2026年小升初数学专题专题训练（通用版）第3章：式与方程 专题08：一般复合应用题（复习课件）

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归一问题归总问题和差倍问题年龄问题经济问题行程问题工程问题盈亏问题周期问题
1．一般复合应用题的定义：用两步或两步以上计算来解答的应用题，称为复合应用题。复合应用题是由几种相关联的简单应用题组成的。2．一般复合应用题的解法解一般复合应用题可以先把它分解成几个简单的一步应用题，分别求出间接结果，然后求出待求结果。在具体分析解答中，一般采用分析法、综合法或分析综合法，对于比较复杂的问题，可以运用图示法、假设法、转化法等帮助分析。
（1）分析法：从问题出发，根据问题分析出相应的两个条件，然后把缺少的条件当作问题，逐步分析，直到所需条件都是已知条件为止。（2）综合法：从条件出发，根据两个条件推出中间问题，然后把中间问题当作条件，直到推出题中所求问题为止。（3）转化法：当已知条件中有明显计算过程时就用综合法顺推，遇到困难时再转向原题所提的问题用分析法帮忙，逆推几步，顺推和逆推联系上了，问题便解决了。
3．一般复合应用题的解题步骤（1）审题：了解题目中的内容，理解题意，找出题中的已知条件和要求的问题。（2）分析：重点分析题中的数量关系，即已知数和已知数的关系，已知数和未知数的关系，列出数量关系式，从而找出解题的方法与途径。（3）列式：确定解题步骤与方法，先算什么，再算什么。列出分布式或综合式，进行计算得出答案。
（4）验算：通过验算最后确定答案正确与否。（5）答题：写出题目中所要求的答案，写“答”。
1．概念：先求出单位数量（如单价、工效、单位时间的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。2．公式（1）总量÷份数＝1份数量（2）1份数量×所占份数＝所求几份的数量（3）另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数3．解题思路和方法：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【典型例题】某仓库要运送一批货物，用6辆相同的货车每天一共可以运货84吨。现在计划增加4辆同样的货车，现在每天共运货多少？
【分析】先求出一辆货车每天可运货重量，列式：84÷6，再用一辆货车每天可运货重量乘货车的数量，就是现在每天共运货的重量，列式：84÷6×（6＋4），据此解答。【详解】84÷6×（6＋4）＝14×10＝140（吨）答：现在每天共运货140吨。
【变式训练1】红山乡安装的人工喷雨水管，头3天装了225米。按同样的速度，又用17天才把水管全部装好。这条水管的全长是多少米？
【分析】头3天装了225米，则225米除以3计算出每天能安装多少米。这条水管的全长＝每天安装的长度×总天数，其中3天加上后来用的17天就是总天数。【详解】225÷3×（3＋17）＝225÷3×20＝75×20＝1500（米）答：这条水管的全长是1500米。
1．概念：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。2．公式（1）1份数量×份数＝总量（2）总量÷1份数量＝份数（3）总量÷另一份数＝另一每份数量3．解题思路和方法：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
【典型例题】文具店内有两种练习本，小亮带的钱刚好可以买4本单价是1.5元的练习本。如果买单价是2元的练习本，他可以买多少本？
【分析】用1.5元乘4，计算出小亮带的钱数，再用小亮带的钱数除以2元，即可计算出可以购买几本2元的练习本。【详解】1.5×4÷2＝6÷2＝3（本）答：他可以买3本。
【变式训练1】街道要更换一批水管，已知新水管每根长8米，原有的旧水管每根长5米。现在共有400根新水管，可以换掉多少根旧水管？
【分析】已知新水管每根长8米，共有400根新水管，用每根新水管的长度乘新水管的根数，求出水管的总长度；再用总长度除以原有每根旧水管的长度，即是可以换掉旧水管的根数。【详解】8×400÷5＝3200÷5＝640（根）答：可以换掉640根旧水管。
【变式训练2】李叔叔的家用小汽车每月需要加油4次，每次需要支付400元油费。换成充电的新能源汽车后，他不再需要为汽车支付油费，只需每月支付电费80元。原来一个月支付的油费现在可供新能源汽车支付几个月的电费？
【分析】根据乘法、除法的意义，先用每次加油需要支付的钱数乘次数，求出李叔叔家给小汽车每月加油需要的钱数，再除以换成充电的新能源汽车后，每月支付的电费即可解答。【详解】400×4÷80＝1600÷80＝20（个）答：原来一个月支付的油费现在可供新能源汽车支付20个月的电费。
1．和差问题： （1）定义：已知两个数的和与差，求这两个数是多少。（2）公式：大数=（和+差）÷2；小数=（和－差）÷2；2．和倍问题：（1）定义：已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数。（2）公式：1倍数=和÷（倍数+1）；几倍数=1倍数×倍数；
3．差倍问题：（1）定义：已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数。（2）公式：1倍数=差÷（倍数－1）；几倍数=1倍数×倍数。
【典型例题】学校四、五、六年级同学共植树575棵。六年级比五年级多植树65棵，五年级比四年级多植树45棵，问三个年级各植树多少棵？
【分析】根据“六年级比五年级多植树65棵，五年级比四年级多植树45棵，”说明六年级比四年级多植树（65＋45）棵。假设把五年级比四年级多植树的棵数和六年级比四年级多植树的棵数从总数里减去，那么三个年级植树的棵数就同样多，除以3就可以求出四年级植树的棵数，用四年级棵数加上45棵就是五年级植树的棵数，用四年级植树的棵数加上110棵就是六年级植树的棵数。
【详解】六年级比四年级多植树的棵数：65＋45＝110（棵）四年级植树的棵数：（575－110－45）÷3＝420÷3＝140（棵）五年级植树的棵数：140＋45＝185（棵）
六年级植树的棵数：140＋110＝250（棵）答：四年级植树140棵，五年级植树185棵，六年级植树250棵。
【典型例题2】据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？
【分析】用2024年我国人均住房面积的48.2平方米减去6.2平方米，再除以倍数5倍即可求出1980年我国人均住房面积有多少平方米。【详解】（48.2－6.2）÷5＝42÷5＝8.4（平方米）答：1980年我国人均住房面积有8.4平方米。
【变式训练1】小勇和小燕的平均身高是139厘米，小勇比小燕高5厘米。两人的身高各是多少？
【分析】已知小勇和小燕的平均身高是139厘米，用两人的平均身高乘2，求出两人的身高之和；已知小勇比小燕高5厘米，如果给小燕增加5厘米，那么就和小勇一样高；即用两人的身高之和加上5，即是小勇身高的2倍，再除以2，求出小勇的身高；用小勇的身高减去5，求出小燕的身高。
【详解】两人的身高之和：139×2＝278（厘米）小勇：（278＋5）÷2＝283÷2＝141.5（厘米）小燕：141.5－5＝136.5（厘米）答：小勇的身高是141.5厘米，小燕的身高是136.5厘米。
【变式训练2】长江三峡水库总库容大约是黄河刘家峡水库的6.9倍，比刘家峡水库多336亿立方米。刘家峡水库总库容大约是多少亿立方米？三峡水库呢？（得数保留一位小数）
【分析】本题属于差倍问题。把黄河刘家峡水库的总库容看作1份，则长江三峡水库总库容是6.9份，根据小数＝差÷倍数的差，用336除以（6.9－1）可以求出黄河刘家峡水库的总库容，再乘6.9即可求出三峡水库总库容。
【详解】336÷（6.9－1）＝336÷5.9≈56.9（亿立方米）56.9×6.9≈392.6（亿立方米）答：刘家峡水库总库容大约是56.9亿立方米，三峡水库总库容大约是392.6亿立方米。
1．关键点（1）年龄差永远不变（无论几年前/后，两人年龄差不变）；（2）年龄和逐年增加/减少（每人每年长1岁，n人每年年龄和变化n岁）；（3）年龄的倍数关系随年龄增长逐渐变小。2．公式（1）几年前年龄＝小年龄－（大年龄－小年龄）÷（倍数－1）；（2）几年后年龄＝（大年龄－小年龄）÷（倍数－1）－小年龄。
3．解题技巧（1）解题关键：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。（2）线段图法：通过画线段图来直观地表示出不同人物年龄之间的关系，帮助理解题意，找到解题思路。（3）方程法：设未知数，根据年龄问题的等量关系列出方程求解。通常可以设其中一个人的年龄为x，然后用含x的式子表示出其他人的年龄，再根据题目中的条件列出方程。
【典型例题】李老师说：“把我今年的年龄数先加上9，再除以4，然后减去2，最后乘3，结果恰好是30。”李老师今年多少岁？
【分析】此题可用倒推法来解答。用30岁除以3，再加上2，然后乘4，最后减去9即可求出李老师今年多少岁。【详解】（30÷3+2）×4－9=12×4－9=48-9=39（岁）答：李老师今年39岁。
【变式训练2】王老师有个学生，当王老师像学生那么大时，学生才1岁；当学生像王老师那么大时，王老师37岁。王老师和学生现在各多少岁？
【分析】将学生现在的年龄设为x岁，据题意当王老师像学生那么大时，学生才1岁，那么二人的年龄差是（x－1）岁，那么王老师现在的年龄是（2x－1）岁。又根据题意当学生像王老师那么大时，王老师37岁，可知此时王老师年龄－（2x－1）＝年龄差。据此列方程解方程即可。
【详解】解：设学生现在的年龄是x岁。37－（x＋x－1）＝x－1 37－2x＋1＝x－1 3x＝39 x＝39÷3 x＝1313＋13－1＝25（岁）答：王老师现在25岁，学生现在13岁。
公式：（1）基础公式：单价×数量=总价；总价÷数量=单价；总价÷单价=数量（2）折扣问题：折扣=现价÷原价；现价=原价×折扣；原价=现价÷折扣（3）利息问题：利息=本金×利率×存期；本息和=本金+利息（4）利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润÷成本×100%
【典型例题】淘淘家就完餐付费时，服务员告诉淘淘爸爸，饭店有酬宾活动，可以从以下两个方案中任选一个方案付费：方案1：满200元打八五折；方案2：网上团购优惠券，69元抵100元（每次限用一张）。淘淘家一共消费220元，爸爸选择哪个方案付费更优惠？
【分析】方案1：打八五折指的是现价是原价的85%，把原价看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，用原价乘85%即可得到实际需要付的钱数；方案2：优惠券69元抵100元，即用一张优惠券可以节省（100－69）元，据此用原价减去节省的钱数即可得到实际需要付的钱数；最后把两种方案实付的钱数进行比较即可解答。
【详解】方案一：220＞200220×85%＝187（元）方案二：220－（100－69）＝220－31＝189（元）187＜189答：爸爸选择方案1更优惠。
【变式训练1】一种茶叶0.5kg售价120元，李叔叔要买1.5kg这种茶叶，应付多少元？
【分析】已知0.5千克茶叶售价120元，根据总价÷质量＝单价求出每千克的单价，再乘1.5即为李叔叔应付总价。【详解】120÷0.5×1.5＝240×1.5＝360（元）答：应付360元。
【变式训练2】某商场的停车场收费标准如表：周日下午，赵阿姨在这个停车场连续停车4小时18分钟，需缴纳多少元停车费？
【分析】已知赵阿姨连续停车4小时18分钟，因为首小时后，不足1小时的按1小时计算，所以4小时18分钟按5小时计算。根据收费标准，1小时内小型车收费5元。停车总时长按5小时计算，1小时后停车的时长为5－1＝4小时。又因为1小时后每小时收费2元，所以1小时后的费用为4×2＝8元。将1小时内的费用和1小时后的费用相加，可得总停车费用为8＋5＝13元。
【详解】把4小时18分钟按5小时计算。（5－1）×2＋5＝4×2＋5＝8＋5＝13（元）答：需缴纳13元停车费。
公式（1）基础公式：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度；（2）相遇问题：相遇路程=速度和×相遇时间；速度和=相遇路程÷相遇时间；（3）追及问题：追及路程=速度差×追及时间；速度差=追及路程÷追及时间；
（4）流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速－水速；船速=（顺水+逆水）÷2；水速=（顺水－逆水）÷2。（5）火车过桥问题：火车过桥：路程=桥长+火车长；火车过人：路程=火车长；两列火车相遇：路程和=两车长之和；两列火车追及：路程差=两车长之和。
【典型例题】在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米，用求出的距离除以进率100000即可换算为千米。再根据“相遇时间＝路程÷速度和”用两地之间的距离除以速度和，即可求出两车行驶多少小时后途中相遇，据此解答。
【变式训练1】一辆汽车以每小时80千米的速度从甲城开往乙城，先行了全程的30%后，又行了1.5小时至全程的中点。甲、乙两城相距多少千米？
【分析】先行了全程的30%后，又行了1.5小时至全程的中点即为全程的50%；相当于以每小时80千米的速度行驶1.5小时为全程的（50%－30%）；已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决；根据“路程＝速度×时间”即可求出1.5小时行驶的距离，再除以（50%－30%）即可求出甲、乙两城相距多少千米。
【详解】80×1.5÷（50%－30%）＝120÷20%＝600（千米）答：甲、乙两城相距600千米。
【变式训练2】小英和小红在环形跑道上练习跑步。起跑时，小英在小红前面15米，小英每秒跑4米，小红每秒跑6米。如果她们都按逆时针方向跑，经过多少秒小红第一次追上小英？
【分析】已知起跑时，小英在小红前面15米，小红的速度比小英快；那么当小红追上小英时，小红比小英多跑15米。等量关系：小红的速度×时间－小英的速度×时间＝小红比小英多跑的路程，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设经过x秒小红第一次追上小英。6x－4x＝15 2x＝15 2x÷2＝15÷2 x＝7.5答：经过7.5秒小红第一次追上小英。
1．公式（1）基础公式：工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间；（2）合作问题：合作效率=各工作效率之和；合作时间=工作总量÷合作效率；（3）变式：剩余工作量=1－已完成工作量；剩余时间=剩余工作量÷工作效率。
2．解题技巧（1）设工作总量为单位“1”（若有具体工作量，用具体量计算）；（2）根据单独完成时间，求出各主体的工作效率（效率=1÷单独时间）；（3）判断题型（单独做/合作做/中途停工），求出合作效率或剩余工作量；（4）代入公式求工作时间/工作量，验证结果。
【典型例题】甲、乙两个工程队合作开凿一条750米长的隧道，同时各从一端开凿，经过25天开通。甲队每天开凿14.8米，乙队每天开凿多少米？
【分析】根据题意，用隧道的长度除以开凿的时间，求出每天甲、乙两个工程队开凿的隧道的长度，再减去甲队每天开凿隧道的长度，即可求出乙队每天开凿的长度，据此解答。【详解】750÷25－14.8＝30－14.8＝15.2（米）答：乙队每天开凿15.2米。
【变式训练1】玩具厂接到一批玩具加工订单，原计划每天生产150个，可以按时完成任务。实际每天多生产30个，结果只用25天就完成订单任务。原计划完成订单任务需要多少天？
【分析】用原计划每天生产的个数加上30个，即可计算出实际每天生产的个数，再用实际每天生产的个数乘25天，即可计算出这批玩具加工订单的总数量，然后用这批玩具加工订单的总数量除以原计划每天生产的个数，即可计算出原计划完成订单任务需要多少天。
【详解】（150＋30）×25÷150＝180×25÷150＝4500÷150＝30（天）答：原计划完成订单任务需要30天。
【变式训练2】完成一项工程，在保证质量的情况下，甲工程队单独完成需要8天，乙工程队单独完成需要10天，丙工程队单独完成需要15天。现在要求最多只能是两个工程队合作，必须在5天内完成，你认为应由哪两个工程队合作？几天可以完成？
1．概念：把一定数量的物品分给一定数量的人，因分配标准不同，出现有余（盈）或不足（亏）的情况，求解物品数量和人数的问题，分一盈一亏、双盈、双亏三类。2．公式（1）一盈一亏：人数=（盈数+亏数）÷两次分配的差；（2）双盈：人数=（大盈－小盈）÷两次分配的差；（3）双亏：人数= （大亏－小亏）÷两次分配的差；
（4）物品总数=第一次分配的数量×人数+盈数；物品总数=第一次分配的数量×人数－亏数3．解题技巧（1）判断题型（一盈一亏/双盈/双亏），找出盈数、亏数、两次分配的差；（2）代入公式求出人数（份数）（核心量）；（3）结合分配标准，求出物品总数；
【典型例题】一圈金属线长30米，截取长度为A的金属线3根，长度为B的金属线5根，剩下的金属线如果再截取2根长度为B的金属线还差0.4米，如果再截取2根长度为A的金属线则还差2米，长度为A的等于几米？
【分析】根据剩下的金属线截取的方式可知，2根长度为A的金属线比2根长度为B的金属线长2－0.4＝1.6米，再除以2，即是1根长度为A的金属线比1根长度为B的金属线长0.8米；那么把5根长度为B的金属线换成5根长度为A的金属线，还差0.8×5＝4米；所以要做（3＋5＋2）根长度为A的金属线需金属线的总长为（4＋2＋30）米；最后用除法求出1根长度A的金属线的长度。
【详解】[（2－0.4）÷2×5＋2＋30]÷（3＋5＋2）＝[1.6÷2×5＋2＋30]÷10＝[0.8×5＋2＋30]÷10＝[4＋2＋30]÷10＝36÷10＝3.6（米）答：长度为A的等于3.6米。
【变式训练1】用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？
【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【详解】井深为：（48－16）÷（4－3）＝32÷1＝32（米）
绳长为：（32＋16）×3＝48×3＝144（米）答：绳长为144米，井深为32米。
【变式训练2】动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。一共有多少只猴子？
【分析】根据题意，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到，假设这两只猴子最后分到8只桃子，其余猴子分到9个，那么就需要其他猴子给他们每个分出来1个，正好够（2×8）16个，正好差3个桃子，说明没有那么多猴子，只能拿出来（16－3）个，也就是13个桃子，说明只有13个猴子再加上它们两个，一共15个猴子。
【详解】10－2＝8（个）8＋（8－3）＋2＝8＋5＋2＝13＋2＝15（只）答：一共有15只猴子。
1．概念：根据事物的重复排列规律，求解某一位置的事物、某类事物的数量的问题，核心是找周期、算余数。2．关键点（1）周期长度：一组重复排列的事物的个数；（2）余数判断：余数为1→周期第一个，余数为2→周期第二个……余数为0→周期最后一个。
3．解题技巧（1）分析已知条件，找出重复规律，确定周期长度；（2）列式计算：总个数÷周期长度=组数……余数；（3）根据余数判断结果（余数为0时，对应周期最后一个）；（4）求某类事物数量：组数×每组中该事物个数+余数中该事物个数（无余数则不加）。
【典型例题】某平台播放一部纪录片，播放情况如下：会员每周四至周日20：00更新，每天2集；非会员每周四至下周二20：00更新，每天1集。这部纪录片一共有29集，会员和非会员在同一周周四第一次更新。会员用户最早在第几周的周几能看到这部纪录片的最后一集？
【分析】根据分析可知，每天更新的集数×每周更新的天数＝每周更新的总集数，计算出每周能更新多少集；用总集数÷每周能更新的集数＝周数⋯⋯集数，计算出周数；有余数就需要将周数加1，再用余数除以每天更新的集数，就可得到天数，有余数也将天数加1，依次从周四开始往后数余数的天数。
【详解】4×2＝8（集）29÷8＝3（周）⋯⋯5（集）3＋1＝4（周）5÷2＝2（天）⋯⋯1（集）2＋1＝3（天）则最后5集分别在周四播2集，周五播2集，周六播1集。答：会员用户最早在第4周的周六能看到这部纪录片的最后一集。
【变式训练1】一串珠子按1颗灰色、2颗黑色、3颗白色的顺序排列。这串珠子中，第50颗是什么颜色？第73颗是什么颜色？
【分析】这串珠子的排列规律是“1颗灰色、2颗黑色、3颗白色”为一个循环周期，首先需要计算出一个周期内珠子的总数：1（灰）＋2（黑）＋3（白）＝6颗，即每6颗珠子为一个完整周期。要判断第n颗珠子的颜色，用n除以周期数6，得到余数（若余数为0，说明是周期最后一颗），再根据余数对应周期内的颜色位置（余数1→灰色，余数2/3→黑色，余数4/5/0→白色）确定颜色。
【详解】1＋2＋3＝650÷6＝8……273÷6＝12……1答：第50颗是黑色的，第73颗是灰色的。
【变式训练2】十二生肖就是大家说的属相，对应十二种动物，是一种历史悠久的文化符号。我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流表示属相。2023年是兔年，张老师是1990年出生的，请你推算一下张老师的是什么属相？
【分析】先算出从2023到1990年一共多少年，用2023减1990再加1得34，因为有12个生肖，即12年为生肖的1轮，所以用所得的差34除以12，余数是几，就从兔年倒着数到几，即可找到张老师的属相。
【详解】2023－1990＋1＝33＋1＝34（年）34÷12＝2……10（年）答：张老师的属相是马。