2027届高三数学一轮复习试题规范练53椭圆（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练53椭圆（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知曲线C，设椭圆C1，已知椭圆C，已知椭圆E，设椭圆C，故选A等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8.若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( )
A.直线B.线段C.圆D.椭圆
2.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)和一动点P,若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为( )
A.x216+y29=1B.x24+y23=1
C.x216−y29=1D.y24+x23=1
3.(2024·新高考Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
A.x216+y24=1(y>0)B.x216+y28=1(y>0)
C.y216+x24=1(y>0)D.y216+x28=1(y>0)
4.(2023·新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=( )
A.233B.2C.3D.6
5.(2025·江西新余模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(00)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为23,过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M,N两点,△MNF2的周长为12,则椭圆C的标准方程是( )
A.x23+y2=1B.y23+x2=1C.x29+y25=1D.y29+x25=1
8.(多选题)(2025·湖南长沙雅礼中学模拟)已知椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆E上的一个动点,则下列说法正确的有( )
A.椭圆E的长轴长为5B.椭圆E的离心率为45
C.1≤|PF1|≤9D.恰好存在两个点P使得PF1·PF2=0
9.(2025·四川凉山州模拟)点M在椭圆x249+y224=1上,F是椭圆的一个焦点,N为MF的中点,O为坐标原点,|ON|=4,则|OM|= .
综合提升练
10.(2025·湖南岳阳模拟)设椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,cs∠F1PF2=35,∠F1PF2的平分线与x轴交于点A,则|PA|=( )
A.3B.23
C.3104D.354
11.(2025·湖南长沙模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,B为椭圆C的上顶点,直线BF1与椭圆C交于另一点E,且BF2⊥EF2,则椭圆C的离心率为( )
A.55B.12
C.14D.15
12.已知曲线M:x2+(y-3)2+x2+(y+3)2=4,圆N:(x-5)2+y2=1,若A,B分别是曲线M,圆N上的动点,则|AB|的最小值是( )
A.2B.22C.3D.2+3
13.(2025·山东泰安模拟)已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点,M,N是椭圆上的点,O为坐标原点.若四边形OPMN满足OM=OP+ON,∠PON∈(2π3,5π6),则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0,23)B.(0,223)
C.(0,32)D.(63,1)
14.(2025·安徽合肥模拟)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在椭圆C上,则1|MF1|+1|MF2|的最小值为 .
15.(2021·全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
参考答案
课时规范练53 椭圆
1.B 解析 动点M到F1,F2两点的距离之和等于8,而8正好等于两定点F1,F2之间的距离,则动点M的轨迹是以F1,F2为端点的线段.
2.B 解析 ∵F1(-1,0),F2(1,0),∴|F1F2|=2.∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,∴点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,且该椭圆的长轴长2a=4,a=2,半焦距c=1,∴短半轴长b=3,因此,椭圆的方程是x24+y23=1.故选B.
3.A 解析 设P(x0,y0)(y0>0),
则P'(x0,0),设M(x,y),则x=x0,y=y02,又x02+y02=16,所以x2+4y2=16,即x216+y24=1(y>0).故选A.
4.A 解析 由题意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,c=a2-b2=a2-1,∴e1=ca=a2-1a.在C2:x24+y2=1中,a=2,b=1,c=a2-b2=3,∴e2=ca=32.∵e2=3e1,∴32=3×a2-1a,解得a=233.故选A.
5.C 解析 连接F2A,则由中垂线的性质|AF2|=|F1F2|.
又∠AF1F2=π3,所以△AF1F2为等边三角形.
由椭圆的对称性,A为其上顶点,所以a=2c⇒e=12.故选C.
6.C 解析 如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=a2+b2,
由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=ca>0,得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=5-12.
7.D 解析 如图,依题意,△MNF2的周长为4a=12,a=3.设椭圆C的半焦距为c,因为椭圆C的离心率为23,所以e=ca=23,解得c=2.所以b=a2-c2=32-22=5.故椭圆C的标准方程为y29+x25=1.故选D.
8.BC 解析 对于椭圆E:x225+y29=1,a=5,b=3,c=4,故椭圆的长轴长为2a=10,故A错误;椭圆的离心率为e=ca=45,故B正确;点P(x0,y0)是椭圆E上的一个动点,则a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤|PF1|≤9,故C正确;由PF1·PF2=0可知点P位于以F1F2为直径的圆上,F1(-4,0),F2(4,0),则该圆的方程为x2+y2=16,与x225+y29=1联立,解得x=±574,y=±94,则P(574,94)或P(574,-94)或P(-574,94)或P(-574,-94),故满足题意的点P有4个,故D错误.故选BC.
9.5 解析 对于椭圆x249+y224=1,a=7,b=26,c=5,设左焦点为F1,右焦点为F,连接ON,MF1.
因为N为MF的中点,O为F1F的中点,|ON|=4,所以|F1M|=8,|MF|=2a-8=14-8=6,|F1F|=10,所以∠F1MF=90°,所以|OM|=12|F1F|=5.
10.D 解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4.
在△F1PF2中,4=|F1F2|2=m2+n2-2mncs∠F1PF2=16-165mn,则mn=154.
不妨令点P在第一象限,则可得m=52,n=32,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,则PF2⊥F1F2.
由PA平分∠F1PF2,得|AF2||AF1|=|PF2||PF1|=35,而|AF2|+|AF1|=2,则|AF2|=34.
所以|PA|=(34) 2+(32) 2=354.故选D.
11.A 解析 如图, 由题意可知|BF1|=|BF2|=a,设|EF1|=m,则|EF2|=2a-m.
因为BF2⊥EF2,所以由勾股定理可得|BF2|2+|EF2|2=|BE|2,即a2+(2a-m)2=(a+m)2,解得m=23a.
故|BE|=a+m=53a,所以cs∠F1BF2=|BF2||BE|=a5a3=35,由余弦定理可得cs∠F1BF2=
|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|22|BF1|·|BF2|=2a2-4c22a2=35,即1-2e2=35,又00),将点N的坐标代入椭圆方程可得t=32b.
因为∠PON∈(2π3,5π6),设α为直线ON的倾斜角,则α∈(π6,π3),所以tan α=ta2=32ba2=3ba∈(33,3),所以ba∈(13,1),所以e=ca=1-(ba) 2∈(0,223).所以椭圆离心率的取值范围为(0,223).故选B.
14.23 解析 F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在椭圆C上,|MF1|+|MF2|=6,所以1|MF1|+1|MF2|=16×(1|MF1|+1|MF2|)·(|MF1|+|MF2|)=16(2+|MF2||MF1|+|MF1||MF2|)≥23,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立,所以1|MF1|+1|MF2|的最小值为23.
15.8 解析 由题意得a=4,b=2,c=23,
则|PQ|=|F1F2|=43.
∵|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,
∴QF1⊥QF2,
即四边形PF1QF2为矩形.
∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,
∴|QF1|·|QF2|=12[(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)]=8,
即四边形PF1QF2的面积为8.