专题04 式与方程-2025学年小升初数学专题复习讲练

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知识点一
用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律
1.用字母表示数
（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人；
（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克。
2.用字母表示数量关系
（1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt；
（2）正比例关系： QUOTE yx=k yx=k（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。
3.用字母表示计算公式
（1）长方形的周长：C=2（a+b）；
（2）长方形的面积：S=ab；
（3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。
4．用字母表示运算定律
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c=ac+bc
重点提示：
（1）数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。
（2）两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2
知识点二
等式与方程
1.等式与方程的意义及关系
2.等式的性质
（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。
3.解方程
（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。
（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。
（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。
知识点三
列方程解应用题
1.列方程解应用题的优点。
先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。
2.列方程解应用题的一般步骤。
（1）弄清题意，找出未知数并用字母表示；
（2）根据题中数量间的相等关系列出方程；
（3）根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；
（4）检验写答。

一、选择题
1．（2024·福建莆田·小升初真题）已知“红球的个数比白球的2倍少3个”。设白球的个数为a个，则红球的个数是（ ）个。
A．（a－3）÷2B．（a＋3）÷2C．2a＋3D．2a－3
【答案】D
【分析】求红球的个数就是求比一个数的几倍少几的数是多少，用白球的个数乘2再减去3列式即可解答。
【详解】设白球的个数为a个，则红球的个数是（2a－3）个。
故答案为：D
2．（2024·四川成都·小升初真题）下面每组概念都是我们学过的重要知识，其中有（ ）组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。
①奇数和偶数 ②平行四边形和长方形
③平行和相交 ④等式和方程
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；
②在四边形中，两组对边都平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，长方形是特殊的平行四边形；
③同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；
④表示等号左右两边相等的式子是等式，含有未知数的等式叫做方程；据此解答。
【详解】①奇数不包含偶数，偶数也不包含奇数，不符合题意；
②长方形是特殊的平行四边形，符合题意；
③在同一平面内，只有两种位置关系，不是相交就是平行，不符合题意；
④等式不一定是方程，方程一定是等式，符合题意；
所以其中有2组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。
故答案为：B
3．（2024·福建莆田·小升初真题）如图，三个图形A、B、C中面积最大的是（ ）。
A．A图形B．B图形C．C图形D．三个图形面积一样大
【答案】A
【分析】根据题图可知，ABC三个图形的高是相等的，则可以假设三个图形的高都为h，根据三角形的面积＝ah÷2，平行四边形的面积＝ah，梯形的面积＝（a＋b）×h÷2，代入数据计算出ABC三个图形的面积，再进行比较即可。
【详解】假设三个图形的高都为h；
平行四边形的面积：7h
三角形的面积：12h÷2＝6h
梯形面积：（6＋7）h÷2
＝13h÷2
＝6.5h
7h＞6.5h＞6h
所以三个图形A、B、C中面积最大的是A图形。
故答案为：A
4．（2023·广西柳州·小升初真题）已知a大于0，下面四个算式的计算结果，最大的是（ ）。
A．B．a×C．a×D．a×
【答案】D
【分析】采用赋值法进行分析，假设a＝1，利用分数乘法和分数除法的计算法则，分别计算出各选项算式的结果，比较即可。
【详解】A．
＝
＝
＝
B．a×
＝1×
＝
C．a×
＝1×
＝
D．a×
＝1×（1×23）
＝23
即23＞＞＞，则已知a大于0，下面四个算式的计算结果，最大的是a×（1÷）。
故答案为：D
5．（2022·河北衡水·小升初真题）一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（ ）厘米。
A．πxB．πr＋2rC．πr＋rD．2πr＋2r
【答案】B
【分析】根据圆周长的一半加上一条直径等于半圆的周长，列式为：2πr÷2＋2r，再进行计算即可得出答案。
【详解】2πr÷2＋2r＝πr＋2r
据分析可知，一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（πr＋2r）厘米。
故答案为：B
6．（2024·四川绵阳·小升初真题）已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是（ ）。
A．100b＋aB．10b＋aC．b＋aD．1000a＋b
【答案】A
【分析】因为a是一个两位数，把b放在a的左边，相当于把三位数b扩大到原来的100倍，两位数a的大小不变，则用b的100倍加a，即可得到这个五位数。
【详解】据分析可知，已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是100b＋a。
故答案为：A
7．（2024·四川绵阳·小升初真题）有四个自然数，任意三个数相加，其和分别为24、30、33、36，那么这四个数的和为（ ）。
A．10B．41C．42D．43
【答案】B
【分析】用字母表示这四个自然数，已知任意三个数相加的和，用含字母的式子写出任意三个数相加的四种情况，与和的数字组成等式，将四个等式所有字母全部相加，发现是这四个数相加的和的3倍，据此求出这四个数的和。
【详解】设4个自然数为a、b、c、d；
①a＋b＋c＝24
②b＋c＋d＝30
③a＋b＋d＝33
④a＋c＋d＝36
①＋②＋③＋④可得：
a＋b＋c＋b＋c＋d＋a＋b＋d＋a＋c＋d＝24＋30＋33＋36
3（a＋b＋c＋d）＝24＋30＋33＋36
3（a＋b＋c＋d）＝123
a＋b＋c＋d＝123÷3
a＋b＋c＋d＝41
那么这四个数的和为41。
故答案为：B
8．（2024·四川绵阳·小升初真题）若a∶b＝2∶3，b∶c＝1∶2，且a＋b＋c＝66，则a＝（ ）。
A．16B．12C．18D．15
【答案】B
【分析】a∶b＝2∶3，则a是b的，a＝b；b∶c＝1∶2，则c是b的2倍，c＝2b。
由a＋b＋c＝66可得：b＋b＋2b＝66，根据等式的性质解出方程，即可求出b的值，再乘求出a的值。
【详解】通过分析可得：a＝b，c＝2b。
由a＋b＋c＝66，得：
b＋b＋2b＝66
b＝66
b＝66×
b＝18
a＝b
＝×18
＝12
则a＝12。
故答案为：B
9．（2024·浙江湖州·小升初真题）幻方是古老的数学问题，我国古代《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格。将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等。如表，表①就是一个幻方，表②是一个未完成的幻方，则m的值是（ ）。
①
②
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，称为幻和。
可以通过设一些空格为字母，将连通的一横行、一竖列或对角线上的三个数相加后相等，通过等式的关系求解。
根据幻方的特征可知，第一行数相加等于第一列数相加，即可求出第一列第3个数A的值；通过观察表①，可以发现中心的数始终等于两边的数的平均值，可以通过这个规律求出表②中心的数，然后求出幻和，再进一步解答即可。
【详解】如下图，设22下方的数字为A，22右边的数字为B。
①m＋22＋A＝m＋6＋20
解：m＋22＋A－m＝m＋6＋20－m
22＋A＝26
22＋A－22＝26－22
A＝4
②B＝（4＋20）÷2
＝24÷2
＝12
③4＋20＋12＝m＋6＋20
解：36＝m＋26
m＋26－26＝36－26
m＝10
则m的值是10。
故答案为：B
10．（2024·四川宜宾·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（ ）。
A．10B．12C．18D．21
【答案】A
【分析】根据“十位上的数字是个位上的”，可以设原来数字个位上的数是，那么十位上数字是；把十位上数字与个位上数字调换后，则新数个位上数字是，十位上的数字是；
根据“新数比原数大18”可得出等量关系：新数－原数＝新数比原数大的数，据此列出方程，并求解；
求出原来个位数字与十位数字之后，再相和即可求出它们的和。
【详解】解：设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字是。
（10＋）－（×10＋）＝18
－＝18
3＝18
＝18÷3
＝6
原来十位是：6×＝4
和是：6＋4＝10
则原来这个两位数个位与十位上数字的和是10。
故答案为：A
【点睛】明白两位数是“十位上的数字×10＋个位上的数字”组成，关键是得出原来两位数与新两位数的组成，再根据题意找出等量关系，按等量关系列出方程求解。
二、填空题
11．（2024·四川宜宾·小升初真题）某厂生产人数减去，而产量却增长20%。现在的生产效率是原来的( )%。
【答案】150
【分析】设原来的生产人数为a，则现在生产人数为（）a；原来的产量为1，则现在的产量为（1＋20%）；根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别表示出现在的生产效率和原来的生产效率，用现在的生产效率除以原来的生产效率即可。
【详解】现在的生产效率：
原来的生产效率：
因此现在的生产效率是原来的150%。
12．（2024·四川绵阳·小升初真题）桶里原有5千克水，又加入3勺水，每勺水重a千克，桶里现有水( )千克；如果a＝2，则桶里现有水( )千克。
【答案】 3a＋5 11
【分析】每勺水重a千克，3勺水重3a千克，再加上原有的5千克，即可求出桶里现有水多少千克；把a＝2代入所得的式子中计算即可解答。
【详解】通过分析可得：
桶里现有水（3a＋5）千克；
当a＝2时，3a＋5＝3×2＋5＝11（千克），则桶里现有水11千克。
13．（2024·四川宜宾·小升初真题）买一副羽毛球拍需要a元，买一副乒乓球拍需要35元。妈妈买3副羽毛球拍和1副乒乓球拍一共要付( )元，当a＝50时，则妈妈一共要付( )元。
【答案】 3a＋35 185
【分析】总价＝单价×数量，据此分别求出买3副羽毛球拍和1副乒乓球拍需要的钱数，再相加即可求出一共需要的钱数，再将a＝50代入需要总钱数的数量关系式即可解答。
【详解】3×a＋35＝（3a＋35）元
当a＝50时，
3×50＋35
＝150＋35
＝185（元）
妈妈买3副羽毛球拍和1副乒乓球拍一共要付元（3a＋35）元，妈妈一共要付185元。
14．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个半圆形区域的周长的大小等于它的面积的大小，这个半圆的半径是( )。（精确到0.01，π取3.14）
【答案】3.27
【分析】根据题意可知，半圆的周长的值＝圆的面积的一半的值，根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝πr＋2r，圆的面积公式S＝πr2，据此列出方程，并求解。
【详解】解：设半圆的半径为r。
3.14r＋2r＝3.14r2÷2
5.14r＝1.57r2
5.14＝1.57r
r＝5.14÷1.57
r≈3.27
这个半圆的半径是3.27。
15．（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？”
【答案】 54 29
【分析】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差＋4＝儿子现在的年龄，年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，所以爸爸＋儿子的年龄＝79＋4＝83，设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是（83－x）岁，再根据年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，列出方程解决问题。
【详解】解：设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是79＋4－x＝（83－x）岁，根据题意可得方程：
x－（83－x）＋x＝79
x－83＋x＋x＝79
3x－83＋83＝79＋83
3x＝162
3x÷3＝162÷3
x＝54
83－54＝29（岁）
现在爸爸54岁，儿子29岁。
【点睛】解决本题的关键是明确年龄差不变，再列方程解答。
16．（2023·陕西西安·小升初真题）昆虫爱好者发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下近似关系：t＝7h－21（t表示蟋蟀每分钟叫的次数，h表示当时的气温（℃）。根据这个式子，当蟋蟀每分钟叫189次时，当时气温达到( )℃。
【答案】30
【分析】将t＝189代入关系式t＝7h－21，解关于h的方程即可。
【详解】将t＝189代入关系式t＝7h－21
189＝7h－21
解：7h－21＋21＝189＋21
7h＝210
7h÷7＝210÷7
h＝30
当蟋蟀每分钟叫189次时，当时气温达到30℃。
17．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个两位数，将它的十位和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数最大的是( )。
【答案】69
【分析】设原数的十位上是A，个位上是B，则原数为10A＋B，个位和十位数字对调后的数为10B＋A。A、B≥1，则10B＋A－（10A＋B）＝9B－9A＝9（B－A）。根据题意，9（B－A）＝27，则B－A＝3，即原来个位上的数比十位上的数大3。这样的数有：14、25、36、47、58、69这6个，其中最大的两位数是69。
【详解】设原数的十位上是A，个位上是B。
10B＋A－（10A＋B）
＝10B＋A－10A－B
＝9B－9A
＝9（B－A）
＝27
由此可得：B－A＝3，这样的两位数有14、25、36、47、58、69，其中最大的是69。
【点睛】用含有字母的式子分别表示原数和新数，从而通过化简得到个位和十位上数字的关系是解题的关键。
18．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的23，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18，则原来这个两位数个位与十位上数字的和是( )。
【答案】10
【分析】根据“十位上的数字是个位上的”，可以设原来数字个位上的数是，那么十位上数字是；把十位上数字与个位上数字调换后，则新数个位上数字是，十位上的数字是；
根据“新数比原数大18”可得出等量关系：新数－原数＝新数比原数大的数，据此列出方程，并求解；
求出原来个位数字与十位数字之后，再相和即可求出它们的和。
【详解】解：设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字是。
（10＋）－（×10＋）＝18
－＝18
3＝18
＝18÷3
＝6
原来十位是：6×＝4
和是：6＋4＝10
则原来这个两位数个位与十位上数字的和是10。
【点睛】明白两位数是“十位上的数字×10＋个位上的数字”组成，关键是得出原来两位数与新两位数的组成，再根据题意找出等量关系，按等量关系列出方程求解。
19．（2023·陕西西安·小升初真题）现在是北京时间上午8点，再过( )分时，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。
【答案】
【分析】时针12小时走了360°，则平均每小时走30°，即60分钟走了30°，即每分钟走度，分针走一圈也就是60分钟走360°，即每分钟走度。
设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等，分针这时候走了6x度，则与“6”的夹角是（180－6x）°。当上午8点时，时针和“6”的夹角是60°，则时针x分钟后与“6”的夹角是（60＋0.5x）°。根据两个夹角相等得出方程，解方程即可。
【详解】解：设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等。
180－6x＝60＋0.5x
6x＋0.5x＝180－60
6.5x＝120
x＝120÷6.5
x＝
则再过分时，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。
【点睛】本题考查钟表问题，关键是明确时针和分针每分钟走的度数，再列方程解答。
20．（2024·四川绵阳·小升初真题）一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有( )人。（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同）
【答案】36
【分析】从“上午在乙工地工作的人数是甲工地的”可知：以这批工人的总人数为单位“1”，上午在甲工地工作的人数是这批工人的，上午在乙工地工作的人数是这批工人的，设这批工人有人，每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，则甲工地的工作量＝＋（1－），乙工地工作量＝＋＋4×2，根据甲工地的工作量＝乙工地工作量×1.5，列方程求解即可。
【详解】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1。
解：设这批工人有人。
＋（1－）＝（＋＋4×2）×1.5
＋＝（＋＋8）×1.5
＝（＋8）×1.5
＝×1.5＋8×1.5
＝＋12
－＝12
＝12
＝12÷
＝12×3
＝36
这批工人共有36人。
【点睛】此的关键是假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，根据甲工地的工作量＝乙工地工作量×1.5，设这批工人有人，列方程求解。
三、判断题
21．（2022·湖南娄底·小升初真题）如果a×b＝0，那么a和b一定都是0。( )
【答案】×
【分析】0乘任何一个数都得0，据此判断即可。
【详解】如果a×b＝0，那么a和b中有一个肯定是0，而不一定两个数都是0。原说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查0在乘法计算中的特性，要使两个数的积是0，只需要其中一个数是0即可。
22．（2022·甘肃天水·小升初真题）如果n是自然数，那么n＋1一定是奇数。( )
【答案】×
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；举例说明，进行判断。
【详解】例如：n＝1，则n＋1＝1＋1＝2，2是偶数；
n＝2，则n＋1＝2＋1＝3，3是奇数；
所以如果n是自然数，那么n＋1可能是偶数，也可能是奇数。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握奇数与偶数的意义以及含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数，再判断是奇数还是偶数。
23．（2017·宁夏固原·小升初真题）x2与2x表示的意义相同。( )
【答案】×
【分析】一个数乘2表示2个相同的数相加；一个数的平方表示两个相同的数相乘。据此解答。
【详解】x2表示两个x相乘，2x表示x的2倍，x2与2x表示的意义不同。
所以题干说法是错误的。
故答案为：×
【点睛】用字母表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。
24．（2019·全国·小升初真题）含有未知数的式子就是方程。( )
【答案】×
【分析】含有未知数的等式叫方程，方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数，据此分析。
【详解】如x＋2含有未知数，但不是等式，所以不是方程，原题说法错误。
故答案为：×
25．（2022·湖南邵阳·小升初真题）a和b是两个不为0的自然数，并且a＞b，则＞。( )
【答案】×
【分析】根据分子相同的分数的大小比较方法来判定。
【详解】因为a和b是两个不等于0的自然数，并且a＞b，再根据分子相同的两个分数，看分母，分母大的反而小，所以＜。
故答案为：×
【点睛】此题考查了学生对分数大小比较方法的运用。
26．（2023·河北邯郸·小升初真题）a2与2a比较（a≠0），a2一定大于2a。( )
【答案】×
【分析】a2表示2个a相乘，是a×a；2a表示2个a相加，是a＋a。可根据a2与2a表示的意义，采用举例子的方法进行判断。
【详解】当a＝1时，a2＝12＝1×1＝1，2a＝2×1＝2。因为1＜2，所以a2＜2a；
当a＝2时，a2＝22＝2×2＝4，2a＝2×2＝4。因为4＝4，所以a2＝2a；
当a＝3时，a2＝32＝3×3＝9，2a＝2×3＝6。因为9＞6，所以a2＞2a。
所以a2与2a比较（a≠0），a2不一定大于2a。即原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】明确a2与2a的区别是解决此题的关键。一个数的平方等于这个数乘这个数。
27．（2022·河南漯河·小升初真题）一个长方形的长增加20%，宽减少20%，其面积不变。( )
【答案】×
【分析】设长方形的长和宽分别是a和b，那么原来的面积为ab，现在的面积为（1＋20%）a×（1－20%）b，即0.96ab，进行比较即可解答。
【详解】设长方形的长为a，宽为b。
原来面积：
a×b＝ab
现在面积：
（1＋20%）a×（1－20%）b
＝1.2a×0.8b
＝0.96ab
ab＞0.96ab
故答案为：×
【点睛】解答本题的关键是求出长方形变化前后的面积，进而进行判断。
28．（2022·湖南怀化·小升初真题）三个连续奇数，最小的一个是a，则这三个数的和是3a＋4。( )
【答案】×
【分析】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数；根据奇数的意义可知，每相邻的两个奇数相差2，最小的奇数是a，中间的奇数是a＋2，最大的一个是a＋4；将三个数相加即为这三个连续奇数的和。
【详解】最小的奇数是a，中间的奇数是a＋2，最大的一个是a＋4；
a＋a＋2＋a＋4
＝（a＋a＋a）＋（2＋4）
＝3a＋6
三个连续奇数，最小的一个是a，则这三个数的和是3a＋6。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答本题的关键是理解奇数的意义，知道每相邻的两个奇数相差2。
29．（2014·全国·小升初真题）方程一定是等式，等式不一定是方程。( )
【答案】√
【分析】含有未知数的等式叫做方程；含有等号的式子叫做等式；据此判断。
【详解】如：x＋6＝9，是方程，也是等式；
2＋5＝7，是等式，不是方程；
所以方程一定是等式，等式不一定是方程。原题说法正确。
故答案为：√
30．（2024·四川巴中·小升初真题）5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。( )
【答案】√
【分析】由于5个连续的偶数和是m，由于相邻的两个偶数的和相差2，可知5个连续偶数的和其实相当于5个中间数的和，即用和除以5即可求出中间的数，由于最大的数比中间的数大4，用据此即可列式。
【详解】由分析可知：
5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。原题说法正确。
故答案为：√
四、计算题
31．（2024·四川巴中·小升初真题）解方程或解比例。
1.75∶
【答案】x＝20；x＝8
【分析】（1）在方程中，首先将百分数60%化为分数，则方程变为。然后将化为，化为，得到x＋x，即x＝22。两边同时÷，可求出x的值。
（2）在比例式中，根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”，可以得到7x＝1.75×32，计算1.75×32，然后两边同时÷7，最后计算出x的值。
【详解】
解：
1.1x＝22
1.1x÷1.1＝22÷1.1
x＝20
1.75∶
解：7x＝1.75×32
7x＝56
7x÷7＝56÷7
x＝8
32．（2024·四川乐山·小升初真题）求未知数。
x－x＝45 ∶x＝0.6∶
【答案】x＝144；x＝0.5
【分析】x－x＝45，先将左边合并成x，根据等式的性质2，两边同时÷即可；
∶x＝0.6∶，根据比例的基本性质，先写成0.6x＝×的形式，两边同时÷0.6即可。
【详解】x－x＝45
解：x＝45
x÷＝45÷
x＝45×
x＝144
∶x＝0.6∶
解：0.6x＝×
0.6x＝0.3
0.6x÷0.6＝0.3÷0.6
x＝0.5
33．（2024·浙江湖州·小升初真题）解方程。
3.2x－4×3＝52
【答案】x＝32；x＝6；x＝20
【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边同时减去2，再根据等式的性质2，两边再同时乘4；
（2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，根据等式的性质2，两边再同时乘2；
（3）先计算出4×3＝12，根据等式的性质1，两边同时加上12，再根据等式的性质2，最后两边再同时除以3.2。
【详解】（1）
解：2＋x－2＝10－2
x＝8
4×x＝8×4
x＝32
（2）
解：0.5x＝
0.5x＝3
2×0.5x＝3×2
x＝6
（3）3.2x－4×3＝52
解：3.2x－12＝52
3.2x－12＋12＝52＋12
3.2x＝64
3.2x÷3.2＝64÷3.2
x＝20
34．（2024·陕西西安·小升初真题）解方程。

【答案】x＝20；x＝3
【分析】（1）根据等式性质1方程两边同时加3，再根据等式性质2方程两边同时除以即可；
（2）先把方程化简为x＝2，再根据等式性质2方程两边同时除以即可。
【详解】x－3＝13
解：x－3＝13
x－3＋3＝13＋3
x＝16
x÷＝16÷
x＝16×
x＝20
解：x＝2
x÷＝2÷
x＝2×
x＝3
35．（2024·陕西西安·小升初真题）解方程。

【答案】x＝20；x＝3
【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边同时加上3，再根据等式的性质2，把方程两边同时乘即可解答；
（2）先把方程左边化简为x，再根据等式的性质2，方程两边同时乘即可解出方程。
【详解】
解：

x＝20
解：x＝2
x×＝2×
x＝3
36．（2023·陕西西安·小升初真题）求未知数x。

【答案】＝；＝6
【分析】（1）首先根据比例的基本性质化简为一般的方程，然后根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，两边同时除以即可，计算即可得解；
（2）首先根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。两边同时加上，然后根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，两边再同时除以即可。
【详解】（1）
解：
（2）
解：－＋＝0.25＋
＝1
＝1×6
＝6
37．（2023·陕西西安·小升初真题）解方程。

【答案】x＝2000；x＝1
【分析】（1）根据比例的基本性质可得：（0.6x＋400）×3＝（x＋400）×2，运用乘法分配律去掉括号得到：1.8x＋1200＝2x＋800，再根据等式的性质1，方程两边同时减去800，得1.8x＋400＝2x，根据和－一个加数＝另一个加数，可得：2x－1.8x＝400，把方程左边化简为0.2x后，根据等式的性质2，方程两边同时除以0.2即可解答；
（2）根据等式的性质2，方程两边同时乘6，得：6x－（x－3）×3＝18－（x＋2）×2，运用乘法分配律去掉括号可得：6x－3x＋9＝18－2x－4，化简方程两边得：3x＋9＝14－2x，再根据等式的性质1，方程两边同时减去9，得：3x＝5－2x，方程两边同时加上2x，得：5x＝5，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可解答。
【详解】
解：（0.6x＋400）×3＝（x＋400）×2
0.6x×3＋400×3＝2x＋400×2
1.8x＋1200＝2x＋800
1.8x＋1200－800＝2x＋800－800
1.8x＋400＝2x
2x－1.8x＝400
0.2x＝400
0.2x÷0.2＝400÷0.2
x＝2000
解：6x－（x－3）×3＝18－（x＋2）×2
6x－3x＋9＝18－2x－4
3x＋9＝14－2x
3x＋9－9＝14－9－2x
3x＝5－2x
3x＋2x＝5－2x＋2x
5x＝5
5x÷5＝5÷5
x＝1
38．（2023·陕西西安·小升初真题）解方程。
8.5＋65%x＝15
【答案】x＝18；x＝10；x
【分析】首先根据比例的基本性质化简为方程：0.2x＝18，然后根据等式的性质，两边同时除以0.2即可；
根据等式的性质，方程两边同时减去8.5，然后再同时除以0.65求解；
根据等式的性质，方程两边同时加上x，然后再同时减去，最后再同时求解。
【详解】
解：0.2x＝18
0.2x＝3.6
0.2x÷0.2＝3.6÷0.2
x＝18
8.5＋65%x＝15
解：8.5＋65%x－8.5＝15－8.5
0.65x＝6.5
0.65x÷0.65＝6.5÷0.65
x＝10
解：1x
x＝1
x＝1
x＝×
x
39．（2023·陕西西安·小升初真题）解方程或比例。
1.2x＋2x＝4.8
【答案】x＝1.5；x＝；x＝
【分析】（1）先把方程左边化简为3.2x，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以3.2；
（2）先把方程左边化简为0.25x，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以0.25；
（3）根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，先把比例化为方程，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍然成立，两边再同时除以13。
【详解】（1）1.2x＋2x＝4.8
解：3.2x＝4.8
3.2x÷3.2＝4.8÷3.2
x＝1.5
（2）x－75%x＝
解：25%x＝
0.25x＝
0.25x÷0.25＝÷0.25
x＝
x＝
（3）
解：x＝
x＝
x＝
40．（2024·陕西西安·小升初真题）解方程。
2.5x÷3＝1.9 ∶2
【答案】x＝2.28；x＝0.15；x＝
【分析】（1）先在等式的左右两边同时乘3，再同时除以2.5即可；
（2）先将方程转换成比例，利用比例内项的乘积等于外项的乘积将比例转换成方程，再在等式的左右两边同时除以8即可；
（3）利用比例内项的乘积等于外项的乘积将比例转换成方程，再在等式的左右两边同时除以即可。
【详解】2.5x÷3＝1.9
解：2.5x÷3×3＝1.9×3
2.5x＝5.7
2.5x÷2.5＝5.7÷2.5
x＝2.28
解：x∶0.4＝3∶8
8x＝0.4×3
8x÷8＝1.2÷8
x＝0.15
∶2
解：x＝×2
x÷＝÷
x＝×
x＝
五、解答题
41．（2024·四川巴中·小升初真题）小明的爸爸每天坚持晨跑锻炼，平均每天跑5千米，比小明平均每天跑的路程的2倍多0.8千米，小明平均每天跑多少千米？（用方程解答）
【答案】2.1千米
【分析】从“爸爸跑的5千米比小明跑的路程的2倍多0.8千米”可得：小明平均每天跑的路程×2＋0.8＝爸爸每天跑的路程，设小明平均每天跑千米，根据等量关系列方程求解即可。
【详解】解：设小明平均每天跑千米。
2＋0.8＝5
2＋0.8－0.8＝5－0.8
2＝4.2
2÷2＝4.2÷2
＝2.1
答：小明平均每天跑2.1千米。
42．（2024·四川绵阳·小升初真题）园林绿化队要栽一批树苗，第一天栽了210棵，第二天栽了剩下的20%，两天后还有总数的没有完成，这批树苗一共多少棵？
【答案】420棵
【分析】第一天栽了210棵，可以设这批树苗一共x棵，剩下（x－210）棵，第二天栽了剩下的20%，求一个数的百分之几用乘法，则第二天栽了20%（x－210），两天后还有总数的没有完成，将总数看成单位“1”，则完成了总数的，也就是x，根据数量关系式：第一天载的棵树＋第二天载的棵数＝两天一共载的棵数。
【详解】解：设这批树苗一共x棵。
210＋20%（x－210）＝（1－）x
210＋20%x－42＝x
168＋20%x＝x
x－20%x＝168
x＝420
答：这批树苗一共420棵。
43．（2024·浙江湖州·小升初真题）一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克，比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克。求一片国槐树叶一年的平均滞尘量。
【答案】22毫克
【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量是x毫克，由“一片银杏叶一年比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克”知：一片国槐树叶一年的平均滞尘量×2－4毫克＝一片银杏树叶一年的平均滞尘量，再根据等量关系列方程解答即可。
【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量是x毫克。
2x－4＝40
2x－4＋4＝40＋4
2x＝44
2x÷2＝44÷2
x＝22
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量是22毫克。
44．（2024·陕西西安·小升初真题）班级图书角的故事书本数是科普书本数的80%。买来16本故事书后，故事书与科普书一样多，班级图书角有科普书多少本？
【答案】80本
【分析】由于买来16本故事书后，故事书与科普书的本数一样多，那么可知科普书比故事书多了16本，可以设科普书本数有x本，将科普书的本数看作为单位“1”，则故事书本数是80%x本，用科普书的本数－故事书的本数＝16本，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。
【详解】解：设科普书有x本。
x－80%x＝16
20%x＝16
x＝16÷20%
x＝80
答：班级图书角有科普书80本。
45．（2022·陕西西安·小升初真题）甲、乙、丙三位志愿者在一次救灾募捐中积极捐款，乙的捐款数比甲的2倍少100元，丙的捐款数比甲、乙两人的捐款数的和少300元，甲的捐款数是丙的，那么甲捐款多少元？
【答案】800元
【分析】根据题意，设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。则根据甲的捐款数是丙的，列出方程解方程即可解答。
【详解】设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。





答：甲捐款800元。
【点睛】本题考查了列方程解决问题的方法，找到等量关系解方程是解题关键。
46．（2024·陕西西安·小升初真题）刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是2∶7，如果再加工55个零件就可以完成这批零件的60%。这批零件一共有多少个？
【答案】175个
【分析】设这批零件一共有x个；已加工的零件个数与这批零件总个数的比是2∶7，由此可知，已加工的零件个数占这批零件总个数的，即已加工了x个；如果再加个55个零件就可以完成60%，即已加工的零件个数＋55个＝这批零件总个数×60%，列方程：x＋55＝60%x，解方程，即可解答。
【详解】解：设这批零件一共有x个。
x＋55＝60%x
60%x－x＝55
x－x＝55
x－x＝55
x＝55
x＝55÷
x＝55×
x＝175
答：这批零件一共有175个。
47．（2024·四川绵阳·小升初真题）浓度为20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%的盐水多30克，问每种盐水多少克？
【答案】50克；40克；10克
【分析】为方便分析：我们假设20%的盐水为A，18%盐水为B，16%的盐水为C，
“18%的盐水比16%的盐水多30克”，设C盐水有x克，则B盐水有（x＋30）克，又因为混合后共100克，则A盐水有：100－x－（x＋30）＝（70－2x）克；
用每种盐水：各自的质量×各自的浓度＝各自盐的重量；把所有盐的质量相加等于“混合后得到100克18.8%的盐水”中盐的重量。根据盐的质量相等这个等量关系列方程解答。
【详解】假设20%的盐水为A，18%的盐水为B，16%的盐水为C，
设C盐水有x克，则B盐水有（x＋30）克， A盐水有：100－x－（x＋30）＝（70－2x）克
根据“盐质量的总量不变”，列方程得：
20%×（70－2x）＋18%（x＋30）＋16%×x＝100×18.8%
0.2×（70－2x）＋0.18（x＋30）＋0.16×x＝100×0.188
14－0.4x＋0.18x＋5.4＋0.16x＝18.8
19.4－0.06x＝18.8
19.4－0.06x＋0.06x＝18.8＋0.06x
18.8＋0.06x＝19.4
18.8＋0.06x－18.8＝19.4－18.8
0.06x＝0.6
x＝10
则B盐水：10＋30＝40（克）
A盐水：100－10－40＝50（克）
答：20%盐水用了50克，18%盐水用了40克，16%盐水用了10克。
【点睛】盐水浓度＝盐的质量÷水的质量；
盐的质量＝水的质量×盐水浓度；
水的质量＝盐的质量÷盐水浓度
关键等量关系：混合前后的盐质量的总量不变
48．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列货车从甲地开往乙地，如果按原速度行驶，将不能准时到达乙地，如果把车速提高，可以比原定时间早一小时到达；如果以原速度行驶206千米后，再将速度提高，则可提前40分钟到达，那么甲乙两地间的距离是多少千米？
【答案】463.5千米
【分析】将原速度看作单位“1”，把车速提高，速度变为原来的1＋＝，因为速度×时间＝路程，因此用的时间变为原来的，将原定时间看作单位“1”，现在的时间比原来少了（1－），早到达的时间÷对应分率＝原定时间，据此可以求出原定时间是6小时。
设原来的车速是每小时千米，则总路程是6千米，原速度行驶路程÷原速度＝行驶206千米用的时间，总路程－原速度行驶路程＝剩余路程，此时速度提高，此时速度为每小时千米，剩余路程÷提速后的速度＝剩余路程用的时间，根据行驶206千米用的时间＋剩余路程用的时间＝原定时间－提前的时间，列出方程求出x的值，是原速度。原速度×原时间＝甲乙两地间的距离。
【详解】把车速提高，速度变为原来的：1＋＝
用的时间变为原来的：
原来行驶的时间是：
1÷（1－）
＝1÷
＝1×6
＝6（小时）
40分钟＝小时
解：设原来的车速是每小时千米。
77.25×6＝463.5（千米）
答：甲乙两地间的距离是463.5千米。
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
49．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？
【答案】70元
【分析】把商品原来每件的定件100元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的5%，则每件减少了100×5%＝5元；
已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了20件，加上原来订购的80件，现在一共订购100件；
根据“获得的利润反而比原来多100元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数－原来每件商品的利润×原来订购的件数＝降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解；
最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价。
【详解】减价：100×5%
＝100×0.05
＝5（元）
多订购的件数：5÷1×4＝20（件）
降价后共订购：80＋20＝100（件）
解：设原来每件商品的利润为元。
（－5）×100－80＝100
100－500－80＝100
20－500＝100
20＝100＋500
20＝600
＝600÷20
＝30
100－30＝70（元）
答：这种商品的成本是70元。
【点睛】关键是抓住降价前后利润的变化，找出等量关系，根据等量关系列方程解决问题。
50．（2023·陕西西安·小升初真题）一艘货轮要把货物从下游的A地运往上游的B地，同时从B地有一条无动力漂流观景船同时出发，随江水漂向A地。货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达B地。一周后，货轮和观景船仍然分别从A地和B地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也提高了一半，结果货轮行驶了千米后遇到观景船。求AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静水速度？
【答案】路程96千米；货轮原先的静水速度18千米/小时
【分析】设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米，
第一次相遇用时，
第二次相遇用时 ，即
又知道第二次的水速是第一次的2倍，即第一次漂流的速度与第二次漂流的速度的比是1∶2
根据因此，两次漂流距离比为
，解方程可得AB两地之间的路程为96千米。
根据用（千米/时）货轮原先的逆流速度，再根据，用得到第一次相遇的时间，再根据用漂流观景船的路程除以遇上时间得水流速度，再加货轮的逆流速度即可得货轮原先的静水速度。据此解答。
【详解】解：设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米，
第一次相遇用时，
第二次相遇用时
即两次漂流距离比为
（千米/时）
（千米/小时）
答：AB两地之间的路程为96千米；货轮原先的静水速度为18千米/小时。
【点睛】轮船逆流的速度等于它的静水速度减水流速度，根据相遇问题、一般的路程问题的关系式，确定两次漂流距离的比。
目 录
第一部分
知识结构导图
第二部分
专题知识梳理
第三部分
真题复习精练
（选择题、填空题、判断题、计算题、解答题）
意义
关系
等式
表示相等关系的式子叫作等式
所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程
方程
含有未知数的等式叫作方程
4
9
2
3
5
7
8
1
6
m
6
20
22
m
6
20
22
B
A