2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了中线，角平分线等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24460" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc24460 \h 1
\l "_Tc17834" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17834 \h 2
\l "_Tc16704" 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） PAGEREF _Tc16704 \h 2
\l "_Tc11873" 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc11873 \h 8
\l "_Tc19010" 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） PAGEREF _Tc19010 \h 18
\l "_Tc1027" 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc1027 \h 26
第一部分：基础知识
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ）
A．B．3C．D．
例题2．（2024·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)已知，求边上的中线的长.
例题3．（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）设的内角、、的对边分别为、、，已知、
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
精练高频考点
1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
2．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）在△中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若△的面积为，求边上的中线的长．
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：.
(2)已知C为钝角，记.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围.
4．（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，是的中线，求的最大值．
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积．
例题3．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，______．
在①CM为的一条中线；②CM为的一条角平分线；③CM为的一条高线
这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
(1)求边长AB；
(2)若外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
精练高频考点
1．（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数，且.
(1)求a的值和函数的最小正周期；
(2)求不等式的解集；
(3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长.
2．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知向量，，，.设的最小值为.
(1)求的值；
(2)在中，为其中线，且，.设，，求关于的函数关系式，并求的最小值.
3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)求；
(3)若，边上的中线，求边的长.
4．（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线．
(1)若，求证；
(2)在（1）的条件下，若，求；
(3)若，求的取值范围．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（ ）
A．B．C．2D．
例题2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若的面积为.
①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值.
例题3．（24-25高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值.
例题4．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
精练高频考点
1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则
2．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
3．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，．
(1)求的大小；
(2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长．
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，为上一点，①为的中线，则 ；②为的角平分线，则 .
例题2．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为 .
例题3．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
精练高频考点
1．（23-24高一下·江西·期中）在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是 ．
2．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
(3)若，求面积的取值范围.
3．（2023·四川·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知中，角的对边分别为，点D为边的中点，，且________．
(1)求a的值；
(2)若的平分线交于点E，求的周长．
第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24460" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc24460 \h 1
\l "_Tc17834" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17834 \h 2
\l "_Tc16704" 高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） PAGEREF _Tc16704 \h 2
\l "_Tc11873" 高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc11873 \h 8
\l "_Tc19010" 高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） PAGEREF _Tc19010 \h 18
\l "_Tc1027" 高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） PAGEREF _Tc1027 \h 26
第一部分：基础知识
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）
典型例题
例题1．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出.
【详解】由题意得，，结合正弦定理得，
因，则，则，
若，则，与上式矛盾，故，则，
因，则，
因为AC边上的中线，则，
则
，
则.
故选：C
例题2．（2024·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)已知，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及进行化简，得到，从而得到；
（2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得的长.
【详解】（1）由正弦定理得，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
代入数值得，解得（舍去）或，
因为是的中点，所以，
所以，
所以，即边上的中线的长为.
例题3．（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）设的内角、、的对边分别为、、，已知、
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，即可求解；
（2）利用余弦定理得出，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质即可求解
【详解】（1）在中，由及正弦定理得:
，
即，
因为，则，即，
可得，故．
（2）在中，由余弦定理可得，
所以，
因为为边上的中线，所以，
所以．
，故
精练高频考点
1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得.
【详解】（1）在中，，则，
因为，
则，
由正弦定理得：，
所以，
所以，
又，得，所以，即，
由，解得.
（2）因为的面积为，
所以，
由（1）知，故，
因为为中线，即为中点，
则，又，
则，所以，
解得，
由余弦定理得，
所以.
2．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）在△中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若△的面积为，求边上的中线的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，
由余弦定理得：，
又，所以．
（2）由，所以，
由（1），所以，
因为为边上的中线，所以，
则
，即.
故边上的中线的长为.
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：.
(2)已知C为钝角，记.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明.
（2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）由，可得，
由余弦定理可知，所以.
（2）（ⅰ）由，可得，．
根据三角形三边关系，知即
则解得，
所以的取值范围为．
（ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以，
则，
所以．
令，则，因为在上单调递增，
所以，故的取值范围为．
4．（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，是的中线，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明；
（2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，即，
由余弦定理知和，
得，即，
即，因为，所以.
（2）因为，，所以，
故，当且仅当，即时等号成立，
故；
由是的中线，得，
即得
，
即得，故的最大值为.
高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可.
【详解】由题意得，
所以，
又，且D是的中点，所以，
在中，，
在中，，
所以，
即，得，当且仅当取等号，
故选：A
例题2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）法一：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得，进而可求；法二：利用余弦定理角化边可得，利用余弦定理求得，进而可求；
（2）(ⅰ) 法一：由正弦定理可得，，利用三角恒等变换可求得周长的取值范围；法二：利用余弦定理，结合基本不等式与三边关系定理可求得周长的取值范围；(ⅱ)由余弦定理可得，利用，结合余弦定理可得，进而可求面．
【详解】（1）法一：由正弦定理得．
从而，即，
又中，∴，
又，所以．
法二：由余弦定理得，
化简得，
则，
又，所以．
（2）(ⅰ)法一：由正弦定理得，
则，，∵，∴．
的周长为
．
又∵，∴，故，
∴周长的取值范围是．
法二：由余弦定理得，
所以．
∵，∴，
∴(当且仅当时取得等号)．
又∵，
∴周长的取值范围是．
(ⅱ)在中，由余弦定理得，即．
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得．
∵，∴，∴．
所以，．
例题3．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，______．
在①CM为的一条中线；②CM为的一条角平分线；③CM为的一条高线
这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
(1)求边长AB；
(2)若外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，若选择①：，利用余弦定理结合可得，在中，利用余弦定理运算求解；若选择②：因为，利用余弦定理可得，根据勾股定理结合等腰三角形分析求解；若选择③：根据勾股定理结合等腰三角形分析求解.
（2）利用正弦定理求外接圆的半径，利用等面积法求内切圆的半径，进而可得结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
由倍角公式可得，则，
又因为，则，
所以，即．
且，则，可得，
又因为，所以．
若选择①：若CM为的中线，设，
由余弦定理可得，，
因为，可得，
即，整理得，可知，
又因为，解得或（舍去），
所以；
若选择②：若CM为的角平分线，则，
在中，由余弦定理得，即，
可知，即，可知，
所以；
若选择③：若CM为的高线，则，
则，即，则，
可知，可知
所以．
（2）设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，解得，
所以，
由题意可知：，所以的周长，
所以的面积．
设内切圆的半径为r，则，解得，
可得，所以．
精练高频考点
1．（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数，且.
(1)求a的值和函数的最小正周期；
(2)求不等式的解集；
(3)在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长.
【答案】(1)，.
(2)，.
(3)，
【分析】（1）根据可求的值，利用二倍角公式及三角恒等变换公式，化简函数的解析式，利用求函数的最小正周期.
（2）结合函数的性质解不等式.
（3）利用余弦定理解三角形即可.
【详解】（1）因为.
由.
所以.
所以函数的最小正周期为：.
（2）由，.
，.
所以不等式的解集为，.
（3）因为，所以.
由题意：，所以，
所以.
如图：
设，，，
在中，由余弦定理得：①
在中，由余弦定理得：②
①②得：.
在，由余弦定理得：.
所以，因为，所以.
所以，即.
2．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知向量，，，.设的最小值为.
(1)求的值；
(2)在中，为其中线，且，.设，，求关于的函数关系式，并求的最小值.
【答案】(1)
(2)，其中，
【分析】（1）根据向量的坐标运算求出的表达式，结合三角恒等变换和二次函数的性质求出其最小值；
（2）利用向量的平行四边形法则和余弦定理求出关于的函数关系式，最后根据函数性质求出的最小值.
【详解】（1）因为，
所以
.
当时，的最小值.
（2）由（1）知，，.
在中，，，，则.
在中，，，，则.
因为，所以.
整理得，，，其中.
因为，所以当时，y取最小值.
3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，角的对边分别为.
(1)证明：；
(2)求；
(3)若，边上的中线，求边的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边即可得证；
（2）利用余弦定理即可求解；
（3）在和中有，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）证明：由正弦定理得：，
即.
（2）因为，
即.
则，
因为，
所以.
（3）因为，由余弦定理知：，
，
即，
，
故，
解得：或.
4．（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线．
(1)若，求证；
(2)在（1）的条件下，若，求；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据，可得，再由正弦定理证明即可；
（2）结合（1）可得，从而得到，再利用余弦定理计算可得；
（3）先根据双余弦定理及角平分线定理求出的关系及，再根据，再化简即可得出答案.
【详解】（1）设边上的高为．
因为，即，所以，
又因为为的平分线，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，即.
（2）因为，为的中点，所以，
又，
所以，即，
又，
故；
（3）在中，，
在中，，
又，所以，
两式相加得，
因为，，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，则，
所以，则，
又，即，所以，
所以，
由，
因为，所以，，
设，则，即，
解得或，
所以或
所以或，
所以或，
所以．
高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））
典型例题
例题1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】由余弦定理求出，再由，代入三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】由余弦定理可得：，
因为，所以，
因为为的角平分线，所以，
且，
，
则，
可得：.
故选：B.
例题2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若的面积为.
①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值.
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出；
（2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，即.
由余弦定理得.
因为，所以.
（2）①，.
且，解得，或，.
由于，
所以，
；
②由，
得.
解得，
由于，当且仅当时，取等号，
故,当且仅当时，取等号，即的最大值为.
例题3．（24-25高一下·安徽淮南·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用等面积法结合、可得出，利用基本不等式可求得的最小值，结合三角形的面积公式可求得面积的最小值.
【详解】（1）因为，
所以
，
所以，
由于，则，所以，即，
又，所以.
（2）因为的角平分线交于点，且，，
根据三角形面积公式可得，
又，得，得，当时等号成立，
所以，
即的面积最小值为．
例题4．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，再结合二倍角公式即可求解；
（2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积．
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理可得，所以，
再由正弦定理，可得，
又因为为的角平分线，所以，
所以，
所以.
（2）中，，，，
所以，
从而
，
由正弦定理可得，
而
.
精练高频考点
1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则
【答案】
【分析】中线用向量即可求的值；角平分线用即可求的值.
【详解】AM为中线，则，则，则，
AD为角平分线，则，即，
得，
则
故答案为：
2．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解；
（2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理，因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由为的中点，所以，
所以
，当且仅当时，等号取得到，
所以，则，故的最小值为；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
所以，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，故的最大值为
3．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，．
(1)求的大小；
(2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用余弦定理求出，再由及面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）因为，，
由余弦定理得，
即，解得.
为角的角平分线，，
∵，
∴，
∴，得.
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可：
（2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可；
（3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可.
【详解】（1）由题意及正弦定理可得：，
可得，即，
在中，，所以，
因为，所以；
（2）因为，，，
由余弦定理得，
所以，即，
所以，，由正弦定理可得：，
可得，
因为，则，则，
可得，
且，
所以
；
（3）因为，是角平分线，即，
因为，
所以，由正弦定理可知，
所以，所以，
整理可得，
又因为，且，
即，解得.
高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，为上一点，①为的中线，则 ；②为的角平分线，则 .
【答案】
【分析】若为的中线，由于，所以在与中，由余弦定理联立即可求得，若为的角平分线，由，即可求得.
【详解】如图：
在中，，
由余弦定理得：，
所以，
若为的中线，所以为的中点，
故，设，在与中，
分别由余弦定理得：，，
所以，解得.
若为的角平分线，则，
由得：，
解得.
故答案为：；
例题2．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点D在上，是的平分线，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意作图，根据角平分线性质可得线段比例，设出线段长，由三角形三边关系建立不等式组，可得线段长的取值范围，利用余弦定理，建立方程，结合二次函数性质，可得答案.
【详解】
由角平分线性质定理，，所以，
设，，则，由得：，
由图可知，所以，
即，化简得：，
因为，所以.
故答案为：.
例题3．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）方法一：由余弦定理代入计算，即可得到结果；方法二：由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果；
（2）分别在中与中，结合正弦定理代入计算，即可得到，再由余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）法一：在锐角中，，
由余弦定理得，化简得，
可得，又，得．
法二：在锐角中，，由正弦定理得，
即，
可得，
又，，得，又，得．
（2）在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
因为是角的平分线，故，
又，故，
所以，
设，，
在中，由余弦定理，有，
解得，所以（负值舍去），
所以，．
精练高频考点
1．（23-24高一下·江西·期中）在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是 ．
【答案】/
【分析】由角平分线的性质可得，设，则，，利用余弦定理可得，求解可得，可利用余弦定量求得，可求得的面积.
【详解】因为是的内角的角平分线，所以.
设，则.

在中，由余弦定理可得，
即，
在中，由余弦定理可得，
即.
因为，所以，
所以，解得，所以.
在中，，，，
则，从而，
故的面积.
故答案为：.
2．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
(3)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）法一：利用余弦定理得到，再由余弦定理计算可得；法二：利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用正弦定理及角平分线的性质得到，设，，再在中利用余弦定理求出，即可得解；
（3）首先得到，利用正弦定理得到，再根据的范围及正切函数的性质计算可得.
【详解】（1）法一：在锐角中，，
由余弦定理得，化简得，
可得，又，得.
法二：在锐角中，，由正弦定理得，
即，
可得，
又，，得，又，得.
（2）在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
因为是角的平分线，故，
又，故，
所以，
设，，
在中，由余弦定理，有，
解得，所以（负值舍去），
所以，.
（3）因为，
由正弦定理，
得，
在锐角中，，，，
即，可得，
则有，，，，
即，得，
所以面积的取值范围为.
3．（2023·四川·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知中，角的对边分别为，点D为边的中点，，且________．
(1)求a的值；
(2)若的平分线交于点E，求的周长．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得B，再利用余弦定理即可求得答案；
选②，设，则，分别在中和在中，由余弦定理列出等式即可求得答案；
（2）结合（1）的结论，利用三角形面积求出，利用余弦定理求得的长，即可得答案.
【详解】（1）若选①：由可得,
又,
故,
而，故，
又，所以；
设，则，

在中，由余弦定理得,
即，
在中，由余弦定理得,
即，和联立解得，
则；
若选②：，设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，解得，
故.
（2）由（1）可知，选①可得；选②可得，则，
故由，
可得，
解得，
故在中，，
即,
故的周长为.