第八章 第七节 抛物线-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题）

这是一份第八章 第七节 抛物线-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题），共7页。PPT课件主要包含了p-x1-x2，y1+y2+p，抛物线定义的应用策略，y2＝4x，ABC，由题意，ACD等内容，欢迎下载使用。
1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的______.(2)其数学表达式:{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)(2)y2＝2px(p>0)中p越大，抛物线的开口越大.(　　)(3)抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形.(　　)(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.(　　)
(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
4.(人教B选修一P164例2改编)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为　　　　. 
考点聚焦突破
例1 (1)设圆O:x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离与到l的距离相等，则动点P的轨迹方程为(　　)A.x2＝8yB.x2＝16yC.y2＝8xD.y2＝16x
已知圆O:x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，则A(0，2)，B(0，－2)，又过点B作圆O的切线l，则切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离与到l的距离相等，由抛物线的定义可得，动点P的轨迹是以(0，2)为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.
(2)已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，B为圆M:(x－3)2＋(y－1)2＝1上一点，则|AB|＋|AF|的最小值为______. 
依题意抛物线C的准线方程为x＝－1，圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(3，1)，半径为1，过A作AA'垂直于抛物线C的准线，垂足为A'，则|AF|＝|AA'|，所以|AB|＋|AF|＝|AB|＋|AA'|≥|AM|＋|AA'|－1≥|A'M|－1≥3，当A，A'，M三点共线，且点B在A，M之间时等号成立.
训练1 (1)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是(　　)A.4B.6C.7D.9
直线l:x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，
例2 (1)(2026·南京模拟)在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞机库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系xOy中，如图2.已知该飞机库的底面宽度约为96 m，高度约为60 m，则此纵截面所在抛物线的方程为 (　　)
(2)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上且位于第一象限，AB⊥l于点B，若|AF|＝|BF|＝4，则抛物线C的标准方程为____________. 
求抛物线标准方程的方法(1)定义法:根据题意只需求出p即可.(2)待定系数法:对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程设为y2＝ax(a≠0);焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0).
训练2 如图所示的星载天线展开后形成一把直径(口径)为4.2 m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处.若“金色大伞”的深度为0.49 m，则“金色大伞”的边缘点A到焦点F的距离为(　　)
m mC.4.5 m m
例3 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　)A.3B.4C.5D.6
根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，所以A(4，4)，所以|AF|＝4＋1＝5.
1.焦点弦与焦半径公式是常用的几何性质，但需注意它们各自有四种不同的表达形式.2.解决有关抛物线的最值问题主要有两种方法(1)定义法:利用抛物线的定义，进行点到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，再利用几何意义解决.(2)函数法:利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含某一变量的代数式，转化为求函数的最值.
如图,过点P作准线的垂线,垂足为P',
根据抛物线的对称性以及AB为线段OP的垂直平分线,
5.中国古代桥梁的建筑艺术,有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为(　　)
以拱桥顶点为原点,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知,抛物线经过点A(-4,-2)和点B(4,-2),
抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2.设M(x0,y0),由抛物线的定义可知,点M到焦点F(2,0)的距离等于其到准线x=-2的距离,所以|MF|=x0+2=8,所以x0=6.
因为|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,|F1F2|=2c,所以|PF1|+|PF2|=6c,又点P在双曲线上且在第一象限,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=3c+a,|PF2|=3c-a,
9.(2026·广西六校联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,设O为坐标原点,则(　 　)A.p=2B.y1y2=-1C.|AF|·|BF|≥4D.若B在抛物线准线上的射影为B',则A,O,B'三点共线
由焦点F到准线的距离为2,可得p=2,故A正确;由p=2得抛物线的方程为y2=4x,F(1,0),
设过点F的直线方程为x=my+1,与抛物线的方程联立,可得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,故B错误;由抛物线的定义可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=-4m2+8m2+4=4(m2+1)≥4,当m=0时,取得等号,故C正确;
三、填空题10.(2025·北京卷)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p=　　　. 
11.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状,碗盖深为3 cm,碗盖口直径为8 cm,碗体口直径为10 cm,碗体深6.25 cm,则盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)　　　　. 
以碗体的最低点为原点,向上的方向为y轴正向,建立平面直角坐标系,如图所示.
设碗体的抛物线方程为x2=2py(p>0),将点(5,6.25)代入,得52=2p×6.25,
解得p=2,则x2=4y,设盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm,则两抛物线在第一象限的交点为(4,h-3),代入到x2=4y,得42=4(h-3),解得h=7.
四、解答题13.已知动点M与点F(2，0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等.(1)求动点M的轨迹方程;
由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
(2)求点M与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.
14.已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P(2，2)，以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0，1)，记M，N为圆C2与x轴的两个交点.(1)求抛物线C1的方程;
由题意设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，代入P(2，2)，得p＝1，所以抛物线C1的方程为x2＝2y.
(2)当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为定值?请证明你的结论.