2026年高考数学一轮复重难点培优03解三角形中三角形的面积、周长、边的最值与范围问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优03解三角形中三角形的面积、周长、边的最值与范围问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共3页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 面积的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 周长的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 与边有关的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 与角有关的最值（范围）问题（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 其他式子的最值（范围）问题（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 8
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 9
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 9
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 12
一、正余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2、面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
1、正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
2、内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
【常用结论】
（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
三、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
① ②(当且仅当时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。
①和差角公式：，
②辅助角公式：
（其中）．
（6）解题思路步骤
①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
四、解三角形中最值或范围问题常用处理思路
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.


题型一 面积的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·广东东莞·月考）在中，角所对的边分别为，，，已知
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
2．在中，角，，的对边分别是，，，满足.
(1)求角；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.
3．（24-25高三下·广东深圳·月考）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围.
4．已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
6．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，．
(1)求a；
(2)若，求面积的取值范围．

题型二 周长的最值（范围）问题
1．（23-24高三上·江苏盐城·月考）已知的内角的对边分别为，且的面积为
(1)求；
(2)求周长的最小值.
2．（2024·四川南充·模拟预测）在中，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C的大小;
(2)若，且，求周长的最小值.
4．（2024·广西·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知.
(1)证明：；
(2)若，求周长的最大值.
5．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若；求周长的取值范围.
7．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)若，求A；
(2)若是锐角三角形，求周长的取值范围．

题型三 与边有关的最值（范围）问题
1．（23-24高三上·北京大兴·期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三下·河北沧州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围．
7．（24-25高三下·江西·月考）在非等腰中，角的对边分别为，已知，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
8．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求
(2)已知边，求的取值范围.

题型四 与角有关的最值（范围）问题
1．在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点为外接圆的圆心，角所对的边分别为，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．若的内角满足，则当角取最大值时，角的大小为 ．
6．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ．
7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 .
8．在中，、、分别是的三个内角、、所对的边，已知
(1)求证：、、满足；
(2)求角的取值范围.

题型五 其他式子的最值（范围）问题
1．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．4
3．已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为 .
4．已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ．
5．（24-25高三上·湖北·月考）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且.
(1)求的值；
(2)若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值.
6．（2025·湖南·二模）已知在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，，D为外一点.
(1)求角A；
(2)若A，B，C，D四点共圆，求四边形面积的最大值.
7．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积与周长的比值的最大值.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)求的最大值．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．在中， 角A， B，C所对的边分别为a， b， c，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边.若，则的最小值为 .
6．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ．
7．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 .
8．（24-25高三下·江苏·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为 .
9．（2025·山东德州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，求的边的最大值．
10．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·月考）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面积的最大值.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，．
(1)求；
(2)已知的面积为，求的最小值．
12．（23-24高三上·黑龙江大兴安岭地·月考）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边长和角A；
(2)求的周长的取值范围.
13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
14．（24-25高三下·黑龙江·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角C；
(2)若，M为内一动点，且，求的最小值.
15．（24-25高三上·山东德州·月考）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 .
(1)求角B的大小；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
16．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围.
17．（24-25高三上·江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的取值范围.
18．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列.
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
19．（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，．
(1)若，求的周长；
(2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
20．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)若，，求；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
21．已知在锐角中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)当时，求的取值范围；
(3)当时，求的取值范围．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．已知在中，点在BC上的射影落在线段BC上（不含端点），且满足，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025高三下·重庆·竞赛）在中，的最小值为 .
4．（24-25高三下·河北保定·开学考试）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且.
(1)证明：；
(2)求；
(3)若，求的取值范围.
5．（24-25高三上·安徽·月考）在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求；
(3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，D为AB中点，.
（i）求的取值范围；
（ii）求CD的取值范围.
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
1、面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
2、解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用）
（1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系.
（2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
（3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.