2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03解三角形17大考点(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03解三角形17大考点(学生版+解析)，共7页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24579" 考点01 利用正弦定理解三角形 PAGEREF _Tc24579 \h 1
\l "_Tc18703" 考点02 判断三角形解的个数 PAGEREF _Tc18703 \h 2
\l "_Tc22632" 考点03 正弦定理的应用 PAGEREF _Tc22632 \h 3
\l "_Tc13778" 考点04 利用余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc13778 \h 4
\l "_Tc31330" 考点05 余弦定理的应用 PAGEREF _Tc31330 \h 5
\l "_Tc22711" 考点06 判断三角形形状 PAGEREF _Tc22711 \h 6
\l "_Tc12886" 考点07 正余弦定理的综合应用 PAGEREF _Tc12886 \h 7
\l "_Tc7571" 考点08 倍角关系 PAGEREF _Tc7571 \h 8
\l "_Tc12734" 考点09 与角度、边长有关的最值问题 PAGEREF _Tc12734 \h 9
\l "_Tc30983" 考点10 三角形面积计算及应用 PAGEREF _Tc30983 \h 10
\l "_Tc18305" 考点11 三角形的周长计算及应用 PAGEREF _Tc18305 \h 13
\l "_Tc8189" 考点12 与角平分线、中线、高线有关的问题 PAGEREF _Tc8189 \h 14
\l "_Tc30717" 考点13 与外接圆、内切圆有关的问题 PAGEREF _Tc30717 \h 17
\l "_Tc1042" 考点14 解三角形在平面几何中的应用 PAGEREF _Tc1042 \h 18
\l "_Tc14914" 考点15 解三角形与三角函数的综合 PAGEREF _Tc14914 \h 20
\l "_Tc1113" 考点16 解三角形与平面向量的综合 PAGEREF _Tc1113 \h 21
\l "_Tc11348" 考点17 解三角形的实际应用 PAGEREF _Tc11348 \h 22
考点01 利用正弦定理解三角形
1．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）在中，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（ ）
A．B．C．D．或
4．（2025高一·江苏常州·期末）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ）
A．B．C．或D．
5．（2025·贵州遵义·模拟预测）在中，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
考点02 判断三角形解的个数
6．（25-26高三·河北保定·阶段练习）在中，若，，，则解的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不确定
7．（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
8．（2025高三·江苏淮安·期中）在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点03 正弦定理的应用
10．（25-26高三·江苏淮安·阶段练习）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（25-26高三·内蒙古包头·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ）
A．B．C．D．
12．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·浙江·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，（ ）
A．1B．3C．D．
考点04 利用余弦定理解三角形
15．（25-26高三·重庆·阶段练习）中，，则（ ）
A．6B．C．D．3
16．（25-26高三·云南楚雄·阶段练习）中，角的对边分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．2
17．（25-26高三·广东·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．B．C．D．
考点05 余弦定理的应用
18．（2025高三·四川广安·阶段练习）在中，角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
19．（2025高二·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
20．（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
21．（2025高三·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2025高二·浙江金华·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A．B．C．D．
23．【多选】（2025高二·福建·开学考试）分别为内角的对边．已知，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
考点06 判断三角形形状
24．（2025高一·浙江杭州·期中）在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
25．（25-26高二·贵州黔南·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形
26．（2025高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为，且成等比数列，设的面积为，若，则的形状为（ ）．
A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
27．（2025高一·天津滨海新·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
28．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定的
29．（2025高二·江西新余·期末）在中，的对边分别为，若，则的形状为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
30．（2025高三·贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
31．（2025高三·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．有一个角为的直角三角形D．等边三角形
考点07 正余弦定理的综合应用
32．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
33．（2025高三·湖北·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（ ）
A．B．1C．3D．5
34．（2025高三·四川·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
35．（2025高一·甘肃白银·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
36．（2025高三·江苏常州·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则实数的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
37．（2025高三·重庆南岸·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值是（ ）
A．2B．C．4D．
考点08 倍角关系
38．（2025高三·江苏·阶段练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求证：
(2)若，，求的面积.
39．（2025高三·广东·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且．
(1)若角B为钝角，求△ABC的面积；
(2)若，求a．
40．（2025·江西景德镇·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，．
(1)求证：；
(2)若，求．
41．（2025高一·浙江绍兴·期中）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若的三边边长为连续的正整数，求的面积．
考点09 与角度、边长有关的最值问题
42．（2025·湖北·模拟预测）锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，则边c的取值范围是 .
43．（2025高三·安徽淮南·阶段练习）在中，角的对边分别是,若是锐角三角形且角，则的取值范围为 .
44．（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
45．（2025·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是 .
46．（25-26高三·江西·阶段练习）记的内角的对边分别为，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
47．（2025高一·福建三明·阶段练习）在锐角中，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
48．（2025高三·江西·阶段练习）记锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
49．（2025·江西抚州·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为 ．
50．（2025高二·浙江杭州·期中）在中，内角所对的边分别为，满足．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
51．（2025高一·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
52．（2025高一·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
53．（2025高三·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知．
① ② ．
(1)求角A；
(2)求的取值范围．
考点10 三角形面积计算及应用
54．（2025·山西·模拟预测）在中，，，，则的面积是（ ）
A．B．C．3D．12
55．（25-26高三·湖北宜昌·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ）
A．1B．C．D．
56．（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
57．（2025高一·陕西咸阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
58．（2025·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，三角形ABC的面积为6，则（ ）
A．65B．17C．D．
59．（2025·广西北海·模拟预测）在中，内角所对的边分别为．已知的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
60．（2025·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．12D．15.
61．（2025高三·陕西西安·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
62．（2025高三·河南信阳·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则面积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
63．（25-26高三·山西太原·阶段练习）在中，角A、B、C所对的边为、、，且．
(1)求角B；
(2)当时，求面积的最大值．
64．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
65．（2025·江西新余·模拟预测）若的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
66．（2025·河北邯郸·模拟预测）在锐角中，内角满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)证明：.
考点11 三角形的周长计算及应用
67．（2025高三·湖南·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
68．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．17B．18C．19D．20
69．（25-26高三·云南昆明·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
70．（2025高三·江西·阶段练习）在中，角的对边分别为，若的面积为，则的周长为（ ）
A．B．11C．D．
71．（2025高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的周长最大值为（ ）
A．B．C．D．
72．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对应的边分别是，且．
(1)求；
(2)若，求的周长最大值．
73．（2025高三·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
74．（2025高三·海南·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)设，的面积为S，周长为L，求的最大值．
考点12 与角平分线、中线、高线有关的问题
75．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A．B．C．D．
76．（2025·四川成都·模拟预测）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A．B．C．1D．
77．（2025高三·江西新余·阶段练习）在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（ ）.
A．B．C．D．
78．（2025·北京·模拟预测）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； .
79．（2025高三·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
80．（2025高三·四川南充·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是 .
81．（2025高三·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .
82．（2025·湖北孝感·模拟预测）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC= ．
83．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（ ）
A．B．C．D．
84．（2025高三·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
85．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
86．（2025·河北·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为 ．
87．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
88．（2025·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)已知，求边上的中线的长.
89．（2025高三·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
90．（2025·广东深圳·模拟预测）在中，已知．
(1)求；
(2)若边上的高等于，求．
91．（2025·广东·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)设，求边上的高.
92．（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且
(1)求A；
(2)若，，求BC边上的高
93．（2025·湖北·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
94．（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，BC边上的高等于．
(1)求的值；
(2)若，求的周长．
考点13 与外接圆、内切圆有关的问题
95．（25-26高三·湖北武汉·开学考试）已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ）
A．2B．C．4D．
96．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
97．（2025·陕西·模拟预测）在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
98．（2025高三·辽宁辽阳·期末）若外接圆的半径为，且，则（ ）
A．2B．C．3D．
99．（2025高三·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（ ）
A．B．C．D．
100．（2025高三·云南·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（ ）
A．B．
C．D．
考点14 解三角形在平面几何中的应用
101．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
102．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
103．（2025高三·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（ ）
A．B．3C．D．
104．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
105．（2025·江苏徐州·模拟预测）在△ABC中，已知，，，D为垂足，，则（ ）
A．B．C．D．
106．（2024高三·全国·竞赛）已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
107．（2025·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
108．（2025高三·安徽亳州·阶段练习）在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A．B．C．D．
考点15 解三角形与三角函数的综合
109．（2025高一·湖南常德·期中）已知向量.
(1)求的取值范围；
(2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
110．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中.
(1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；
(2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.
111．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的取值范围.
112．（2025·北京·模拟预测）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
考点16 解三角形与平面向量的综合
113．（25-26高三·天津·阶段练习）在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ．
114．（25-26高二·湖北孝感·阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
115．（2025高三·天津·阶段练习）已知为的三个内角的对边，向量，若，且，则角 .
116．（2025高三·陕西西安·阶段练习）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
117．（2025·贵州毕节·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角A；
(2)若的面积为，求a的最小值．
118．（2025·湖南湘潭·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
119．（2025·山西忻州·模拟预测）在中，分别是角的对边，且，，，．
(1)求角C；
(2)求的面积；
(3)求向量在向量上的投影向量的模．
考点17 解三角形的实际应用
120．（25-26高三·河北保定·阶段练习）甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行（公路可看成一条线），当甲骑行到点时测得某地标建筑物在其北偏西45°的方向上，再骑行100米到达点时测得在其北偏西15°方向上，则此时甲与的距离 米.
121．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值.
A．和B．和C．和D．三者
122．（2025高一·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙骑自行车同时从地出发，甲沿北偏东154.5°方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且地与地相距10km，则地与地相距 km．（参考数据：取）
123．（2025高二·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）

A．1小时B．100.3小时C．100.5小时D．100.2小时
124．（2025高三·上海·阶段练习）某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.

125．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A．B．C．D．10
126．（2025高三·湖南长沙·阶段练习）如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km.
127．（2025高三·宁夏银川·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为
128．（2025高三·江西鹰潭·阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为107.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（）
A．137.52mB．135.48mC．133.26mD．131.52m
129．（2025·上海黄浦·模拟预测）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1）
130．（2025高一·辽宁·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数）
A．180.56米B．181.46米C．184.32米D．180.56米
131．（2025·湖北恩施·模拟预测）某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
132．（2025高三·贵州贵阳·阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（ ）
A．B．
C．D．
133．（2025高一·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A．B．C．D．
134．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数）
135．（2025高三·陕西汉中·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，）
A．142.42B．145.42C．150.42D．160.42
136．（2025高三·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（ ）
A．北偏西B．北偏东
C．北偏西D．南偏西
137．（2025高三·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ）
A．B．C．D．
138．（2025高一·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
139．（2006·上海）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到）
140．（2025高一·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少100.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为100.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务.
(1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到100.1m）
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.
141．（2025·上海·模拟预测）如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处.
(1)求此时该外国船只与D岛的距离；
(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到100.1°，速度精确到100.1海里/小时）
142．（2025高三·上海·阶段练习）如图，某公园有一三角形的花坛，已知围栏长5米，长7米，，拟在该花坛中修建一条直围栏（即线段，点分别在三角形的两边上），以种植两种不同颜色的菊花供游客观赏，花坛设计者希望通过围栏实现两种菊花的种植面积相等且同一时刻花坛边游客近距离赏花的人数的最大值相等.试问：在的边上是否存在两点，使得线段既平分的面积又平分其周长？若存在，求出所有满足要求的点的位置（结果精确到100.1米）；若不存在，请说明理由.
143．（2025高三·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.
(1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
(2)求修建道路的总费用的最小值.
144．（2025高三·上海杨浦·阶段练习）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.

(1)当时，求的值；
(2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少?
145．（2025高三·山东菏泽·期中）为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块，，，有关部门划定了以D为圆心，为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为边上的点E，出口为边上的点F，施工要求与古树保护区边界相切，右侧的四边形将作为绿地保护生态区.（，长度精确到，面积精确到）

(1)若，求的长；
(2)当入口E在上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?
146．（2025·上海杨浦·模拟预测）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.
(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到100.1平方米）；
(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.
(1)正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==.
(2)正弦定理的常见变形
在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可
得正弦定理的下列变形：
①=，=，=，a=b，a=c，b=c；
②======；
③a:b:c=::；
④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）.
1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.
注：从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若=