2026年小升初数学专题专题训练（通用版）第4章：比和比例 专题13：比、按比分配问题（复习课件）

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比的读法、写法及各部分的名称比的基本性质化简比和求比值比与分数、除法的关系和比问题差比问题单量与比的问题连比问题动态比问题
3.比和比值的区别（1）比表示的是两个数的关系，是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式，读作几比几。（2）比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
4.比与分数、除法的关系：
【典型例题】西安北站和广州南站的站台数的最简单的整数比是（ ），这个比的前项是（ ），后项是（ ）。“高铁是我国装备制造的一张亮丽的名片”，作为位居全国前列的高铁站，西安北站是西北地区核心铁路枢纽，拥有18个站台；广州南站是粤港澳大湾区及泛珠江三角洲的铁路核心枢纽，拥有15个站台。
根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，那么两个站台的比是：18∶15，进行化简比即可。18∶15＝（18÷3）∶（15÷3）＝6∶5
【典型例题1】在9∶11中，如果后项增加33，要使比值不变，前项应（ ）。A．增加33 B．乘4 C．增加36D．不变
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；后项加上33，需要找出后项变化的倍数，前项也应变化相同的倍数或加上的数。（11＋33）÷11＝44÷11＝49×4－9＝36－9＝27
【典型例题2】甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙是2∶7，则甲∶丙是（ ）。
1.求比值:求比值就是求比的前项除以后项所得的商。比值可以用小数、分数或整数表示。2.化简比:化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比。化简比时，通常需要根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以某个数，使它们成为互质数。
3.化简比的方法（1）整数比的化简：直接找出比的前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。（2）小数比的化简：将比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比后再进行化简。
（3）分数比的化简：①方法一：将比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。②方法二：用求比值的方法进行化简，但最后结果要写成比的形式。
（4）求带单位的比的比值或化简：①单位统一的比，求比值或化简比，直接化简求值即可；②单位不统一的，要先将单位进行统一，然后再求比值。化简比的方法也一样。
【易错点拨】（1）化简比用“比的基本性质”（乘除相同数，0除外），求比值用“除法运算”（前项÷后项）。（2）化简比结果是“a∶b”（最简整数比），求比值结果是整数、小数或分数（不能是比的形式）。
【典型例题1】0.4千克∶300克的比值是（ ）。
【变式训练1】已知x－2y＝3，那么代数式10－2x＋4y的值是（ ）。
10－2x＋4y＝10－（2x－4y）＝10－2（x－2y）＝10－2×3＝10－6＝4所以代数式10－2x＋4y的值是4。
【变式训练】5∶4＝（ ）÷12＝（ ）%＝10∶（ ）。
比的前项对应除法里的被除数、后项对应除数，因此5∶4＝5÷4；根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）：除数4乘3，被除数5也乘3，就是15÷12；计算5÷4＝1.25；小数转化为百分数的方法是“小数点右移两位，后面加个百分号”：1.25的小数点右移两位是125，加上百分号就是125%；根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）：比的前、后项都乘2就是10∶8。
1.按比分配问题的解题方法：（1）分数法：先求总份数，再求各部分量占总数的几分之几，最后用总量乘各部分量占总数的几分之几，求出各部分量。（2）归一法：先求出总份数，再用总数量÷总份数求出平均每份的量（归一），最后用每份的量乘各部分对应的份数求出各部分量。
2.和比问题（1）已知两个数的和及大数与小数的比，求这两个数分别是多少的应用题，即是“和比问题”。（2）解题思路：方法一：利用平均分法（归一法）来解答①求出总份数：把比的各项的和看作平均分的总份数，②求出每一份是多少：总数÷份数＝每一份量；③求出各个部分对应的具体数量：看要求的量占几份来解答。
方法二：转化成分数应用题来解答①求出总份数：求出比的各项之和；②求出各部分数量分别占总数的几分之几；③用分数乘法解题，求出各个部分对应的具体数量。
【典型例题】我国有悠久的青铜器铸造史，其中后母戊鼎是商周时期青铜文化的代表作，是迄今世界上出土最大、最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，现藏于中国国家博物馆。经测定，鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，鼎中含锡和铅各约有多少千克？
【分析】已知鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，则铜85份、锡12份、铅3份，共85＋12＋3＝100份，用鼎的重量除以100份求出每份的重量，再分别乘12、乘3求出锡和铅的重量。
【详解】85＋12＋3＝97＋3＝100833÷100＝8.33（千克）8.33×12＝99.96（千克）8.33×3＝24.99（千克）答：鼎中含锡约有99.96千克，含铅约有24.99千克。
【变式训练1】东汉医学家张仲景被后人尊称为“医圣”。他广泛收集医方，写出了传世巨著《伤寒杂病论》。下面是张仲景的“苓桂术甘汤”药方，王爷爷按这个药方配中药共重360克。其中甘草有多少克？茯苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两。——张仲景
【变式训练2】学校举行运动会，需要按2∶3∶4的比例从三、四、五年级学生中选出468人参加开幕式表演。三、四、五年级各需选出多少人？
3.差比问题（1）已知两个数的差及大数与小数的比，求这两个数分别是多少的应用题，即是“差比问题”。（2）公式：每一份的数量＝两个数的差量÷（大数的份数－小数的份数）
【典型例题】弟弟、姐姐、哥哥三人帮爷爷摘苹果，爷爷按3∶3∶5的质量比把任务分配给弟弟、姐姐、哥哥，已知哥哥比弟弟多摘24千克，三人一共帮爷爷摘了多少千克苹果？
【分析】把三人摘的苹果按3∶3∶5分配，可以把弟弟、姐姐和哥哥摘的苹果分别看作3份、3份和5份，已知哥哥比弟弟多摘24千克，多5－3＝2（份），可以用24除以2求出每份对应的质量，总份数是3＋3＋5＝11（份），用每份的质量乘总份数可得到总质量。
【详解】每份的质量：24÷（5－3）＝24÷2＝12（千克）总质量：12×（3＋3＋5）＝12×（6＋5）＝12×11＝132（千克）答：三人一共帮爷爷摘了132千克苹果。
【变式训练1】园博园内计划种植一批樟树、桂花树和玉兰树，三种树的种植棵数比是3∶4∶5，实际种植时，玉兰树比樟树多栽了60棵，且三种树全部按计划栽完。三种树各栽了多少棵？
【分析】用60棵除以玉兰树比樟树多的份数，算出每一份的棵数。再用每一份的棵数分别乘它们的份数，分别算出三种树的数量。
【详解】60÷（5－3）＝60÷2＝30（棵）樟树：30×3＝90（棵）桂花树：30×4＝120（棵）玉兰树：30×5＝150（棵）答：樟树栽了90棵，桂花树栽了120棵，玉兰树栽了150棵。
【变式训练2】郑州科技馆新馆周六上午接待的成人参观者与儿童参观者的人数比是3∶5，成人比儿童少60人。上午共接待多少名参观者？
【分析】由题意可知，成人参观者的人数占3份，儿童参观者的人数占5份，成人比儿童少（5－3）份，根据成人比儿童少的人数求出比中每份的人数，最后乘总份数求出上午接待参观者的总人数。【详解】60÷（5－3）×（5＋3）＝60÷2×8＝30×8＝240（名）答：上午共接待240名参观者。
4.单量与比的问题已知甲∶乙＝A∶B和其中的一个单量甲，可以用“单量甲÷A”求出每一份的数量。
【典型例题】建筑队配制一种混凝土，水泥，黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，如果三种材料都有45吨，当黄沙全部用完时，水泥还余多少吨？石子需要增加多少吨？
【分析】根据水泥、黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，当黄沙全部用完时，黄沙占3份且总质量为45吨，因此可求出每份的质量。再根据水泥和石子所占的份数，分别计算它们需要的质量，并与实际拥有的质量比较，得出水泥剩余量和石子增加量。
【详解】45÷3＝15（吨）2×15＝ 30（吨）45－30＝15（吨）5×15＝75（吨）75－45＝30（吨）答：水泥还余15吨，石子需要增加30吨。
【变式训练1】对地铁4号线某段轨道日常检修，已检修的长度与全长的比是2∶7，未检修455米。这段轨道全长多少米？
【分析】将比的前后项看成份数，未检修的对应份数是（7－2），未检修的长度÷对应份数＝一份数，一份数×全长对应份数＝这段轨道全长。【详解】455÷（7－2）×7＝455÷5×7＝637（米）答：这段轨道全长637米。
【变式训练2】奶奶用黑芝麻、黑米和黑豆按照 的比配成了一种明目的杂粮早餐。这天奶奶买了黑芝麻、黑米和黑豆各10千克，当黑米全部用完时，黑芝麻还剩多少千克？
【分析】把黑芝麻、黑米和黑豆的比看作份数比，用黑米的质量10千克除以对应的份数5求出1份是多少千克，再乘黑芝麻的份数，求出当黑米全部用完时黑芝麻用的质量，再用10千克减去黑芝麻用的质量就是黑芝麻剩下的质量。
【详解】10－10÷5×3＝10－2×3＝10－6＝4（千克）答：当黑米全部用完时，黑芝麻还剩4千克。
5.连比问题（1）由三个或三个以上的数量组成的比叫做这几个数量的连比。（2）一般说来，如果甲∶乙＝x∶y，乙∶丙＝y∶z，那么甲∶乙∶丙＝x∶y∶z，也就是说，我们可以通过找中间量，将两个比转换成一个比。但很多时候，中间量在两个比中往往所占的份数是不一样，那么就需要寻找中间量的“最小公倍数”，再根据比的基本性质，把两个比转化成一个比。
【典型例题】学校图书馆把1100本图书分给四、五、六三个年级，每个同学都领到了专属的精神食粮，开启一段美妙的阅读之旅。四年级与五年级分得的图书数量之比是1∶2，五年级与六年级分得的图书数量之比是4∶5。三个年级各分得多少本图书？
【分析】因为四年级与五年级、五年级与六年级的图书数量比分别给出，所以需要先将两个比进行统一，得到三个年级图书数量的连比。因为三个年级图书总数已知，且已得到连比，所以可以先计算出总份数，再根据各年级占总份数的比例，结合总数求出各年级分得的图书数量，这里会用到按比分配的方法。
【变式训练1】一瓶重1100克的营养品，只含三种成分，其中白糖与奶粉质量的比是2∶3，奶粉与可可的质量比是6∶1，奶粉、白糖和可可的质量各是多少？
【分析】已知白糖与奶粉的质量比是2∶3，奶粉与可可的质量比是6∶1。两个比中奶粉的份数分别是3和6，3和6的最小公倍数是6，因此将第一个比中奶粉的份数化为6，则白糖与奶粉的比2∶3＝（2×2）∶（3×2）＝4∶6。此时奶粉与可可的比是6∶1，故白糖、奶粉、可可的质量比为4∶6∶1。将白糖看作4份，奶粉看作6份，可可看作是1份，则总份数为4＋6＋1＝11份，用总质量1100克除以总份数，得到一份的质量（即可可的质量），再用一份的质量分别乘三者的份数得到它们的质量。
【详解】2∶3＝（2×2）∶（3×2）＝4∶6因此，白糖、奶粉、可可的质量比为4∶6∶1。1100÷（4＋6＋1）＝1100÷11＝100（克）100×4＝400（克）6×100＝600（克）答：白糖的质量是400克，奶粉的质量是600克，可可的质量是100克。
6.动态比问题（1）在比的应用题中，如果其中的一个量或者两个量发生了变化，从而最后达到题目中指定比的问题，即是动态比问题。（2）总量不变的动态比问题：单量改变，但是总量不变。解决此类实际问题的关键是抓住“总量不变”进行求解。（3）总量改变的动态比问题：单量改变，导致总量跟着改变，那么解题的关键是抓住题目中的不变量，根据不变量进行求解。
【典型例题】春节期间乐乐和妹妹共收到3600元压岁钱，分别放在两个红包中，如果从甲红包中取出500元放入乙红包中，则甲、乙两个红包的钱数比是5∶7，原来甲红包中有多少元？
【变式训练1】甲、乙两个志愿者团队原来的捐款钱数比是7∶3，现在甲团队拿出60元给乙团队用于帮扶困难学生，这时甲、乙两个团队的捐款钱数比是2∶3。现在甲、乙两个团队各捐款多少元？
200÷（2＋3）＝200÷5＝40（元）甲：40×2＝80（元）乙：40×3＝120（元）答：现在甲团队捐款80元，乙团队捐款120元。
【易错点拨】（1）先明确“总量”和“分配比”，确保比的顺序与各部分对应的量一致。（2）若分配比不是最简比，需先化简再计算。（3）计算后需验证各部分量之和是否等于总量。（4）遇到“部分量求总量”的逆向问题，先求每份的量，再乘总份数。