2027届高三数学一轮复习试题规范练57圆锥曲线中的最值、范围问题（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练57圆锥曲线中的最值、范围问题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知椭圆E，已知抛物线C，已知P为椭圆Γ，双曲线Γ等内容，欢迎下载使用。
1.(12分)(2020·新高考Ⅱ,21)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),点M(2,3)在E上,A为E的左顶点,直线AM的斜率为12.
(1)求E的方程;
(2)设N为E上的点,求△AMN面积的最大值.
2.(13分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的通径长为12,若抛物线C上有一动弦AB的中点为M,且弦AB的长度为3.求:
(1)抛物线C的方程;
(2)点M的纵坐标的最小值.
3.(15分)(2026·湖南长沙长郡中学月考)已知P为椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴上的一个顶点,F1,F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,且△PF1F2的面积为3,椭圆Γ的焦距为2.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)设直线l为圆x2+y2=1的切线,且l与Γ相交于A,B两点,求OA·OB的取值范围(O为坐标原点).
4.(18分)(2024·上海,20)双曲线Γ:x2-y2b2=1(b>0),A1,A2为左、右顶点,过点M(-2,0)的直线l交双曲线Γ于两点P,Q,且点P在第一象限.
(1)若e=2时,求b;
(2)若b=263,△MA2P为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)直线OQ交Γ于点R,若A1R·A2P=1,求b的取值范围.
参考答案
课时规范练57 圆锥曲线中的最值、范围问题
1.解 (1)由题意可知直线AM的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0.当y=0时,解得x=-4,所以a=4.将点M(2,3)的坐标代入椭圆E的方程,可得416+9b2=1,解得b2=12.所以E的方程为x216+y212=1.
(2)设与直线AM平行的直线的方程为x-2y=m(m≠-4),如图所示,
当直线与椭圆相切时,与AM距离较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x-2y=m(m≠-4)与椭圆方程x216+y212=1,可得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,所以与AM距离比较远的直线方程为x-2y-8=0.点N到直线AM的距离d即为两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得d=8+41+4=1255,由两点之间的距离公式可得|AM|=(2+4)2+32=35.所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255=18.
2.解 (1)由题意可知2p=12,所以抛物线C的方程为x2=12y.
(2)由题意可知,直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22.联立y=kx+b,x2=12y,得2x2-kx-b=0.所以x1+x2=k2,x1x2=-b2,y1+y2=k22+2b.
又|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)(k24+2b)=3,得2b=91+k2−k24,
所以y0=y1+y22=12(k22+2b)
=12(k22+91+k2−k24)
=12(91+k2+k2+14−14)
≥12(291+k2·k2+14−14)=118,
当且仅当91+k2=k2+14,即k2=5时,等号成立,
则点M的纵坐标的最小值为118.
3.解 (1)依题意,|F1F2|=2c=2,
所以c=1.在△PF1F2中,S△PF1F2=12|F1F2|b=3,解得b=3,所以a2=b2+c2=4.
所以椭圆Γ的方程为x24+y23=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t,联立y=kx+t,x24+y23=1,
整理得(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0,
则Δ=16(12k2-3t2+9)>0,则4k2+3>t2,且x1+x2=-8kt4k2+3,x1x2=4t2-124k2+3,
则y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-124k2+3+kt-8kt4k2+3+t2=3t2-12k24k2+3.
又直线l为圆x2+y2=1的切线,
则|t|1+k2=1,即t2=k2+1,
则OA·OB=x1x2+y1y2=4t2-124k2+3+3t2-12k24k2+3=7t2-12k2-124k2+3
=-5(k2+1)4k2+3=-54·k2+34+14k2+34
=-541+14k2+34
≥-54·(1+13)=-53.
又-54(1+14k2+34)|MA2|矛盾,故舍去.
③若MP为底边,则|PA2|=|MA2|.
设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则(x0-1)2+(y0-0)2=3,即(x0-1)2+y02=9.
又因为x02−3y028=1,所以(x0-1)2+(x02-1)×83=9,整理得11x02-6x0-32=0,解得x0=2(舍负),y0=22,即点P的坐标为(2,22).
(3)由题知A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x2,-y2),由题知直线l的斜率k满足01b),x2-y2b2=1,
整理得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0,
由根与系数的关系可得,
y1+y2=4b2mb2m2-1,①y1y2=3b2b2m2-1.②
A1R=(-x2+1,-y2),A2P=(x1-1,y1),又由A1R·A2P=1,得(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1,即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1,化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0,将①②代入上式整理可得3b2(m2+1)-12m2b2+10(b2m2-1)=0,化简得b2m2+3b2-10=0,所以m2=10-3b2b2>1b2,解得b20,所以0