2026年高考数学一轮复重难点培优05概率中的决策问题及比赛中的概率(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优05概率中的决策问题及比赛中的概率(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共5页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 概率中的决策问题（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 概率结合导数（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 简单比赛问题（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 7
\l "_Tc13512" 题型四 复杂条件比赛问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 8
\l "_Tc3897" 题型五 多人比赛问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 10
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 11
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 11
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 15
一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列
1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算
2、 比赛模式，要考虑以下可能情况：
（1）比赛几局？
（2）“谁赢了”；
（3）有没有平局
（4）赢了的必赢最后一局；
（5）比赛为啥结束？
3、常见比赛问题注意事项
①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．
②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．


题型一 概率中的决策问题
【技巧通法·提分快招】
1．在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3次．具体比赛规则如下：在距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，每投进一次得3分，没投进不得分，且得分高于5分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是，在距离较近的区域内投中沙包的概率是，且每次是否投进互不影响．
(1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2次就停止该项比赛的概率；
(2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包；
(3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包．
2．甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，，
(1)分别列出随机变量、的分布列；
(2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）．
3．（2025·广东·模拟预测）某地爆发瘟疫，现在你要负责检查其中8位居民是否感染.
已知可以通过检测居民血样来判断该居民是否感染，若检测结果呈阳性，就认为该居民被感染了，否则认为该居民没有感染.由于事发突然，检测物资储备并不富裕，如果逐个检查每位居民的血样，就一定要消耗8份检测物资.此时，你想到：也许可以先将这8位居民按2人一组或4人一组进行分组，将同组居民的血样混合起来进行检测.这样如果最终检测结果不呈阳性，则说明该组所有居民都没有感染，如果检测结果呈阳性，则需要对该组每位居民再逐个检测血样.记：逐个检测为方案A，2人一组检测为方案B，4人一组检测为方案C：
(1)若已知这8位居民中有2位被感染，试确定上述哪种方案预期消耗物资最少；
(2)若每位居民有p的概率被感染，试讨论上述哪种方案预期消耗物资最少.
4．（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门.
(1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案；
(2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高；
(3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？
5．（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3．
(1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率．
(2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．
(3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．
6．某校为了更好地践行“共创体育梦想，团结可达天下”的体育理念，特举办了相关知识竞赛活动．已知有两类问题可供选择，其中类问题答对得5分，答错得0分，类问题答对得10分，但答错扣2分．每位参赛的选手需从这两类题中共抽出3个问题并作答（每个题抽取后不放回，且每次答题互不影响），且要求从类题中至少抽1道．设选手甲答对类每个问题的概率分别为．
(1)求选手甲共答对3道题的概率；
(2)若选手甲第1道题是从类题中抽出并回答正确，记选手甲的累计得分为，则要使最大，选手甲应该如何选择剩余的2道题？
7．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项．
（i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好?

题型二 概率结合导数
1．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求.
2．（2025·山东·模拟预测）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为．
(1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率；
(2)求在一轮中乙摸出红球的概率；
(3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由．
3．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品．
(1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望；
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值．
4．某公司对其产品进行质量检测，现随机抽取部分产品，测得其质量指标值的数据如图所示．规定质量指标值在内的产品为一等品，在内的产品为二等品．其中为样本平均数，为样本标准差，经计算得．
(1)求二等品质量指标值的范围及一件产品为一等品或二等品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)用样本的频率分布作为总体的概率分布．
①任取6件产品，记恰有件产品为一等品或二等品的概率为，试比较与的大小；
②记质量指标值在的产品为需要改进的产品，且需要改进的产品的概率为，若任取6件产品，恰有4件需要改进的概率为，求取得最大值时和的值．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为
．
(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值；
(2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数．
①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；
②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；
通过①，②的计算结果，你发现了什么规律；
(3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1．
参考数据：若，则，
，，
，，

题型三 简单比赛问题
1．（25-26高三上·吉林长春·月考）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战．
(1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率；
(2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率；
(3)求比赛结束后，甲获胜的概率．
2．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
(1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．
3．现有两球队进行友谊比赛，设队在每局比赛中获胜的概率都是．
(1)若比赛6局，求队至多获胜4局的概率；
(2)若采用“五局三胜”制，求比赛局数的分布列和数学期望．
4．（2025·湖南长沙·一模）甲、乙两人进行知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求：
(1)在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为，求的分布列和期望值；
(2)甲在比赛中获胜的概率.
5．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．
(1)估计甲队每局获胜的概率；
(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率．

题型四 复杂条件比赛问题
1．（25-26高三上·河南郑州·月考）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是.
(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；
(2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；
(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值.
2．（2025·吉林·模拟预测）某校为了激发学生的创新性思维，举办了一场“智能机器人传球大赛”，每班派一名编程代表，操作一台机器人参与比赛．比赛场地分为两个区域：区和区．初始时球放在区，每次操作通过随机生成1至6的某一个数字，依据以下规则控制机器人传球：
①若随机数为1，机器人无法传球，球保持原地不动；
②若随机数为6，若球在区，球不动，若球在区，球被传到另一个区域；
③若随机数为2、3、4、5，球被传到另一个区域．
(1)已知连续两次操作，求事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”的概率；
(2)已知连续三次操作，记随机变量为“机器人实际完成传球的次数”，求随机变量的分布列及数学期望．
3．（2025·山东济宁·模拟预测）奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有个国家队被分成个小组，每个小组支球队循环比赛，共打场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立.
(1)假设球队参与的前场取得胜负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率.
(2)假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望.
4．（24-25高三上·辽宁·期末）为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分.
(1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望；
(2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为.
①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列；
②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望.

题型五 多人比赛问题
1．（24-25高三上·甘肃白银·月考）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立．
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望．
(2)依据的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
2．甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．
3．（23-24高三下·江苏·月考）某足球训练基地有编号为的位学员，在一次射门考核比赛中，学员有两次射门机会.每人第一次射中的概率为第二次射中的概率为假设每位学员射门过程是相互独立的，比赛规则如下：
①按编号从小到大的顺序进行，第1号学员开始第1轮比赛，先第一次射门；
②若第号学员第一次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛；
③若第号学员第一次射门射中，再第二次射门，若该学员第二次射门射中，则比赛在第轮结束，该学员第二次射门未射中，则第轮比赛失败，由第号学员继续比赛；
④若比赛进行到了第轮，则不管第号学员的射门情况，比赛结束.
(1)当时，设随机变量表示3名学员在第轮比赛结束，求随机变量的分布列；
(2)设随机变量表示名学员在第轮比赛结束.
①求随机变量的分布列；
②求证：单调递增，且小于3.
4．（2025·湖北荆州·模拟预测）某公司招聘技术人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入最后面试环节.其中A校和B校各4名，C校2名. 名面试者随机抽取1，2，3，，10号的面试序号.
(1)若来自A校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自B校的4名毕业生的面试序号分别为，，，，且，来自C校的2名毕业生的面试序号分别为，，且
（ⅰ）求概率，；
（ⅱ）记随机变量，求 X的均值
(2)已知一位面试者因事未能到达面试现场，最终只有9人参加面试.经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者. 为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，，集合S中的最小元素为k，最终录用第k位面试者. 如果以新规则面试这9名毕业生，求面试得分第一、二按得分从高到低排的两名毕业生之一被录用的概率.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·山西·模拟预测）某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称A班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称B班代表，学生甲是B班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A班代表与B班代表比赛，则B班代表获胜的概率为．
(1)已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与A班代表比赛获胜得2分，与B班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为X，求X的分布列与期望．
2．（2025·四川巴中·二模）2008年北京奥运会乒乓球赛事精彩纷呈，推动了乒乓球运动在国内的进一步普及.如今有小周､小吴､小郑三人进行乒乓球比赛，规则是：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，按此规则循环进行.通过抽签确定小周､小吴先上场比赛，小郑做裁判.依据过往比赛数据统计：小周与小吴比赛小周获胜的概率为，小郑与小吴比赛小吴获胜的概率为，小郑与小周比赛小郑获胜的概率为.
(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设小郑做裁判的次数为，求的分布列和期望.
3．（25-26高三上·福建·月考）在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响.
(1)求甲队以获胜的概率；
(2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望.
4．（25-26高三上·辽宁·期中）实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求：
(1)这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛乙所胜局数的数学期望.
(3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率.
5．（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
(2)选手与选手相遇的概率为多少？
(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．
6．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
7．某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局.
(1)求在第3局后即决出胜负的概率；
(2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策.
8．甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系：
① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组；
② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组；
③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名；
④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名.
设每场比赛双方获胜的概率均为.
(1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率；
(2)求甲最终获胜的概率；
(3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？
9．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下：
夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立.
(1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率；
(2)若，现在小队计划两种方案参加游戏.
方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；
（ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望；
（ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小.
10．（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.
(1)已知.
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率.
(2)记甲同学的答题个数为，求的最大值.
11．某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立．
(1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，
（i）求甲通过第一阶段的概率；
（ii）求甲的比赛成绩为10分的概率；
(2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？
12．某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率；
(2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出；
(3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.

(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①A获得季军的概率；
②D成为亚军的概率；
(2)若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
2．（2025·重庆·模拟预测）某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响.
(1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略；
(2)记小王总得分为.
（i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望；
（ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量）
3．（2025·江苏盐城·模拟预测）受九宫格的启发，某中学的数学兴趣小组开展了一个数字游戏：以下是一个行n列的表格，在表格中填入1，2，3，…，这个数字．在游戏过程中，同学们发现，一些表格有时会出现填入的某个数字既是所在行的最大值，又是所在列的最小值的情况，他们把这类表格称为“表格”，其中这个数字称为这个表格的“值”．
(1)判断下表是不是“表格”，如果是，求出其“值”．
(2)求证：任意一个“表格”的“值”是唯一的．
(3)若，记所有的“表格”构成的集合为T，从T中任取一个“表格”，并且这个“表格”的“值”记为X，求X的数学期望．
4．（25-26高三上·广东广州·月考）某一场体育比赛由局比赛组成，若赢局则积分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利.特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负.假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局.
(1)已知甲、乙两人在过往局比赛的练习中，甲赢局，若以此频率估计甲每局获胜的概率，当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率.
(2)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为和，，甲可以选择的值（其中），则对于甲而言，选择为哪个值更为有利？说明理由.
(3)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求.
5．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.

(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
6．11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.
(1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率.
(2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元､60元的2种球组成，或由标有面值30元､50元､70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由.
7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行.某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲､乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为，乙每次射中靶子的概率为，各次射击中靶与否均相互独立.
(1)若，甲参加第一阶段比赛，求甲､乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设，
（i）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？
（ii）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？
8．（25-26高三上·重庆·开学考试）甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有3个是甲擅长的，必定通过测试，另有3个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X和 Y.
(1)若 分别求出随机变量X和Y的概率分布列，并求它们相应的数学期望.
(2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”.
（i）在（1）的条件下，当运动员甲和乙考核都“达标”时，求甲、乙至少1人考核“优秀”的概率.
（ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等.求证：
9．（2025·四川成都·模拟预测）阿尔法狗（AlphaG）是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军．它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗（AlphaG），三个阶段的阿尔法狗（AlphaG）依次简记为甲、乙、丙．
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗（AlphaG）各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手恰连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程．
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，且每局比赛结果相互独立．
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值；
（ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M，求．
10．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验次；
方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．
(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．
①若，求关于的函数关系式；
②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：，，，，．
11．（25-26高三上·山西·月考）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率；
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条．记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为．
①若，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值．
（取）
决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。
1
2
3
4
5
6
甲
25
21
27
27
23
25
乙
18
25
25
25
25
17
第1列
第2列
…
第n列
第1行
第2行
…
第n行
第1列
第2列
第3列
第1行
1
2
3
第2行
4
5
6
第3行
7
8
9