2027届高考数学一轮总复习8.7抛物线【课件】

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课标解读　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　　　的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的　　　　　,直线l叫做抛物线的　　　　　. 
2.抛物线的标准方程与几何性质
[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线与抛物线相交,则有2个公共点.(　　)(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(　　)(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.(　　)(4)抛物线y2=2px(p>0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(　)
解析 当直线与抛物线的对称轴平行时,直线和抛物线相交于一点,所以错误.
解析 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p,此弦长也称为通径长,所以错误.
解析 当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一个公共点,此时不相切,所以错误.
2.(人A选一教材例题改编)抛物线y2=4x的焦点坐标是(　　)A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)
解析 由题意知,抛物线的准线方程为y=-1,所以由抛物线的定义知,点A到抛物线焦点的距离为5.故选D.
考点一　抛物线的定义及应用
例1　(1)已知点F(0,1),动点M在直线l:y=-1上,过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为(　　)A.x2=-4yB.x2=4yC.x2=-2yD.x2=2y
(方法二　几何定义法)由题意知,点P到点F(0,1)的距离等于其到直线y=-1的距离,则点P的轨迹为以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,则曲线C的方程为x2=4y.故选B.
解析 已知抛物线的方程为x2=8y,可得p=4,所以焦点为F(0,2),准线为l:y=-2.抛物线上一点A(x0,y0)到焦点F的距离等于其到准线l的距离,即|AF|=y0+2,又因为A到x轴的距离为y0,由已知得y0+2=2y0,解得y0=2.故选D.
规律方法　“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径.
[对点训练1](2026·湖北名校联考)已知抛物线C:4x-my2=0恰好经过圆M:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心,则抛物线C的焦点坐标为(　　)A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)
解析 由已知,圆M:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心为M(1,2),因为点M在抛物线C:4x-my2=0上,所以4×1-m×22=0,解得m=1,所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点在x轴正半轴上,且2p=4,所以焦点坐标为(1,0).故选B.
考点二　抛物线的标准方程
(2)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,第一象限内的点A在E上,AB垂直l于点B,BF交y轴于点C,若|AF|=2|BC|=4,则抛物线的标准方程为　 . 
解析 由题意知C为BF的中点,因为|AF|=|AB|,所以AC与BF垂直.因为|AF|=2|BC|=4,所以∠CAF=30°,所以∠BAF=60°.
规律方法　求抛物线的标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法:当焦点位置不确定时,分情况讨论.
[对点训练2](1)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(3,m)在抛物线C上,且|MF|=4,则抛物线C的方程为(　　)A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x
(2)“米”是象形字,数学探究课上,某同学用抛物线C1:y2=-2px(p>0), C2:y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案,如图所示,若抛物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在抛物线C1上,过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=2|PQ|=8,则p=(　　)
A.4B.6C.8D.12
考点三　抛物线的几何性质
角度3　与抛物线有关的最值问题例5　(2026·福建模拟)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则△FAB的周长的最小值为(　　)A.8B.10C.12D.16
解析 由△FAB的周长为|AB|+|BF|+|AF|,若BD垂直抛物线准线于点D,则|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|,而F(0,2),A(4,5),所以|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+5,要使周长最小,即|AB|+|BD|最小,当且仅当A,B,D三点共线时,取最小值为7,所以最小周长为12.故选C.
规律方法　与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,根据“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
解析 过点P作PQ⊥抛物线C的准线l:y=-1于点Q,由抛物线定义可得|PQ|=|PF|,则|PN|+|PF|=|PN|+|PQ|≥|NQ|,
当且仅当N,P,Q三点共线,NQ⊥抛物线C的准线,即xP=1时,|PN|+|PQ|有最小值2.故选B.
教材衍展　阿基米德三角形
1.定义:如图所示,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作抛物线的切线交于点P,称△PAB为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边.
2.常用性质:(1)阿基米德三角形底边上的中线MQ(M为AB中点)平行(或重合)于抛物线的对称轴.(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线.(3)抛物线以C点为中点的弦平行于点Q的轨迹.
典例1已知过抛物线x2=16y焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,过点A,B处的切线交于点P,若点P的横坐标为2,则直线AB的方程为(　　)A.x+2y-8=0B.x-2y+8=0C.x-4y+16=0D.x+4y-16=0
[对点训练1]若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.若直线l的方程为ax+by+c=0,抛物线方程为y2=2px(p>0),则定点的坐标为　　　　　.