2027届高考数学一轮总复习8.7抛物线（课件）

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1.抛物线的定义我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的____,直线l叫做抛物线的____.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
考点1 抛物线的定义及应用【例1】　(1)(苏教版选择性必修第一册P113练习T6改编)若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为 (　 　)A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y【解析】　由题意,知点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离,由抛物线的定义可知,点P的轨迹是以点(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,所以点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.
1.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义简捷、直观地求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向.在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,因此只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【对点训练1】　(1)(2025·全国二卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|= ( 　 　)A.3B.4C.5D.6
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
(2)过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,求直线l的方程.【解】由(1)知,抛物线的焦点为F(2,0), 若直线l的斜率不存在,则A(2,4),B(2,-4),则|AB|=8,不满足题意,所以直线l的斜率存在且不为零,如图,设l:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
1.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则可以选用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系,采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
1.(5分)(2025·北京朝阳区二模)若抛物线C:x2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,-1),则抛物线C的准线方程为 (　 　)A.x=2B.x=1C.y=2D.y=1解析:因为抛物线C:x2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,-1),所以抛物线的方程为x2=-4y,准线方程为y=1.故选D.
2.(5分)(2025·河南焦作二模)如图,曲线AOB是抛物线C:x2=4y的一部分,且曲线AOB关于y轴对称,|AB|=4,则点B到C的焦点的距离为 (　 　)A.4B.3C.2D.1解析:由抛物线的标准方程可知,焦点为(0,1),因为|AB|=4,A,B关于y轴对称,所以点B的横坐标为2,则点B(2,1),所以点B(2,1)到C的焦点(0,1)的距离为2.故选C.
8.(6分,多选)(2025·广东广州三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线l与x轴交于点A,O为坐标原点,过F的直线与C交于B,D两点,过B,D作l的垂线,垂足分别为E,G,则(　 　)A.若直线BD的斜率为1,则|BD|=8B.以BD为直径的圆与y轴相切C.EF⊥GFD.B,O,G三点共线
13.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F在直线x+2y-4=0上,过F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AB|·|AF|的最小值为 (　 　)A.36B.54C.82D.108