26.1　二次函数的概念（课件）-2026-2027学年人教版(2024)数学九年级上册

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1．一次函数的一般形式：______________．
2．正比例函数的一般形式：______________．
3．想一想：正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间有什么关系呢？
y＝kx＋b(k≠0)
用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y(单位：m2)会随矩形一边长 x(单位: m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.
根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y = x(20 − x) ，
即 y = −x2 + 20 x .
这是一个不同于一次函数的新函数.
问题1 n支球队参加比赛, 每两队之间进行1场比赛, 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？
问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？
问题2中前后两年的产量间存在怎样的关系？
原产量为20 t，一年后的产量是多少？两年后的产量是多少？
20(1+x)(1+x)t
对式子y＝20(1＋x)2，y是x的函数吗？
y = 20(1+x)2
式子表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.
观察这些函数，它们有什么共同点？
②函数解析式都是整式；
③自变量的最高次数都是2.
它们应该属于几次函数？
ax2+bx+c=0(a≠0)
y=kx+b(k，b是常数，k≠0)
一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）函数解析式是整式；
（2）化简整理后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0，即a≠0.
二次函数解析式必须同时满足的三个条件：
y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0)
当c=0时， y=ax2+bx(a≠0)
当b=0时， y=ax2+c(a≠0)
一次项系数、常数项可以为0.
例 （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.
圆柱表面积 = 圆柱底面积 + 圆柱侧面积
S = 2πr2 + 2πr · r
（2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x. 写出两年后产品的年销售量y（単单位；万件）关于x的函数解析式，
一年后产品的年销售量为：
两年后产品的年销售量为：
y = 8x2 − 16 x + 8
一般地，形如y＝_____________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别为函数解析式的____________、____________和____________．
(1)关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；
(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件．若a＝0，b≠0，则它是一次函数．
判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．
解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，
已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，当m为何值时：
(1)函数是一次函数？ (2)函数是二次函数？
解：(1)当m＝－3时，
函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函数．
函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．
某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．
解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)件，
则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，
即y＝－100x2＋600x＋5 500 (0＜x＜11).
1. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) y = 8x2−16x + 8; (2) y = x2:
y = 2x2 − 4x − 3
2.如图，矩形绿地的两边长各增加 xm，扩充后的绿地面积为 ym2. 写出 y关于 x的函数解析式.
y = (30+x)(20+x)
=x2 +50x + 600
y关于 x的函数解析式为：
y = x2 +50x + 600 (x≥0)
4．已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝______，一次项系数b＝______，常数项c＝______．
1．请叙述二次函数的定义及一般形式．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①解析式为整式； ②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0.
3．自变量x的取值范围为全体实数．
3、某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是 .
y = 2(1−x)2