在的面积与原来面积的比是( )。
A．5∶1B．10∶1C．25∶1D．20∶1
【答案】C
【分析】根据题意，设原来正方形的边长是1；正方形按5∶1的比例放大，那么放大后正方形的边长是5；根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出放大前后正方形的面积，再根据比的意义，写出它们的面积比即可。
【详解】设原来正方形的边长是1；
放大后正方形的边长是：1×5＝5
（5×5）∶（1×1）＝25∶1
现在的面积与原来面积的比是25∶1。
故答案为：C
【点睛】明确正方形按n∶1的比放大，则放大后的面积与原来面积的比是n2∶1。
16．（比例关系）有两个相关联的量，它们的关系可以用下图来表示，这两个量可能是( )。
A．《小学生数学报》订阅的总价钱和订阅的数量
B．正方体的表面积和它的棱长
C．小华看《数学花园》，看了的页数和未看的页数
D．工作总量一定时，工作时间和工作效率
【答案】A
【分析】由图形可知：两个变量都在增大，且商是一个定值，可判定是正比例，据此判断即可。
【详解】A．根据单价＝，可得《小学生数学报》订阅的费用和订阅的数量成正比例，故本选项符合题意；
B．根据6＝，可得正方体的表面积和它的棱长的平方成正比例，故本选项不符合题意；
C．根据总页数＝看了的页数＋未看的页数，可得看了的页数和未看的页数不成正比例，故本选项不符合题意；
D．根据工作总量＝工作时间×工作效率，可得工作时间和工作效率成反比例，故本选项不符合题意。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了正比例与反比例的判断，解题的关键是熟记正比例与反比例的意义。
17．（比例尺的实际应用）在一幅比例尺是的地图上，量得A、B两地相距8.4厘米。一辆汽车以80千米/时的速度从A地开往B地，( )小时可到达B地。
A．5B．5.25C．6D．6.25
【答案】B
【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算出A、B两地间的路程；再根据“路程÷速度＝时间”求出这辆汽车到达B地的时间。
【详解】8.4÷
＝8.4×5000000
＝42000000（厘米）
42000000厘米＝420千米
420÷80＝5.25（小时）
所以5.25小时可到达B地。
故答案为：B
【点睛】此题考查了图上距离与实际距离的换算、行程问题的数量关系。
三、解答题。
18．（比例尺作图）如图，学校大门在孔子雕像的正东方240米处。1号教学楼在孔子雕像北偏东45°的200米处。

（1）分别计算出学校大门、1号教学楼到孔子雕像的图上距离。
（2）在图纸上画出学校大门和1号教学楼的位置。
【答案】（1）学校大门6厘米；1号教学楼5厘米
（2）见详解
【分析】（1）根据进率“1米＝100厘米”以及“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出学校大门、1号教学楼到孔子雕像的图上距离。
（2）以图上的“上北下南，左西右东”为准，在孔子雕像的正东方画6厘米长的线段，即是学校大门；在孔子雕像的北偏东45°方向画5厘米长的线段，即是1号教学楼。
【详解】（1）240米＝24000厘米
24000×＝6（厘米）
200米＝20000厘米
20000×＝5（厘米）
答：学校大门到孔子雕像的图上距离是6厘米，1号教学楼到孔子雕像的图上距离是5厘米。
（2）如图：

【点睛】本题考查比例尺的应用、根据比例尺画图以及根据方向、角度和距离确定物体的位置。
19．（比例尺作图）（1）学校在中心广场北偏西60°的600米处，这幅图的比例尺是（ ）。
（2）书店在中心广场南偏东50°的900米处，请在图中用“·”标出书店的位置。
【答案】（1）1∶30000
（2）见详解
【分析】（1）已知学校与中心广场的实际距离是600米，从图中可知，学校与中心广场的图上距离是2厘米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，代入数据计算，即可求出这幅图的比例尺；注意单位的换算：1米＝100厘米。
（2）已知书店与中心广场的实际距离是900米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出书店与中心广场的图上距离是3厘米；
以中心广场为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，在中心广场南偏东50°方向上画3厘米长的线段，即是书店。
【详解】（1）600米＝60000厘米
2∶60000
＝（2÷2）∶（60000÷2）
＝1∶30000
这幅图的比例尺是1∶30000。
（2）900米＝90000厘米
90000×＝3（厘米）
如图：
【点睛】（1）本题考查比例尺的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。
（2）本题考查方向与位置的知识，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置。
20．（图形的放大与缩小）画一画，填一填。（每个小方格表示边长1厘米的正方形）
在方格图中按2∶1的比画出三角形ABC放大后的图形。已知放大前三角形的斜边长5厘米，则放大后斜边的长为（ ）厘米。
【答案】图见详解；10
【分析】方格图中按2∶1的比画出三角形ABC放大，那么三角形的各边均为原来的2倍。求出放大后的边长，可作图解答。
【详解】AB＝3厘米，放大后为：3×2＝6（厘米）
BC＝4厘米，放大后为：4×2＝8（厘米）
5×2＝10（厘米）
已知放大前三角形的斜边长5厘米，则放大后斜边的长为10厘米。
21．（正比例与反比例应用）“神舟十五号”，是中国发射载人航天工程的第十五艘飞船，是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，它运行的路程与时间如下表。
（1）观察表中数据，运行的时间和路程成（ ）比例。
理由：
（2）看了以上数据，奇思问妙想：“你知道当‘神舟十五号’运行到276.5千米时，它运行了多长时间吗？”（用比例知识解答）
【答案】（1）正；理由见详解
（2）35小时
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
（2）再根据判断出的比例进行解答。
【详解】（1）7.9÷1＝15.8÷2＝23.7÷3＝31.6÷4＝39.5÷5＝47.4÷6＝7.9，即＝＝＝＝＝＝7.9（一定），运行的时间和路程成正比例。
（2）解：设它运行了x秒。
＝
7.9x＝276.5
x＝276.5÷7.9
x＝35
答：它运行了35秒。
【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。
22．（比例尺的实际应用）在比例尺是的地图上量得甲地到乙地的距离是22.6厘米，一辆速度为113千米时的小汽车上午8时从甲地出发，中午12时可以到达乙地吗？
【答案】可以到达
【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，先求出甲地到乙地的路程，然后用路程÷速度＝时间，据此解答。
【详解】22.6÷＝45200000厘米＝452千米
452÷113＝4（小时）
答：上午8时过4小时是中午12时，可以到达。
【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及基本的数量关系“路程÷时间＝速度”。
23．（比例尺的实际应用）在比例尺是1∶2000000的地图上，量得A市到B市的公路长17.5厘米，两辆车分别从两市同时出发，沿公路相向而行。快车每小时行驶80千米，慢车每小时行驶60千米，多长时间后两车相遇？
【答案】2.5小时
【分析】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两市之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答。
【详解】17.5÷
＝17.5×2000000
＝35000000（厘米）
35000000厘米＝350千米
350÷（80＋60）
＝350÷140
＝2.5（小时）
答：2.5小时后两车相遇。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及相遇问题的基本数量关系及应用。
24．（比例尺的实际应用）康康在图纸上按1∶1000的比例尺画下了一个长方形科技馆场馆图，从图上量得科技馆的长为20厘米，宽为10厘米。请你算算这个科技馆的实际面积是多少平方米？
【答案】20000平方米
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出科技馆的实际长度和实际宽度分别是多少米，再根据长方形的面积＝长×宽解答即可。
【详解】科技馆的长：20÷＝20000（厘米）
20000厘米＝200米
科技馆的宽：10÷＝10000（厘米）
10000厘米＝100米
科技馆的面积：200×100＝20000（平方米）
答：这个科技馆的实际面积是20000平方米。
【点睛】熟练掌握图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系是解题的关键。
25．（比例尺的实际应用）在比例尺是1∶1000000的地图上，量得潼南到成都的高速公路约长21厘米。刘小微的爸爸驾车从潼南入口驶入前往成都，1小时后，剩下的高速路程是全程的。此时，他已经行驶了多少千米？
【答案】60千米
【分析】根据：图上距离÷比例尺＝实际距离，求出总路程的长度；从剩下的高速路程是全程的，可知已行驶了全程的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，总路程的长度乘（1－）即可求出刘小微的爸爸已经行驶了多少千米，据此解答。
【详解】21÷＝21000000（厘米）
21000000（厘米）＝210（千米）
210×（1－）
＝210×
＝60（千米）
答：他已经行驶了60千米。
【点睛】此题考查了比例尺的应用以及分数乘法的计算，关键能够熟记公式计算出总路程。180
？
60
50
时间/秒
1
2
3
4
5
6
速度/千米
7.9
15.8
23.7
31.6
39.5
47.4